u_course

для случая уравнения теплопроводности,законны и выполняются соотношения

u(0, x) = u0, ut(0, x) = u1(x), u(t, 0) = u(t, l) = 0.

Нами доказана

Теорема. При выполнении условий I), II) ряд (4.54) является классическим решение задачи (4.47) - (4.50) класса C2(QT ).

5. Задача Коши

Уравнение теплопроводности

Рассмотрим в Π[0,T ] = {(t, x)|0 ≤ t ≤ T, x En} уравнение

		∂u	= L(u(t, x)) + f(t, x),		(5.1)
		∂t
где	n			n
L(u) =	X			Xi
	aij(t, x)uxixj (t, x) +			bi(t, x)uxi	+ c(t, x)u
	i,j=1			=1
	n
	X			(t, x) [0, T ],
	aij(t, x)ξiξj > 0,

i,j=1

функции f(t, x), aij(t, x), bi(t, x), c(t, x) заданы в Π[0,T ], с начальными данными

u(0, x) = ϕ(x), x En. (5.2)

Задача Коши (5.1), (5.2): Найти функцию u(t, x) C1,2(Π(0,T ]) ∩

C(Π[0,T ]), удовлетворяющую уравнению (5.1) в Π(0,T ] и совпадающую с заданной функцией ϕ(x) при t = 0 (выполняется условие (5.2).

Выше Π(0,T ] = (0, T ] × En, C1,2(G) - линейное пространство функций u(t, x) непрерывных на G вместе с производными ut, uxi , uxixj , i, j =

1, . . . , n.
Уравнение колебания
∂2u	= L(u(t, x)) + f(t, x),	(t, x) Π[0,T ],	(5.3)
∂t2
	u(0, x) = u0(x),	x En,	(5.4)

31

ut(0, x) = u1(x), x En. (5.5)

Задача Коши (5.3) - (5.5): Найти функцию u(t, x) C2(Π(0,T ]) ∩

C1(Π[0,T ]), удовлетворяющую уравнению (5.3) в Π[0,T ] и условиям (5.4), (5.5).

Задача Коши для уравнения колебания струны. Формула Даламбера

utt = a2uxx,	(t, x) (0, T ] × E1,		(5.6)
u(0, x) = u0(x),		x E1,	(5.7)
ut(0, x) = u0(x),		x E1.	(5.8)
Заменой переменных
ξ = x + at, η = x − at,	u(t, x) = v(ξ, η) = v(x + at, x − at)		(5.9)

уравнение (5.7) приводится к уравнению vξη = 0, общее решение которого v(ξ, η) = f(ξ)+g(η) и функция u(t, x) = v(x+at, x−at) = f(x+at)+g(x−at)

есть общие решение уравнения (5.6).

Найдем функции f(x + at) и g(x − at), пользуясь условиями (5.7), (5.8), при которых функция u(t, x) есть решение задачи (5.6)-(5.8).

Начальные условия дают равенства

f(x) + g(x) = u0(x),				(5.10)
af0(x) − ag0(x) = u1(x).				(5.11)
Интегрируя (5.11), получим равенство
		x
1		Z0		(5.12)
f(x) − g(x) =			u1(ξ) dξ + C,
	a

где C - произвольная постоянная. Складывая соотношения (5.10) и (5.12) и вычитая (5.12) из (5.10), получим соответственно выражения для f(x) и g(x):

f(x) =	02		x	u1	(ξ) dξ + 2 ,		(5.13)
		+ 2a Z0
	u (x)	1				C

32

g(x) =	02		x	u1	(ξ) dξ − 2 .	(5.14)
		− 2a Z0
	u (x)	1			C

Из (5.13) и (5.14) находим

u(t, x) = f(x + at) + g(x − at) = u0(x + at)+ 2

21a

x+at

+ u0(x

2− at) −

21a

x−at

(ξ) dξ − 2 .

Z0

u1(ξ) dξ + 2

Z0

u1

C

C

x+at

x+at

x−at

Так как

1

Z

u1(ξ) dξ −

1

Z

u1(ξ) dξ =

1

Z

u1(ξ) dξ, то решение за-

2a

2a

2a

0

0

x−at

дачи (5.6)-(5.8) представимо в виде.

u(t, x) =

0

(

+

)

2

0

−

+ 2a

x+at

(5.15)

u

x

at

(x

at)

Z

u1(ξ) dξ.

+ u

1

x−at

Формула (5.15) - формула Даламбера. Она даёт решение задачи Коши (5.6) - (5.8).

Первая краевая задача на полупрямой

Требуется найти решение уравнения

utt = a2uxx,	t > 0,	x (0, +∞),	(5.16)
удовлетворяющее начальным условиям
u(0, x) = u0(x),		0 < x < ∞,	(5.17)
ut(0, x) = u1(x),		0 < x < ∞,	(5.18)
и граничному условию
u(t, 0) = 0,		t > 0.	(5.19)
Найдем решение задачи (5.16) - (5.19).

33

x−at

x+at

Z

Рассмотрим функцию U(t, x) = U0(x + at) − U0(x − at)+ 1 2 2a

На основании леммы 1 функция u(t, x) = U(t, x) при t ≥ 0, x > 0, есть решение задачи (5.16) - (5.19).

Задача Коши для уравнения теплопроводности. Формула Пуассона

Рассмотрим в Π[0,T ] задачу

U1(ξ) dξ.

Лемма 1. Пусть функции v0(x), v1(x) нечетные функции класса C2(E1). Тогда для решения v(t, x) задачи Коши

vtt = a2vxx,

v(0, x) = v0(x),	vt(0, x) = v1(x),
выполняется равенство v(t, 0) = 0,	t > 0.

Доказательство. Рассмотрим формулу Даламбера при x = 0:

				at
u(t, 0) =	u0(at) + u0(−at)	+	1	Z	u1(ξ) dξ.
	2		2a
				−at

Откуда с учетом нечетности функций u0(x), u1(x) получаем, что u(t, 0) = 0.

Лемма 2. Пусть функции u0(x), u1(x) - четные, тогда ux(t, 0) = 0 t ≥ 0.

Доказательство. Продифференцируем по x равенство (5.15). Рассмотрев результат дифференцирования при x = 0 и учитывая четность функции u1(x) и нечетность производной от u0(x), получаем, что ux(t, 0) = 0.

Пусть

U0(x) =	u0(x), x ≥ 0,		U1(x) =	u1(x), x ≥ 0,
		u0(x), x < 0,			u1(x), x < 0.
	−			−

ut = uxx,

(t, x) Π(0,T ],

(5.20)

34

u(0, x) = ϕ(x),

x E1.

(5.21)

Всюду ниже предполагается, что выполняется условие

|ϕ(x)| ≤ Meα|x|, x E1, M, a − const > 0.

(5.22)

Условие (5.22) - условие на рост функции ϕ(x) при x → ∞. Функция

ϕ(x) растет не быстрее, чем eα|x|. Ниже мы докажем, что решение задачи

(5.20), (5.21) дается формулой Пуассона [4]

	1		+∞		(ξ−x)2
u(t, x) =	2√		Z	e−		ϕ(ξ) dξ.	(5.23)
					4t
		πt

−∞

Лемма 3. При выполнении условия (5.22) интеграл (5.23) сходится при

(t, x) Π(0,+∞) и

|	u t, x	)| ≤ 2	Mea2tea|x|.	(5.24)
	(

Сходимость равномерная по t, x G, где G - произвольная ограниченная

область из Π(0,T ].

Доказательство леммы 3 следует из соотношений

|

u(t, x)

=

√1

+∞e−

(ξ −4tx)2

ϕ(ξ) dξ

≤

πt

|

2

Z

−∞

+∞

(ξ

x)2

+∞

2√1πt Z

e−

−4t

|ϕ(ξ)| dξ ≤ {ξ2−√tx = η} = √πea|x|

Z

e−η

+a|η|2√

dη =

t

M

2

−∞

−∞

(в силу четности подынтегральной функции ) =

35

+∞

+∞

2√π e |

| Z e−

| |

2√

−

e

dη = √π e | |e

Z

e−

−

a√

dη <

M a x

η2+a η

t

a2t

a2t

2M a x

a2t

(η

t

)2

−∞

−∞

Z

< {η − a√t = z, −a√t < z < +∞} < 2Me√|π|e

e−z2

dz =

a x

a2t

+∞

−∞

+∞

(из анализа известно, что интеграл Пуассона

Z

e−z2 dz = √

) =

π

−∞

= 2Mea|x|ea2t.

Сходимость равномерная в любой ограниченной области G переменных t, x, принадлежащей Π(0,T ].

Лемма 3 доказана.

Лемма 4. При выполнении условия (5.22) функция u(t, x) имеет про-

изводные по t, x любого порядка при t > 0 и

∂n+mu(t, x)

1

+∞

∂n+m

e−

(ξ

x)2

1

=

2√

Z

−4t

√

ϕ(ξ) dξ.

(5.25)

∂tm∂xn

∂tm∂xn

π

t

−∞

При этом интеграл в правой части (5.25) сходится равномерно в любом прямоугольнике R[t0,T,r] = {(t, x)|0 < t0 ≤ t ≤ T, |x| < r}.

Доказательство. Рассмотрим подынтегральное выражение при (t, x)

R[t0,T,r].

x)степень

n+m

(ξ−x)2

(ξ

−

(ξ−x)2

∂

e

−

1

=

e

−

=

4t

4t

m

n

∂x

√t

tстепень

∂t

"

конечная

#

X

(выражение

X

(ξ − x)степень

можно записать как некоторый по-

конечная

tстепень

лином P (t, x, ξ) от неизвестной переменной ξ при фиксированных t, x )=

P (t, x, ξ)e−	(ξ − x)2
	4t	. Здесь P (t, x, ξ) - многочлен степени k, где k зависит
от m, n.

36

Имеет место неравенство

|P (t, x, ξ)| ≤ C(t0, T, r)(1 + |ξ|k).

Здесь постоянная c зависит лишь от t0, T , r и не зависит от ξ. Так как

e|ξ| = 1 + ξ	+ |ξ|2 +	· · ·	+	|ξ|k + . . . и (1 + ξ		k)	≤	e|ξ|k!, то	P (t, x, ξ)	| ≤	Ne|ξ|,
| |	2!			k!	| |			|
где N = k!C(t0, T, r), и |ϕ(ξ)P (t, x, ξ)| ≤ M < e(a+1)|ξ|, M = NM.
В силу леммы 3 интеграл (5.25)					сходится. Здесь вместо ϕ, M, a берутся
					f			f

ϕP , Mf, a+1. Сходимость равномерная по (t, x) R(t0, T, r). По теореме о дифференцируемости несобственных интегралов [16] функция u(t, x) имеет

∂n+m

непрерывные производные ∂tm∂xn и выполняется равенство (5.25).

Лемма 5. Функция u(t, x), заданная соотношением (5.23), является ре-

шением уравнения (5.20) при t > 0, x (−∞, +∞).

Доказательство. Из (5.25) следует, что

+∞

∂ 1

(ξ−x)2

∂2

1

(ξ−x)2

ut(t, x) − uxx(t, x) = Z

2√

e−

−

2√

e−

ϕ(ξ) dξ.

4t

4t

∂t

∂x2

πt

πt

−∞

Прямым вычислением легко проверить, что

∂

1

e−

(ξ−x)2

−

∂2

1

e−

(ξ−x)2

2√

4t

2√

4t

=

∂t

∂x2

πt

πt

0 при (t, x) Π(0,T ]. Таким образом, в Π(0,T ] выполняется ut − uxx

= 0 и

лемма 5 доказана.

Лемма 6. Пусть x0 - точка непрерывности функции ϕ(x). Тогда

lim u(t, x) = ϕ(x0).

t → +0

x → x0

+∞

(ξ−x)2

Доказательство. Так

как

2√1

Z

e−

ϕ(x0) dξ

= (замена

η

=

4t

πt

−∞

37

ξ− x

√) =

2 t

ϕ(x0)				+∞
				Z		2
√					e−η	dη = ϕ(x0), то
	π

−∞

|u(t, x) − ϕ(x0)| = 2√1πt −∞ e−

4t

(ϕ(ξ) − ϕ(x0)) dξ ≤

+∞

(ξ−x)2

R

+

(ξ−x)

2

ϕ(x0)| dξ = замена ζ =

=

∞

|ϕ(ξ) −

ξ x

2√1πt −∞ e−

4t

2−√t

R

=

1

+∞

ζ

2

√

0

)| dζ =

√π

R

e−

|ϕ(x + 2 tζ) − ϕ(x

−∞

−N

2

+∞

2

√1π

|ϕ(x + 2√tζ) − ϕ(x0)| dζ+

−∞ e−ζ

|ϕ(x + 2√tζ) − ϕ(x0)| dζ + N

e−ζ

R

R

N	|ϕ(x + 2√	tζ) − ϕ(x0)| dζ)
N e−ζ2			= I1 + I2 + I3.
−R

Подынтегральная функция в I1 ( и в I2 ) удовлетворяет тому же условию роста, что и функция ϕ(x). Пусть G - ограниченная область в Π(0,T ] и

+∞
(t, x0) G. По лемме 3 интеграл Z	e−ζ2 |ϕ(x + 2√tζ) − ϕ(x0)| dζ сходится

−∞

равномерно по t и x в G, в силу чего при выборе достаточно большого N:

I1 < 3ε , I2 < 3ε при любых (t, x) G. Зафиксируем это N. Рассмотрим I3. Пусть задано ε > 0. Выберем δ = δ(ε) такое, что при всех y таких, что

	|x0 − y| < δ, выполняется неравенство	ε
	|ϕ(y) − ϕ(x0)| <			(5.26)
			.
		6N

Последнее имеет место в силу непрерывности функции ϕ(x) в точке x0.

Пусть (t, x) G = {(t, x)|0 < t < t0, |x − x0| < δ} и
	√		0	| < δ.		(5.27)
	2	tN + |x − x
Тогда
N				N	6N dξ =	3.
I3 ≤ Z	|ϕ(x + 2√tζ) − ϕ(x0)| dζ ≤ Z
−N				−N	ε		ε

38

Доказано, что при всех (t, x), удовлетворяющих (5.27), выполняется |u(t, x)−

ϕ(x0)| < ε. Лемма 6 доказана.

Из лемм 3-6 следует

Теорема. При условии (5.22) функция u(t, x),заданная равенством (5.23) (интеграл Пуассона) есть решение задачи Коши (5.20), (5.21), u C(0∞,T ].

Свойства решения.

Свойство 1. Если |ϕ(x)| < N, x E1, то |u(t, x)| < N, (t, x) Π(0,+∞).

Доказательство.

1

+∞

(ξ−x)2

N

+∞

(ξ−x)2

|u(t, x)| ≤

2√

Z

e−

|ϕ(ξ)| dξ ≤

2√

Z

e−

dξ =

4t

4t

πt

πt

−∞

−∞

= ξ2−√tx = z = √π

+∞

Z e−z dz = N.

N

2

−∞

Свойство 2. Если ϕ(x) - нечетная функция, то u(t, 0) = 0.

Доказательство. Действительно,

+∞

4t ϕ(ξ) dξ = 0,

u(t, 0) = 2√πt Z e−

1

ξ2

−∞

что следует из нечетности подынтегрального выражения.

Рассмотрим задачу о распространении тепла в полуограниченном стержне,

боковая поверхность которого теплоизолирована:
ut = uxx,	t > 0, x > 0,		(5.28)
u(0, x) = u0(x),		x > 0,	(5.29)
u(t, 0) = 0,		t ≥ 0.	(5.30)

Продолжим функцию u0(x) нечетно на всю действительную ось, обозначив продолжение U0(x):

U0(x) =	u0(x), x ≥ 0
		u0(x), x < 0.
	−

39

Функция

	1		+∞		(ξ−x)2
U(t, x) =	2√		Z	e−		U0(ξ) dξ	(5.31)
					4t
		πt

−∞

есть решение задачи (5.20), (5.21) при uo(x) = U0(x). Обозначим через u(t, x) сужение U(t, x) на множество Π1 = {(t, x)|t ≥ 0, x ≥ 0}. Так как

U(t, 0) = 0 в силу свойства 2, то u(t, x) есть решение задачи (5.28) - (5.30).

Замечание. Считаем, что функция U0(x) удовлетворяет условию (5.22).

6. Принцип максимума для уравнений параболического

и эллиптического типов

Принцип максимума для уравнения параболического типа

Пусть T > 0 − const, ST = [0, T ] × ∂Ω, T = ST Ω, QT = (0, T ) × Ω. Отметим, что определенную таким образом область QT называют цилиндрической.

Рассмотрим в QT линейное уравнение

			L(u) = f,					(6.1)
где
n	∂2u		n		∂u	∂u
X			Xi
		+		bi ∂xi		+ cu − ∂t		,
L(u) = aij ∂xi∂xj			=1
i,j=1

причем коэффициенты aij, bi, c и правая часть f уравнения (6.1) вещественные, конечнозначные функции переменных t, x.

Считаем, что всюду ниже aij(t, x) = aji(t, x) и выполняется соотношение

n
X	(6.2)
aij(t, x)ξiξj > 0 (t, x) QT \ T

i,j=1

и любых отличных от нуля ξ Rn.

Отметим, что по определению вследствие условия (6.2) уравнение (6.1) является параболическим в QT \ T .

Определение. Функция u называется классическим решением уравнения (6.1) в QT , если ее производные ∂u/∂xi, ∂2u/(∂xi∂xj), ∂u/∂t, i, j =

40