1. Системи координат на площині

1.1. Декартова прямокутна система координат

Декартова прямокутна система координат задається двома взаємно перпендикулярними координатними прямими осями координатOx(вісь абсцис) iOy(вісь ординат), які перетинаються у точціО(початку координат).

Координатами точки Мв декартовій системі координат називають координати її радіуса-вектораі записують це так:М(x;y) (рис. 1). Числоxназивається абсцисою, а числоyординатою точкиМ.

Рис. 1 Рис. 2

Відстань між точками M₁(x₁;y₁) іM₂(x₂;y₂) дорівнює довжині вектора= (x₂x₁;y₂y₁) (рис. 2) і обчислюється за формулою:

(1)

1.2. Полярна система координат

Говорять, що на площині задано полярну систему координат, якщо вибрано точкуО (полюс) і проміньОp(полярна вісь), що виходить із цієї точки.

Полярними координатами точки М є пара чисел (;), девідстань від полюсаОдо точкиМ, кут між віссюОp і вектором(рис. 3). Числоназиваєтьсяполярним радіусом, полярним кутом точкиМ.

M(; )

M(; )

y





y = sin





O

p

O

p, x

х = cos

Рис. 3. Полярна система координат Рис. 4

Зауваження.Додатним поворотом навколо точкиО вважається поворот у напрямі проти руху годинникової стрілки. Полярний кут точки має нескінченну множину значень, що відрізняються між собою на величину 2п, депZ. Значення полярного кута, яке задовольняє нерівність 02, називаєтьсяголовним. У цьому випадку полярна система координат установлює взаємно однозначну відповідність між точками площини й парами чисел (;). Винятком є тільки точкаО, для якої= 0, а кут – неозначений.

Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки

Нехай задано прямокутну декартову систему координат хОу і полярну систему координатОp, причому початокО декартової системи є одночасно і полюсомОполярної системи, а напрям полярної осіОр збігається з напрямом осіОх (рис. 4). Тоді довільна точкаМ має два набори координат (х; у) та (;). Зв’язок між цими координатами має вигляд:

(2)

1.3. Перетворення системи координат

Паралельний перенос осей

Якщо точка М має координати (х; у) у системі координатxOy, а нова системаxOy одержана перенесенням початку старої системи в точкуO(a;b), то нові координати точкиМ(х; у) зв’язані із старими формулами (рис. 5).

(3)

Рис. 5. Паралельний Рис. 6. Поворот

перенос осей осей на кут

Поворот осей на кут 

Якщо точка М має координати (х; у) у системі координатxOy, а нова системаxOy одержана поворотом старої системи на кут(проти годинникової стрілки), то нові координати точкиМ(х; у) зв’язані із старими формулами

(4)

Паралельний перенос і поворот осей на кут 

Якщо точка М має координати (х; у) у системі координатxOy, а нова система координатxOy одержана перенесенням початку старої системи в точкуO(a;b) і поворотом осей на кут(проти годинникової стрілки), то нові координати точкиМ(х; у) зв’язані із старими формулами

(5)

2. ЛІНІЯ НА ПЛОЩИНІ. ОСНОВНІ ОЗНАЧЕННЯ

Говорять, що в системі координат хОузадане рівняння лініїl

F(x;y) = 0, (6)

якщо координати будь-якої точки М(x;y)lзадовольняють рівняння (6), а координати будь-якої точки, не приналежноїl,це рівняння не задовольняють.

Рис. 7

Приклад 1. F(x;y) =y–x= 0y = x – пряма (рис. 8).

Приклад 2.F(x;y) =y²–x²= 0(y–x)(y+x) = 0y=xпара прямих (рис. 8).

Рис. 8 Рис. 9

Приклад 3.F(x;y) =x²+y²– 1 = 0коло (рис. 9).

Рівняння (6) задає лінію в декартовій формі.

Говорять, що на площині лінія задана в параметричній формі, якщо координатиxіy довільної точкиМ(x;y) лінії виражені через дійсну зміннуt(параметр):

(7)

Щоб від рівняння (7) перейти до рівняння (6) потрібно виключити параметр tіз рівнянь (7). Але такий перехід не завжди можливий і доцільний.

Приклад 4.. Якщо з першого рівняння виразити параметрtчерезxі підставити в друге рівняння, отримаємо рівняння прямої

Приклад 5.Зводячи у квадрат ліві і праві частини рівнянь і складаючи, одержуємо рівняння кола:x²+y²=R².

Для побудови параметрично заданої лінії надають певного значення параметра t, за формулами (7) знаходять відповідні значенняxiy, які відкладають на площиніxOy.

Рис. 10. Циклоїда

На рис. 10 зображена циклоїда лінія, яку описує точка кола радіусаr=a під час його кочення без ковзання уздовж осіOx. Параметричні рівняння циклоїди:

(8)

де t  кут повороту колеса.

На рис. 11 зображена астроїда лінія, яку описує точка кола радіусаr=a/4 під час його кочення без ковзання по внутрішній стороні кола радіусаR=a. Рівняння астроїди:

(9)

Рівняння F(;) = 0 називається рівнянням лініїl у полярній системі координат, якщо координати будь-якої точкиМ(;)lзадовольняють це рівняння, а координати будь-якої точки, не приналежноїl,це рівняння не задовольняють.

Для побудови кривої у полярній системі координат надають певних значень і знаходять відповідні значення. Результати обчислень заносять у таблицю. Побудувавши відповідні точки, дістають графік кривої.

Рис. 11. Астроїда Рис. 12. Кардіоїда

На рис. 12 зображена кардіоїдакрива, що описується точкою кола з радіусомa/2, яке котиться без ковзання по колу з таким самим радіусом. Рівняння кардіоїди в полярній системі координат:

 = a(1+cos). (10)

Якщо F(x;y) у рівнянні (6) є многочленом відxтаyстепеняn(nN), то говорять, що воно задаєалгебраїчну лінію n-го порядку. Далі розглядатимемо лише алгебраїчні лінії першого та другого порядків, що задаються відповідно рівняннями

Ax + By + D= 0, (11)

Ax² + 2Bxy +Cy² +Dx + Ey + K= 0. (12)

Далі буде показано, що алгебраїчна лінія першого порядку  це пряма, а алгебраїчна лінія другого порядку може бути еліпсом, гіперболою, параболою, парою паралельних чи пересічних прямих або точкою.