Питання для самоперевірки

1. Записати наступні рівняння прямих і пояснити зміст усіх величин у цих рівняннях:

• векторне й канонічне рівняння прямої;

• загальне рівняння прямої;

• рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом;

• рівняння прямої, що проходить через дві дані точки;

• рівняння прямої у відрізках;

• нормальне рівняння прямої.

2. Як знайти кут між двома прямими?

3. Сформулювати умови паралельності й перпендикулярності двох прямих.

4. Як обчислити відстань від точки до прямої?

Задачі для розв’язування

1. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку перетину прямих х + 2у+ 3 = 0, 2х+ 3y+ 4 = 0 паралельно прямій 5х+ 8у= 0.

2. Дано сторони трикутника АВС: х – у = 0 (АВ), х + у – 2 = 0 (ВС), у = 0(АС). Знайти рівняння висоти, що проходить через вершинуА.

3. Дано вершини трикутника АВС:А(1; 2),В(2; –2),С(6; 1). Потрібно:

1. написати рівняння сторони АВ;

2. написати рівняння висоти СDй обчислити її довжину.

1. Дано сторону прямокутника 3x– 4y+ 5 = 0 та дві його вершиниA(1; –3),С(1; 2). Знайти рівняння решти сторін прямокутника.

2. Знайти точку В, симетричну точціA(–2; 4) відносно прямої: 3х+у – 8 = 0.

3. Дано вершини трикутника АВС:A(–8; 3),B(8; 5),С(8; –5). Знайти точку перетину його висот.

4. Знайти рівняння прямої:

   1. кутовий коефіцієнт якої 1/2 і відрізок, що відтинається на осі ординат, дорівнює 3;

   2. що проходить через точку (1; 3) та кутовий коефіцієнт якої дорівнює –2;

   3. що проходить через точку (–1; 2) і утворює з віссю Охкут/3;

5. Знайти рівняння прямої:

   1. яка відтинає на осях ОхйОувідрізки, що відповідно становлять 3 і –4;

   2. яка проходить через точку (3; 1) і відтинає на осях ОхтаОувідрізки однакової довжини.

6. Знайти рівняння прямої, що проходить через точку (2; 2) та відтинає від координатного кута трикутник, площа якого дорівнює 1 од².

7. Знайти відстань dміж паралельними прямими:

   1. х– 2у+ 4 = 0, 2х– 4у+ 5 = 0;

   2. 2x– 3y– 1 = 0, – 6х+ 9y– 5 = 0.

8. Через точку (–2; 2) провести прямі, відстань до кожної з яких від точки (2; 5) дорівнює 3.

9. Точки A(1; 2),В(–1; –1),С(2; 1) – вершини трикутника. Знайти рівняння бісектриси внутрішнього кута трикутника при вершині В.

10. Дані вершини трикутника A(1; –1),В(–2; 1),С(3; 5). Знайти рівняння перпендикуляра, опущеного з вершини А на медіану, що проведена з вершиниВ.

11. Дано рівняння двох сторін трикутника: 4x + 3y  5 = 0, x  3y +10 = 0. Його медіани перетинаються в точці (2; 2). Знайти рівняння третьої сторони трикутника.

4. Алгебраїчні лінії другого порядку на площині

4.1. Основні поняття

Нехай дане загальне рівняння лінії другого порядку:

Ax² + 2Bxy +Cy² +Dx + Ey + K= 0, (38)

де коефіцієнти A,B,Cодночасно не дорівнюють нулю.

Тип лінії, обумовленої цим рівнянням, можна визначити за знаком дискримінанта =B²AC:

• якщо дискримінант < 0, то рівняння маєеліптичний типі визначає або еліпс, або точку (х²+у²= 0), або уявну криву (наприклад,х²+у²+ 1 = 0);

• якщо дискримінант > 0, то рівняння маєгіперболічний типі визначає або гіперболу, або пару пересічних прямих (а²х²b²у²= 0);

• якщо дискримінант = 0, то рівняння маєпараболічний типі визначає або параболу, або пару паралельних прямих (наприклад,х² а²= 0), або уявну криву (наприклад,х²+а²= 0).

Якщо рівняння (38) визначає на площині порожню множину, точку, пряму, пару прямих, то відповідна лінія другого порядку називається виродженою.