- •Вища математика для економістів Аналітична геометрія на площині
- •В55 Вища математика для економістів. Аналітична геометрія на площині: Методичні вказівки та завдання для самостійної роботи / Уклад.: в.М. Долгіх, о.М. Назаренко. Суми: уабс нбу, 2006. 44 с.
- •1. Системи координат на площині
- •1.1. Декартова прямокутна система координат
- •1.2. Полярна система координат
- •Зв’язок між полярними та прямокутними декартовими координатами точки
- •3. Алгебраїчні лінії першого порядку. Пряма на площині
- •3.1. Рівняння прямої, що проходить через задану точку перпендикулярно до заданого вектора. Загальне рівняння прямої
- •3.2. Рівняння прямої, що проходить через задану точку паралельно заданому вектору
- •3.3. Рівняння прямої, що проходить через дві задані точки
- •3.4. Рівняння прямої у відрізках на осях
- •3.5. Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом
- •3.6. Кут між двома прямими
- •Питання для самоперевірки
- •Задачі для розв’язування
- •4. Алгебраїчні лінії другого порядку на площині
- •4.1. Основні поняття
- •4.2. Деякі задачі, що приводять до кривих другого порядку
- •4.3. Криві другого порядку. Узагальнення
- •4.5. Гіпербола
- •4.6. Парабола
- •4.7. Рівняння еліпса, гіперболи, параболи в полярній системі координат
- •4.8. Конічні перерізи
- •Питання для самоперевірки
- •Задачі для розв’язування
- •Завдання для самостійної роботи і. Розв’язати задачу і зробити креслення:
- •Іі. Розв’язати задачу і зробити креслення:
- •Ііі. Крива другого порядку задана рівнянням у полярній системі координат:
- •Список рекомендованої літератури
Іі. Розв’язати задачу і зробити креслення:
Скласти рівняння лінії, сума відстаней кожної точки якої до двох даних точок А(–3; 0),В(3; 0) дорівнює 10.
Скласти рівняння лінії, для кожної точки якої найкоротші відстані до двох даних кіл (х+ 3)2 + у2 = 1, (х– 3)2 + у2 = 81 рівні між собою.
Скласти рівняння лінії, сума квадратів відстаней кожної точки якої до точок А(–5; –1),В(3; 2) дорівнює 40,5.
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої рівновіддалена від точки А(2; 6) і від прямоїу+2 = 0.
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої рівновіддалена від осі ординат і від колах2+у2 = 4х.
Скласти рівняння лінії, модуль різниці відстаней кожної точки якої до двох даних точок А(–5; 0) іВ(5; 0) дорівнює 6.
Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої до точки А(3; 0) удвічі менша ніж відстань до точкиВ(26; 0).
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої віддалена від прямої х+6 = 0на відстань, вдвічі більшу ніж від точкиА(1; 3).
Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої до точки А(2; 0) і до прямої 2х+5 = 0 відносяться як 4/5.
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої знаходиться вдвічі далі від точки А(4; 0), ніж від точкиВ(1; 0).
Скласти рівняння лінії, сума відстаней кожної точки якої до точок А(–2; 0) іВ(2; 0) дорівнює.
Скласти рівняння кола, що проходить через фокуси еліпса 4х2+у2 = 4 і має центр у його правій вершині.
Дано рівняння кола х2+у2 = 25. Скласти рівняння геометричних місць середин тих хорд цього кола, довжина яких дорівнює 8.
Скласти рівняння лінії, відстань кожної точки якої до початку координат і до точки А(5; 0) відноситься як 2/1.
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої віддалена від прямої х – 14 = 0 на відстань вдвічі меншу ніж від точкиА(2; 3).
Скласти рівняння лінії, для кожної точки якої відношення відстаней до точки А(–4; 0) і до прямої 4х+25 = 0 дорівнює 4/5.
Скласти рівняння лінії, для кожної точки якої найкоротша відстань до даного кола (х – 5)2 +у2= 9 і до прямоїх+2 = 0 рівні між собою.
Скласти рівняння кола, описаного навколо трикутника, сторони якого задані рівняннями: 9х – 2у – 41 = 0, х – 3у +1 = 0, 7х+4у+7 = 0.
Скласти рівняння хорди кола х2+у2 = 49, що ділиться в точціА(1; 2) навпіл.
Скласти рівняння кола, симетричного колу х2+у2– 2х – 4у+ 4 = 0 відносно прямоїх–у–3 = 0.
Скласти рівняння лінії, що проходить через середини хорд кола х2 + у2 – 4у = 4, проведених через початок координат.
Скласти рівняння кола, що проходить через точки: А(1; 2),В(0; –1) іС(–3; 0).
Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(7; 7),В(–2; 4) і центр якого лежить на прямій 2х–у–4 = 0.
На прямій х+ 5 = 0 знайти точку, рівновіддалену від лівого фокуса і верхньої вершини еліпсах2/20 +у2/4 = 1.
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої віддалена від точки А(0; 1) удвічі ближче ніж від прямоїу– 4 = 0.
На правій гілці гіперболи х2/16 –у2/9 = 1 знайти точку, відстань якої до правого фокуса вдвічі менша ніж відстань до лівого фокуса.
Дано точки А(–1; 0) іВ(2; 0). ТочкаМрухається так, що в трикутникуАМВкутВвдвічі більший за кутА. Скласти рівняння траєкторії точкиМ.
Скласти рівняння гіперболи, вершини й фокуси якої розташовані у відповідних фокусах і вершинах еліпса х2/8 +у2/5 = 1.
Скласти рівняння лінії, кожна точка якої рівновіддалена від точки А(2; 0) і від колах2 +у2= – 4х.
На параболі у2= 32хзнайти точку, відстань якої до прямої 4х+3у+10 = 0 дорівнює 2.
Скласти рівняння кола, що проходить через точки А(5; 2),В(1; 4) і центр якого лежить на прямійх+у– 3 = 0.
Знайти рівняння лінії, рівновіддаленої від кіл х2+у2+ 2у= 0 іх2+у2– 2у= 24.
Скласти рівняння гіперболи, якщо її ексцентриситет дорівнює 2, а фокуси є фокусами еліпса х2/25 +у2/9 = 1.
Знайти добуток відстаней від будь-якої точки гіперболи х2–у2= 1 до асимптот.
Знайти рівняння кривої, кожна точка якої є центром кола, що проходить через точку М(1; 0) і дотикається до прямоїх+2 = 0.
Скласти рівняння кола, що проходить через точки: А(–2; –2),В(4; 0), С(–6; 10).
Скласти рівняння параболи, що проходить через точку А(4; –1) і відтинає третину відрізкаАВ, деВ(1; 11). Прийняти параметр параболир=1/2.
Скласти рівняння кола, яке дотикається до кола х2 +у2 – 2х – 6у + 6 = 0і до прямоїАВ(А(–6; –5),В(3; 7)) у точціМ, якщоАВ/АМ= 3.
Скласти рівняння кола радіусом R= 5, вписаного в кутВАС, деВ(1; 8),А(–8; –4),С(6; –4).
Скласти рівняння кола, яке проходить через точки А(–2; 4),В(1; 5) і відтинає на прямій 2х–у– 8 = 0 хорду довжиною.
У рівнобедреному трикутнику АВС(АВ– основа) дані вершиниА(3; –3),В(3; 5) і середина сторониВС– точкаD(–1; 3). Скласти рівняння описаного кола.
Скласти рівняння кола, яке дотикається до кола х2 + у2–20х–14у +127=0у точціМ(6; 4) і до кола х2+у2– 2х – 16у + 64 = 0.
Скласти рівняння кола, яке проходить через точку Аі відтинає дві третини від відрізкаАВ, деА(–1; –3),В(–5/2; 15/2).
Дано пряму у= 3хі точкуМ(1; 3). Скласти рівняння кола, яке проходить через точкиАіВпрямої, якщоАМ–МВ=.
Скласти рівняння кола, яке проходить через точку М(4; 6) і дотикається до прямих 4х– 3у+ 27 = 0, 4х– 3у– 23 = 0.
Скласти рівняння кола, яке проходить через точку М(6; 4) і дотикається до прямих 4х+3у+ 14 = 0, 3х– 4у– 27 = 0.
Знайти рівняння всіх прямих, що їх відрізки між прямою 3х – у – 19 = 0і коломх2+6х+у2– 6у– 7 = 0 (брати першу точку перетину) поділяються в точціМ(4; 1) навпіл.
Дана точка М(3; –1). Знайти рівняння такої прямої, що її відрізок між коламих2+ 8х+у2 – 2у – 8 = 0 іх2– 16х+у2– 4у+ 60 = 0 (брати першу точку перетину) поділяються в цій точці навпіл.
Дано коло х2+4х+у2– 2у– 20 = 0 і точкиМ(–5; –3),N(1; 5) на ньому. Знайти рівняння паралельних хорд, які проходять через ці точки й сума довжин яких дорівнює
На колі х2– 6х+у2– 16 = 0 знайти таку точкуМ, щобМН/МР=, деН(6; 4),Р(0; –4).