TEP / lekcher_1

Расчетные механические схемы.

Приведение статических моментов и моментов инерции к валу электродвигателя. Учет потерь в передаче.

Без учета потерь.

1. Есть элемент, совершающий вращательное движение.

Mc
M	Mc1
ω	Mc _ i

ω1

ωi

Требуется : Определить эквивалентный момент Mc на валу двигателя. Уравнение баланса мощности :

		Pc = Mcω = Mc1ω1 + Mc2ω2 +K+ Mciωi
	Где	Mc		−	Приведенный момент к валу двигателя.
	Разделим обе части на ω - скорость вращения вала двигателя.
	i =	ω
		ω		−	Передаточное отношение;
	ωi	i
				−	Скорость вращения механизма.
		Mc = ∑Mc _ i
				n
				i=1	ii
	Где	n		−	Число точек приложения нагрузок.

Приведение момента инерции. Уравнение баланса кинетической энергии :

J − Приведенный (эквивалентный) момент инерции.

(1)

(2)

Jω2

=

J1ω12

+

J2ω22

+K+

Jiωi2

2

2

2

2

Разделив обе части на ω2

2 получим :

J =

n

Ji

(3)

∑i=1

ii

2

Где n − Количество элементов в кинематической цепи. Динамика привода определяется моментом инерции двигателя.

		n	Ji
	J = Jрот +	∑
			2
		i=1	i

{i

Соизмеримоповеличине

смоментоминерциидвигателя

2.В кинематической цепи есть элементы, совершающие поступательное движение.

Mc
M	Mc1
ω	Mc_i

ω1

ωi

ϑ

mg

Уравнение баланса мощности :

		n	m
	Mcω= ∑Mc _ iωi + ∑Fjϑj
		i=1	j=1
Разделим обе части на ω :
ϑ	= ρ	Радиус приведения.
ω		−

Приведенный к валу двигателя момент статический :

Mc = ∑Mc _ i + ∑Fjρj
n		m
i=1	ii	j=1

Выражение баланса кинетической энергии :

	Jω2		n		J	ω 2	m	mjϑj2
		= ∑			i	i	+ ∑
2						2		2
			i=1				j=1
Разделив на ω2				2 получаем :
		n	Ji			m
J = ∑				+		∑mjρj2
			2
		i=1	ii			j=1

(4)

(5)

Бывают задачи, когда момент статический ( Mc ) является функцией скорости или пути (например для кривошипно-шатунной передачи).

	L
r	Fp
	ϕкр
	ϑp
	ϕ

i Mc

ω

M

Необходимо определить :

1.Приведенный момент инерции;

2.Момент статический.

r L {ρ−синусоидальнаяфункция}

Полезная мощность равна требуемой мощности.

Mcω= Fpϑp							)
M	c	= F	ρ	пр	=	Fprкр sin (ϕi		(6)
		p				i

ρ = rкр sin (ϕкр)

ϕкрi = ϕ

Определим приведенный к валу момент инерции :

n		Ji
J = Jрот + ∑				+ mρ2
	2
i=1	ii								(		)
n		Ji				r	2 sin2			ϕ
J = Jрот + ∑				+ m		кр				i
		2					i	2
i=1		ii
В общем случае :
Mдин = J dω		+ ω			dJ
dt			2		dt

Mдин = J

dω

+

ω2

dJ

=

Разделим на

=

dt

2

dϕ

1

ω

(

dω

2

dJ

n

J

r

2 sin

2

ϕ

ω

кр

i

)

= Jω

+

= Jрот + ∑

i

+ m

×

dϕ

2

dϕ

2

i

2

i=1

ii

×ω

dω

+

ω2

mrкр

2

2sin (ϕi )cos(ϕi

)

dϕ

2

i2

i

Считаем, что привод обеспечивает преодоление Mc .

(

i

)

J

2 sin2

ϕ

n

r

M − Mc

= Mдин = Jрот + ∑

i

+ m

кр

×

2

i

2

i=1

ii

(7)

×ωdω

+

ω2

mrкр

2 sin (2ϕi

)

2

i3

dϕ

При выводе выражений мы не учитывали потери в передачах. передаче производят, используя К.П.Д. передачи.

а) Если двигатель работает в двигательном режиме, то :

Mcω= Mηiωi i

б) Если двигатель работает в режиме торможения :

Mcω = Miωiηi

Обобщенная формула для двигательного режима :

Mc = ∑n Mηc _ i i=1 ii i

ii = ω ωi

Для режима торможения :

Mc = ∑in1 Mic _ i ηi

= i

Учет потерь в

(8)

(8′)

Всегда задается номинальное К.П.Д., результирующее К.П.Д. зависит от :

−Мощности, передаваемой через редуктор;

−Скорости и направления вращения.

Если передача самотормозящая, то выражения (8′) неверно.

Уточненный метод учета потерь.

1. Привод работает в установившемся режиме.

η

ηном

0.8Pном

P2

Где ηном − Номинальный К.П.Д. привода.

Потери в машине делятся на постоянные и переменные (переменные потери

	P	= χ	2
зависят от нагрузки, постоянные не зависят). Pном				.

Уравнения (8) и (8′) трудно применять, т.к. К.П.Д. передачи является функцией момента передаваемого, а для самотормозящих передач (8′) неприменимо. Следовательно, правильно оценивать потери в передачах

путем выражения Mc приведенного к валу двигателя в виде алгебраической суммы полезного момента и дополнительного момента, обусловленного трением в передачах.

Mc = Mполезн + Mтрения

Дополнительный момент в первом приближении может быть принят пропорциональным полезному моменту.

Mтр = M0 +	Mтр
M0 = Mхх	Mтр = bMполн
Mc = Mполн + Mxx + bMполн = (1+ b)Mполн + Mxx		(9)

Для случая, когда полезный момент является двигательным (машина работает в режиме торможения) :

Mc = −Mполн + Mxx + bMполн = −Mполн (1+ b)+ Mxx

(9′)

Чтобы воспользоваться (9) и (9′) надо знать значение M0 и b. Если известно

M0 то для нахождения b достаточно знать К.П.Д. передачи для одного какого-нибудь значения полезной нагрузки (лучше всего брать ηном ). Зная

ηном можно найти полный момент трения при номинальной нагрузке.

Mтр_ полн = Mполн 1−ηн

ηн

Дополнительный момент потерь при полной нагрузке :

Mтрн = Mтрн − M0

b = Mтрн

Mполн

Сравним примерные выражения (8) и (8′) и уточненные (9) и (9′) на примере подъемного устройства с самотормозящим редуктором. Когда мы работаем в двигательном режиме (подъем груза) действует выражение (8), но приблизительно. При спуске груза в соответствии с (8′) энергия перемещения возвращается двигателю и он должен работать в тормозном режиме (на практике это не так).

Диаграмма статического момента для двигателя подъемного устройства в соответствии с (9) и (9′) :

		Mc	приведенный
			к валу
СПУСК			ПОДЪЕМ
режим	силовой
тормоза	спуск
b = ∞		M0
a
	1	0
			M полн
M0 1− b

Mполезн

2.Разгон привода (привод в динамике).

Дополнительный момент трения не может быть описан как величина

пропорциональная моменту полезному ( Mполезн), т.к. через передачи помимо

передается момент динамический ( Mдин). Эти динамические моменты меняются при переходе от одного участка реальной кинематической схемы к другому, а в отдельных случаях могут быть

значительно больше Mполезн. Следовательно, при разгоне привода необходимо при определении дополнительного момента трения учитывать кроме статических и динамические моменты, вести их расчет переходя постепенно от одной передачи к другой. При этом желательно реальную кинематическую цепь заменить эквивалентной расчетной. Допускается все нагрузки и моменты инерции привести к скорости вращения вала машины, т.е. в этой эквивалентной цепи число передач равно числу передач реальной кинематической схемы. Но в отличие от реальной схемы передаточные отношения этих условных передач всегда равно 1-це (т.к. все элементы вращаются с одной скоростью). Соответственно скорости и ускорения всех звеньев равны скорости и ускорению машины, а моменты инерции (J) и

моменты статические ( Mc ) пересчитаны и приведены к скорости рабочей машины.

J1

i =1

J2

i =1

J3

При m передачах наша цепь

состоит из m+1 элементов,

Mполезн

Jрот

причем 1-й – ротор двигателя,

J1

dω

J2

dω

dω

Mдин

а последний – ведомый вал.

dt

dt

J

3

dt

M1

M2

M3

Mполезн

Mтр1

Mтр2

Энергетическая диаграмма

Выразим потери на трение в каждой передаче :

Mтр_ j

= M0 _ j + bjMпередаваемое_ j

Где

Mтр_ j

−

Полный момент трения;

M0 _ j

− Момент трения при холостом ходе;

bjMпер_ j

−

Дополнительный момент трения, вызываемый

передачей момента Mпр_ j на следующий элемент.

Зная M0 _ j;bj;Jj для любого j-го элемента можно исходя из величины

момента Mj , переданного на этот элемент, найти величину момента Mj+1 передаваемого j-го элемента на j+1 элемент таким образом :

а) Момент, передаваемый к j-ой передаче.

Mj = J j ddtω

б) Момент потерь j-го элемента.

	dω
Mтр_ j = M0 _ j + bj Mj − Jj
	dt

в) Момент, передаваемый на j+1 элемент.

Mj+1 = Mj − Jj ddtω − Mтр_ j

Или с учетом выражения для Mтр_ j получаем :

Mj+1 = Mj (1− bj )− Jj (1− bj )ddtω − M0 _ j

Применяя подобный метод ко всем элементам нашей цепи можно получить следующие выражения для моментов, передаваемых на вал каждого элемента.

г) Момент на первом валу ( Mдвиг) :

M = M1

д) Момент, переданный на 2-й элемент :

M2 = M1 (1− b1 )− J1 (1− b1 )ddtω − M0 _1

е) Момент, переданный на 3-й элемент :

M3 = M2 (1− b2 )− J2 (1− b2 )ddtω − M0 _ 2

Можно преобразовать к виду :

M3 = M1 (1− b1 )(1− b2 )−(J1 (1− b1 )+ J2 )(1− b2 )ddtω −

Mдин

−M0 _1 (1− b2 )− M0 _ 2

ж) Момент, передаваемый на последний m+1 элемент :

Mm+1 = M1 (1− b1 )(1− b2 ) K (1− bm )−

J

(1− b )(1− b

) K (1− b

)+ J

(1− b

) K (1− b

)+

×

−

1

1

2

m

2

2

m

+K+ Jm (1− bm )

×dω

− M0 _1 (1− b2 )(1− b3 ) K (1− bm )− M0 _ 2 (1− b3 )×

dt

×K (1− bm )− M0 _ m

Момент на рабочем валу (полезный) :

Mполезн = Mm+1 − Jрот dω

dt

з) Полезный момент :

dω

Разделим его на произведение

Mполезн

= Mm+1 − Jрот dt

(1− b1 ) K (1− bm )

В результате :

dω

M − M

= J

Где :

c

экв dt

M0 _1

M0 _ 2

M0 _ m + Mполезн

Mc

=

+

+K+

(10)

1

− b

(1− b )(1− b

2

)

(1− b ) K (1− b

m

)

1

1

1

J

= J

+

J

2

+K+

Jрот

(11)

(1− b )

(1

− b ) K (1− b

)

экв

1

m

1

1

Выражения (10) и (11) являются функциями приведения моментов статических и моментов инерции к валу двигателя, в которых точно учитываются потери в передачах. В частном случае, когда коэффициенты пропорциональности равны для каждой передачи :

b1 = b2 =K= bm = b

Mc

=

M0 _1

+

M0 _ 2

+K+

M0 _ n + Mполезн

(10′)

1− b

(1− b)

2

(1

− b)

n

J

= J

+

J

2

+

J

3

+K+

Jрот

(11′)

(1− b)

(1

− b)2

(1− b)n

экв

1

eкр =

Расчетные механические схемы. Учет упругости механических звеньев.

Механическая часть ЭП представляет сложный элемент механической системы состоящей из ротора, соединенных муфт, элементов рабочих органов, связанных упругими звеньями. При этом различные части ЭП совершают различные движения. Реальные схемы механической части разнообразны. Любую механическую часть ЭП можно некоторой эквивалентной расчетной схемой (приведенной), которая составляется из дискретных сосредоточенных элементов соединенных между собой.

Под дискретным элементом понимается тело, обладающее свойствами инерции, упругостью которого можно пренебречь (обычно J = const или m = const). Значения J или m определяются по паспортным данным машины или рассчитываются по известным выражениям.

Под упругой связью расчетной схемы понимается некоторое упругое звено, массой которого можно пренебречь. Характеризуются некоторым

постоянным коэффициентом жесткости при кручении Cкр, при

растяжении/сжатии Cg . Податливость – величина обратная жесткости :

1Cкр , eg = 1Cg .

Обычно принимают, что деформации упругих связей подчиняются закону Гука, т.е. характеризуются линейной восстанавливающей силой.

Если при деформации упругих звеньев отсутствует рассеяние механической энергии, то такие звенья называются консервативными (образуют консервативные системы). При деформации реальных упругих звеньев имеет место рассеяние (диссипация) механической энергии, обусловленная силами внутреннего вязкого трения, такие силы называют диссипативными, звенья – диссипативные, связи – диссипативно-упругие, система в целом – диссипативная. При деформации консервативного упругого звена звено запасает потенциальную энергию.

Вращательное движение :	Wп =		C	кр		Δϕ2		(1)
					2
Поступательное движение :	Wп =		C	g		x2
					2

При этом восстанавливающий или упругий момент или сила определяются соответствующим выражением.

Вращательное движение :	Mкр = M12 = CкрΔϕ = C12Δϕ	(2)
Поступательное движение :	F = Cg x
Где Δϕ и x − Деформации упругого звена.