TEP / lekcher_1

Исследуем (2) на экстремум по передаточному отношению (i). Чтобы

убедиться что это экстремум максимума, необходимо взять вторую

производную и проверить её знак (должен быть ‘−’).

iопт =

M

м +

M

м

2

+

J

м

= m +

m

2

+ j

(3)

Mд

Mд

Jд

m =

Mм

j =

Jм

Mд

Jд

Для пуска :

=

(Jм + Jдi2 )ωм

tпуска

iMд

− Mм

,

аналогично для торможения (нагрузка реактивная) :

tторможения =

(Jм + Jдi2 )ωм

iMд + Mм

Т.е. хотя задача одна и та же, но для торможения выражение немного другое.

i′опт = −m +

m2 + j

(3′)

iопт.

Выражение (3) справедливо для минимального

времени пуска и максимального ускорения,

н

для

минимального

времени

торможения

о

г

з

а

меняется знак (3′) (т.е. в зависимости от

р

j

то

нагрузки на валу; например если нагрузка на

валу

равна

нулю,

то

оптимальное

р

мож

е

н

ие

передаточное отношение одно для пуска и

торможения).

0

m

Случай,

когда

не

учитываем

нагрузку

:

m = 0

iопт =

j

Jд

= Jм

i2

опт .

J

д

=

J

м

i =

ωд

i2

ω

опт

м

Eкин_ дв. =

J

ω2

Кинетическая

энергия

двигателя

д

д

кинетическая

:

2

,

энергия

механизма

:

Eкин_ мех. = Jмωм2

Видно,

что

если

не учитывать

2 .

Jдi2

нагрузку, оптимальное передаточное отношение будет, когда запас кинетической энергии вращающихся частей и двигателя механизма равны между собой.

Если взять Mмех. = 0, и оценить ускорение на рабочем валу, то оно будет максимально.

	dωмех. мах		=	Mд	Причем этот результат сохраняется и в
					реальных условиях ( Mмех. ≠ 0 ).
	dt			2iопт.Jд
Другими словами, при заданных значениях Mмех. и Jмех. (они заданы всегда)
максимальное		ускорение			выходного	вала зависит только от величины
Mд
	Jд .					Mд
Следовательно,			чем большее значение			Jд имеет выбранный двигатель

одинаковой мощности, но различных скоростей, тем большее ускорение он обеспечит выходному валу.

Чтобы определить оптимальное передаточное отношение необходимо рассчитать требуемую мощность двигателя и выбрать из каталога моменты инерции двигателей, близких по мощности, но разных по скоростям.

Определить и тот двигатель, который будет иметь минимум этого выражения, даст нам оптимальное передаточное отношение, кроме того, этот двигатель обеспечит минимум потерь энергии в переходном процессе.

Динамические нагрузки в системе ЭП.

M − Mc = J ddtω

Mдин = J ddtω

Mmax = Mc + Jε

Если рассматривать одномассовую систему (простейшую), то в левой части момент избыточный является моментом динамическим. Т.е. в любой момент времени электрическая машина должна развивать электромагнитный момент, равный алгебраической сумме момента статического и момента динамического. Причем момент динамический обусловлен изменением кинетической энергии механической системы.

допуст. ≤ Mдоп_ ЭД

Момент дополнительный всегда должен быть больше момента статического

(в противном случае система не	работоспособна). Mдоп_ ЭД ≥ Mдин. -
определяет динамику привода. Если	Mдоп_ ЭД p Mдин., то это не значит,		что

привод не работоспособный, это приводит к ухудшению динамических характеристик (мы не обеспечим требуемое ускорение). Если силовая часть не обеспечивает динамику, то никакими способами коррекции мы не обеспечим динамику.

Пусть система привода описывается системой уравнений для 2-х

массовой

консервативной

системы,

при

условии,

что

Mc2 = const; Mc1 = 0; Mдвиг

= M1 = const;

ω1 нач = ω2 нач

= 0; M12 нач

= Mc. Решаем относительно момента упругого

M12 и скорости первой массы ω1 :

dω

M1 − M12 = J1 dt1

dω

2

(1)

M12

− Mc2 = J2

dt

Дифференциальное уравнение для M12 :

1

d2M

+ M

= J

ε

+ M

12

Ω2

dt2

12

2

ср

c2

12

εср

ω = ε

ср

t +

J

2

sin (Ω

t)

(2)

1

J1

Ω12

12

M12 = Mc2 , следовательно,

В момент

времени

t = 0

первая и

вторая

производные равны нулю.

M12

(t)= M1 − J1 dω1 = J2εср (1−cos(Ω12t))+ Mc2

(3)

dt

14243

Mдин

M12 ,ω1	(t)	ω1 (t)
M12
M12 max		εсрt
M12 ср		J2εср
M c 2
0		t

При	M = M1 = const		пуск
электропривода		сопровождается

колебаниями в упругой механической системе. Если мы управляем

приводом и задаем Mизбыт = const ,

то Mупр создает колебания (они передаются через механическую систему).

За счет колебаний механическая нагрузка передач может превышать (значительно) среднюю, следовательно, возникает ускоренный износ передач. Превышение максимальной нагрузки над средней оценивается динамическим коэффициентом (ввел Ключев) :

Kд =	M12 max			=	Mc2 + 2J2εср			(4)
	M12 ср				Mc2 + J2εср
Из (4) видно,		K	д увеличивается с увеличением ускорения				εср	и момента

инерции второй массы механизма J2 .

Рассмотрим, как повлияет на динамические нагрузки увеличение плавности нагружения механической части ЭП.

1.Формируем в функции времени электромагнитный момент двигателя

(управляем координатой M) M(t);

2.Формируем переходный процесс по скорости вала двигателя ω1 (t).

Пусть в (1) электромагнитный момент двигателя изменяется по

экспоненте.
M = M1			t		,	T − постоянная времени
	1	−eT

Т.к. нас интересуют динамические нагрузки, положим что статических

нагрузок нет ( Mc2

= Mc1 = 0).

2

−

t

1

d

M12

+ M12 = J

2εM 1

−e

T

(5)

Ω2

dt2

12

M1

εM

=

J1

+ J2

Решим дифференциальное уравнение (5) :

M12 (t)= A + Be−Tt + Ccos(Ω12t)+ Dsin (Ω12t)

После получения постоянных интегрирования :

2

2 −

t

Ω12T

M12

(t)= J2εM 1

−

e T

+

1

+ Ω2

T2

12

(6)

J2εM

sin (Ω12t + φ)

+

1+ Ω2

T2

12

φ= arctg 1

Ω12T

Вданном случае амплитуда колебательной составляющей момента упругого

зависит

от

постоянной

T.

Очевидно,

M12

максимален

при

(Ω12t + φ)=

π

+ 2kπ,

k =1,2,3,K,n

−

t

2

, и при e T →0.

K

д =

M12 max

=1

+

1

(7)

M12 ср

1+ Ω2

T2

12

M12 , M

Вывод

:

Ограничение

темпа

нарастания

электромагнитного

M12 max

момента

двигателя

обусловливает

J2εM

снижение

динамических

нагрузок.

M12 (t)

Аналогичные результаты получаются

M (t )

при

исследовании

других

функций

M(t). Например при линейном

изменении

момента

электромагнитного

(или

любом

другом). Пусть контур регулирования

0

t

электромагнитного момента настроен

M

на

технический

оптимум,

а

это

линейное изменение момента (если

Mmax

не

учитывать

участок

перерегулирования).

С точки зрения практической

реализации

для

снижения

значения

Kд необходимо, что бы время

линейного

нарастания

электромагнитного

момента

0

t

T ≈ T12

двигателя

до

его

максимального

значения

было

соизмеримо

по

величине или равно периоду колебаний T12 .

Рассмотрим например ступенчатое изменение момента и найдем Kд.

T ≈ T12 = 2π

Ω12

Возьмем отношение T T12 , T12 - период свободных колебаний.

	T	= 0		Kд = 2
	T12
	T	=1		Kд =1,3
	T12
	T	= 3		Kд =1,1
	T12
	T	= 7		Kд =1,08
	T12

T T		=1
(достаточно	12	). В случаях,
когда момент	электромагнитный

двигателя является независимым от колебательного процесса механической части привода в функции времени, то время нарастания момента должно быть :

	T ≥	2π	(8)
		Ω12

T →∞ Kд =1,3

T12

Необходимо учитывать внутреннюю электромеханическую связь двигателя, т.к. момент электромагнитный и скорость взаимосвязаны, то когда мы задаем

M1 (t) независимо, должны разрешить изменяться скорости ω1 (t) (она будет иметь колебательный характер).

Ограничение момента электромагнитного двигателя и его первой производной позволяет значительно снизить динамические нагрузки.

Рассмотрим второй случай, когда накладывается ограничение на ускорение вала двигателя. Т.е. происходит формирование тахограммы двигателя.

ω1
	εсрt
0	T	t

Мы не контролируем момент двигателя, а задаем правило изменения скорости первой массы.

Пусть скорость изменяется по линейному закону. Величина Т может превышать самую большую электромеханическую постоянную времени.

Считаем, что ω1 нарастает линейно, по закону εсрt . Нас интересует динамика, рассмотрим консервативную систему. Статические моменты

Mc1 = Mc2 = 0. Оценим, как изменится динамика, если плавно изменить скорость. Запишем для 2-х массовой системы при линейном задании скорости :

M = J1		εср + M12
		{
		dω				(9)
		dt
M12		dω
	= J2		dt	2
Решая относительно M12 получим дифференциальное уравнение момента :

1

d2M

+ M = J

ε

12

2

ср

(10)

Ω022

dt

12

Ω

02

=

C12

J2

−

парциальная

частота (частота

свободных

колебаний)

второй

массы

при заделке

первой массы ( J1

J2 ). Из-за

присутствия внутренней электромеханической связи электромагнитный

момент двигателя будет совершать колебания в противофазе M12 для поддержания заданного закона изменения скорости. При нулевых начальных условиях найдем решение (10) :

M12 (t)= J2εср (1−cos(Ω02t))

(11)

(11) и (3) отличаются только частотой колебаний, т.е. закон движения системы при εср = const для вала двигателя почти тот же, что и при пуске с постоянным моментом M = M1 = const . Однако, разница в том, что при

εср = const момент электромагнитный двигателя не остается постоянным, а изменяется в соответствии с (9) и (11).

M(t)= εсрJ1 + εсрJ2 (1−cos(Ω02t))=(J1 + J2 )εср −

(12)

−J2εср cos(Ω02t)

Рассмотрим пуск на холостом ходу ( Mc1 = Mc2 = 0) :

	M,ω1		ω1 = εсрt	Амплитуда	момента
				электромагнитного больше,		иначе
		M(t)
	M max			не будет движения.
	M			Mmax = M1 + J2εср f M1		(13)
	12 max
(J1 + J2 )εср
			J2εср
	J1εср
	0		M12 (t)	t
Оптимальное время нарастания скорости :
	T1 ≥	2π				(14)
		Ω
		02
	Особенностью задания закона изменения скорости ω1 (t) является
наличие колебаний электромагнитного момента двигателя, повторяющих
колебания		упругого	момента. При малых моментах инерции механизма
( J2	J1)	колебания	момента двигателя малы и формирование кривой
момента и кривой скорости с точки зрения динамических нагрузок
равноценны.
	Во всех случаях, когда момент инерции механизма соизмерим с
моментом инерции двигателя или J2				J1, а частота свободных колебаний
мала, то предпочтительнее формировать кривую электромагнитного момента
в функции времени ( M(t)), не препятствуя при этом колебаниям скорости
вала двигателя. Управление по скорости в случаях, когда J2					J1	может
вызвать значительные колебания момента электромагнитного двигателя. Это
ухудшает использование двигателя по перегрузочной способности (надо
выбирать		машину с	большей кратностью Mmax ), кроме того, колебания
вызывают дополнительный нагрев машины.
	При воздействии управляемого электромагнитного момента двигателя
на упругую механическую систему, в системе возникают колебательные
процессы, увеличивающие максимальные нагрузки передач и всего
оборудования. Допустимым значениям этих нагрузок соответствует
определенное допустимое значение момента максимального двигателя,
поэтому в общем случае для ЭП задается максимальное допустимое значение
момента электромагнитного двигателя, выбираемое с учетом :

1.Перегрузочной способности самого двигателя;

2.Допустимых максимальных нагрузок самого оборудования.

Динамические нагрузки в механической системе привода при выборе зазора в передачах.

Сначала движется только первая масса, после выборки зазора вторая масса приводится в движение. Всё то же, но другие начальные условия (изменятся постоянные интегрирования). В момент выборки зазора будет иметь место удар в передаче (часть энергии рассеется в виде тепла). Рассмотрим 2-х массовую консервативную систему с зазором.

			С12	Δϕз						Mc1 = 0; Mc2 − реактивная нагрузка (т.к.
	J1							J2		имеется зазор).
		M		Mc2
		ω1							ω2	ϕзмеханическая связь между массами J1 и
	В период выбора зазора

J2 отсутствует и под действием момента двигателя ( M1 = const) масса J1

разгоняется равноускоренно ( ϕp Δϕз).

	M		= J	dω		= Jε
	1				dt
							(15)
	ω	(t)=			M1 t = ε
							t
	1				0
					J1
	За время выборки зазора двигатель успевает разогнаться до скорости :
	ω1	нач =			2ε0Δϕз		(16)

Т.к. инерционные массы механизма J2 при этом неподвижны, то процесс выборки зазора заканчивается упругим ударом, при котором запасенная во

вращающихся со скоростью ω1 массах J1 ( Ek =	J ω2
	1	1
	2		) частично

рассеивается в виде тепла, а остальная её часть переходит в энергию упругих деформаций звеньев, вызывая при этом дополнительные нагрузки.

Определим Kд, демпфирование не учитываем, т.к. оно мало. Запишем состояние системы в начальный момент времени ( t = 0).

(M12 )0 = 0	dM12			= C	ω	ω1	(0)= ω1 нач
		dt	0	12	1 нач
ω2 (0)= 0

Решение (1) дает функцию M12 (t).

M

(t)= M

+

C12

ω

sin(Ω t)− M

cos(Ω t)

(17)

12

12 ср

Ω

1 нач

12

12 ср

12

12

M1 − M12

M12

= J2εср

+ Mc2

ε

ср

=

ср

;

J

+ J

2 .

1

Т.е. за счет

возникающих

в

результате удара

механических

колебаний

нагрузка передач возрастает по сравнению с M12 ср, которая имела бы место

M12 max

при	C	= ∞	и при отсутствии зазора. Взяв отношение	M12 ср	, получим
	12
Kд.

C2 ω2

Kд =1+ 1+ Ω12 1 нач (18)

122 M122 ср

Проанализируем (18) :							момента ( M1 − Mc2 = const) вследствие
1.	При ступенчатом задании
	того, что ω1 нач ≠ 0						Kд f 2. Причем он увеличивается при
	возрастании	ω1 нач		и тем в большей степени, чем больше					C
									12 .
2.	Подставляя в выражение (18) ω1 нач из (16) получим :
	Kд =1+		1+		γ −1		2J1C12Δϕзε0		(18′)
							M2
					γ
							12 ср

γ = J1 + J2

J1

Т.е. при определенном моменте инерции двигателя ( J1 ) и заданном зазоре в передачах, динамическая нагрузка определяется ускорением

ε0 в период выбора зазора ( ε0 - ускорение, с которым движется первая масса до удара).

3.	Kд		, (динамическая нагрузка) при заданном значении					J	зависит от	γ	:
								1
	1.	J1		J2		γ =1	Kд = 2; (аналогично жесткой

связи);