Глава III. Анализ статистических взаимосвязей между признаками Тема 5. Линейная регрессия с несгруппированными данными.
Если объем выборки не велик (n< 30), то расчет параметров выборочного уравнения регрессии и величины коэффициента линейной корреляции проводят по следующей схеме:
1 шаг: Составить исходную расчетную таблицу 4. и найти суммы по всем ее столбцам.
Таблица 4.
-
X
Y
X*Y
2 шаг: Используя полученные суммы по столбцам, определить статистические характеристики:
;
;
(1.11)
;
;
(1.12)
3 шаг: Определить параметры уравнения регрессии и найти значение коэффициента линейной корреляции, используя формулы:
;
;
(1.13)
4 шаг: Подставить найденные значения параметров в уравнение регрессии вида:
(1.14)
и провести анализ полученных результатов относительно тесноты и направления корреляционной связи между признаками X и Y.
Числовой пример 4.
Оценщик изучая зависимость между ценой квартиры Y (млн.руб) и размером ее жилой площади X (кв.м.) обследовал 10 объектов и получил следующие данные (см. таблица). Используя эти данные найти:
Построить точечную диаграмму и визуально предположить вид зависимости между переменными;
Оценить параметры уравнения парной линейной регрессии и дать экономическую интерпретацию коэффициентов
и
;Рассчитать коэффициент линейной корреляции, дать оценку тесноты и направления связи между переменными.
Используя линейное уравнение парной регрессии, построить точечный прогноз цены квартиры с жилой площадью 33 кв.м.
Определена средняя стоимость 1 кв.м жилья на IV квартал 2012 года
Согласно этому документу, в Белгородской области 1 кв. м жилья стоит 25,7 тыс. рублей, в Брянской – 26,85 тыс. рублей, в Воронежской – 23,6 тыс. рублей, в Курской – 21,95 тыс. рублей, в Липецкой – 27,7 тыс. рублей, в Орловской – 24,15 тыс. рублей, в Тульской – 27,8 тыс. рублей
Решение
1 шаг: Используя данные 1 и 2 столбца Таблицы 4 построим точечную диаграмму.
Таблица 4.
-
X
Y
X*Y
1
2
3
4
5
34
0,8211
1156
0,674205
27,9174
28
0,6762
784
0,457246
18,9336
38
0,9177
1444
0,842173
34,8726
47
1,13505
2209
1,288339
53,34735
36
0,8694
1296
0,755856
31,2984
27
0,65205
729
0,425169
17,60535
29
0,70035
841
0,49049
20,31015
31
0,74865
961
0,560477
23,20815
37
0,89355
1369
0,798432
33,06135
28
0,6762
784
0,457246
18,9336
335
8,09025
11573
6,749634
279,488
Рисунок 5 – Точечная диаграмма рассеяния
2 шаг: Используя полученные суммы по столбцам, определить статистические характеристики по формулам (1.11) и (1.12):
=
33,5;
=0,81
=
11573 -
=
350,5;
=
6,749634 -
=
0,204 ;
=279,488
– (335*8,09025)/10= 8,464
3 шаг: Определить параметры уравнения регрессии и найти значение коэффициента линейной корреляции, используя формулы (1.13):
=
0,81;
=8,464/350,5=0,02415;
=0,999
4 шаг: Подставить найденные значения параметров в уравнение регрессии вида (1.14) и провести анализ полученных результатов относительно тесноты и направления корреляционной связи между признаками X и Y.
=0,81+0,02415(x-33,5)
=
0,02415x + 0,005805
Расчеты подтвердили, что между ценой квартиры Y (млн.руб) и размером ее жилой площади X (кв.м.) наблюдается положительная линейная корреляция. Теснота связи между признаками весьма высокая из таблицы Чеддока определяем в ПРИЛОЖЕНИИ 4..
Рисунок 6 – Линейная регрессия
Дадим
экономическую интерпретацию коэффициентов
и
.
Первый коэффициент представляет собой среднее значение признака Y в рамках данной выборки, т.е. можно сказать, что средняя цена квартиры рассматриваемого региона составляет 810 тыс.руб. или 0,81 млн.руб.
Значение другого коэффициента указывает, на сколько единиц в среднем изменится величина признака Y при увеличении признака X на 1 единицу. Таким образом можно утверждать, что если рассматривать две квартиры такие, что площадь одной из них на 1 кв.м. больше площади другой, то цена второй квартиры будет выше в среднем на 24,15 тыс.руб.
шаг: Используя линейное уравнение парной регрессии, построим точечный прогноз цены квартиры с жилой площадью 33 кв.м.
=
0,02415*33 + 0,005805 = 0,802755 млн.руб.
средняя цена квартиры жилой площадью 33 кв.м. составить 802 тыс.руб.