Приклад ітераційного алгоритму для обчислення кубічного кореня

Прикладом ітераційного алгоритму може служити алгоритм обчислення кубічного кореня методом Ньютона, який полягає у послідовному обчисленні наближених значень кореня за формулою 5.1.

(5.1)

де а – число, з якого добувається корінь, x_old – попереднє наближене значення кореня, x_new– наступне, більш точне, ніж x_old значення кореня.

Таким чином, формула 5.1 дозволяє послідовно уточнювати значення кореня, використовуючи попередній результат. В якості початкового значення для x можна взяти число, з якого добувається корінь.

Зазвичай обчислення проводяться доти, поки різниця між двома послідовними наближеннями за модулем не стане менше деякого, наперед заданого, достатньо малого числа.

В алгоритмі передбачено переривання циклу за допомогою оператора break в тому випадку, якщо змінна Xold дорівнює нулю, для того, щоб виключити ділення на 0.

Схему алгоритму, що реалізує цей метод, наведено на рисунку 5.5.Для реалізації цього алгоритму використовується цикл do…while.

Алгоритми обчислення сум нескінченних рядів

У цих алгоритмах послідовно підсумовуються члени нескінченного ряду. Накопичення суми має сенс тільки у тому випадку, якщо ряд сходиться, тобто значення членів ряду поступово зменшуються. Накопичення суми проводять доти, поки черговий член ряду не стане менше деякого, наперед заданого, достатньо малого числа. Подібність таких алгоритмів з попереднім полягає в тому, що обчислення кожного наступного члена ряду проводиться за значенням попереднього.

Рисунок 5.5 – Схема алгоритму знаходження кубічного кореня

Вякості прикладу обчислення суми ряду розглянемоалгоритм обчисленнясинусадеякого числа.Синус можна представити як суму нескінченного ряду 5.2.

(5.2)

Особливість даного ряду полягає в тому, що кожен член ряду, починаючи з другого, може бути знайдений з попереднього за формулою5.3.

(5.3)

Алгоритм обчислення синуса за формулою 5.2 з використанням співвідношення 5.3 представлений на рисунку 5.6.

Слід мати на увазі, що ряд 5.2 при великих значеннях х сходиться повільно, а факторіал і «х в ступені» ростуть дуже швидко. Це призводить до того, що значущі цифри цих чисел перестають міститися в розрядній сітці і, отже, обрізаються, внаслідок чого результат спотворюється.

Для усунення цього недоліку в розглянутий алгоритм перед основним циклом накопичення суми ряду варто було б додати додатковий цикл. У цьому циклі змінна х повинна зменшуватися кожен раз на величину періоду синуса, який дорівнює 2π. Цикл працює доти, поки х не стане менше, ніж 2π.

Рисунок 5.6 – Алгоритм обчислення синуса

Таблиця 5.2 Завдання на обчислення сум нескінченних рядів
№	Функція	Ряд	Рекурентна формула
1	2	3	4
0	e
1			, для х<1
2			, для х<1
3			, для х<1

Продовження таблиці 5.2
1	2	3	4
4			, для х>1

5	cos(x)		, для х<π
6	sh(x)		для х<1
7	arctg(x)		для х<1
8	ln(1+x)		, для х<1
9			, для х<π