Математичні моделі в економіці Ден. Маг. 2015 Чупилко

Перевіримо адекватність побудованої лінійної моделі за критерієм Фішера. Для цього розрахуємо значення F-критерію згідно з моделлю:

	n
	( yi роз		y)2 /1
F	i 1				55,72.	(7)
	n	yi роз	)2 /(n
	( yi			2)
	s 1
За статичними таблицями		F-розподілу		Фішера для 5%-ого		рівня

значимості (задаємо довільно) та при степенях вільності відповідно 1 (для парної регресії) і n-2=7 знайдемо критичне значення Fкрит 5,59. Таким

чином, розраховане значення F більше, ніж критичне. Отже, можна зробити висновок про адекватність побудованої моделі вихідним даним за F-критерієм Фішера.

Із двох оцінених параметрів саме параметр a1 визначає степінь

залежності показника від фактора. Тому перевіримо його статистичну значимість. Це можна зробити за допомогою критерію Стьюдента.

Розрахункове значення t-статистики отримаємо як відношення a1

до своєї

стандартної похибки Sa

:

1

t1

a1

7,46 ,

(8)

Sa

1

n

s 2

2

роз

де

Sa

151,3,

s

( yi

yi ) /(n

2) .

(9)

n

1

x 2

i 1

xi

i

1

Критичне значення t-статистики знаходимо за статистичними таблицями

t-розподілу Стьюдента при рівні значимості

0,1

(задаємо

довільно) та

ступенях вільності n-2= 7: tкрит. 1,89.

Таким

чином,

розрахункове

значення більше, ніж критичне. Отже,

параметр a1

з надійністю 95% (1-α/2) можна вважати статистично значимим.

Для оцінки впливу фактора Х на показник Y без урахування одиниць виміру обчислимо коефіцієнти еластичності для кожного спостереження за формулою

K			e	a			xi			(10)
							yiроз.
			xi	1
та побудуємо діаграму.
Еластичність, що обчислена на основі середніх значень показника і
фактора, складає
	e				x			0,888.
K	x			a1 y роз.
Модель є адекватною, як				було				показано, зі статистично значимим

параметром a1 . Тому її можна використовувати для прогнозування доходу підприємства. Визначимо прогноз на наступний 2013 рік.

11

Точкову оцінку отримаємо за формулою:

yпрроз. -2259807,1 + 1129,445хпр = 13765,725 (тис. грн.).

Далі побудуємо надійний інтервал з границями ( yпрроз. yпр ; y

де

								2
yпр	tкрит S 1	1		xпр	x				= 2744,67.
		n		n				2
				xi		x
				i 1

роз.	yпр ),
пр

(11)

Границі довірчого інтервалу (11021,06; 16510,39) (тис. грн.) встановлені з надійністю 95%.

Рис. 1 – Регресія, довірча зона і прогнозні оцінки доходу

Рис.2 – Коефіцієнт еластичності доходу

12

	Економетричне моделювання динаміки і прогнозу доходу підприємства
	Кіл-сть спостережень n =			9
		Парна регресія:		y=a1x+а0
	Дохід, Y,
N	тис.грн.	Рік, Х	Xi-Хср	Уі-Уср	Xi-Хср)(Уі-Уср	(Xi-Хср)^2	(Уі-Уср)^2	Yр	(Ур-Уср)^2	(Уі-Ур)^2	dYi	Yp+dYi	Yp-dYi	Ке
1	2800,00	2004	-4,00	-5318,50	21274,00	16,00	2,83E+07	3600,72	2,04E+07	6,41E+05	2606,45	6207,17	994,27	0,31
2	6171,00	2005	-3,00	-1947,50	5842,50	9,00	3,79E+06	4730,17	1,15E+07	2,08E+06	2493,66	7223,82	2236,51	0,48
3	7192,00	2006	-2,00	-926,50	1853,00	4,00	8,58E+05	5859,61	5,10E+06	1,78E+06	2409,86	8269,47	3449,75	0,58
4	4929,00	2007	-1,00	-3189,50	3189,50	1,00	1,02E+07	6989,05	1,28E+06	4,24E+06	2358,15	9347,21	4630,90	0,65
5	8202,40	2008	0,00	83,90	0,00	0,00	7,04E+03	8118,50	0,00E+00	7,04E+03	2340,66	10459,16	5777,84	0,70
6	8891,50	2009	1,00	773,00	773,00	1,00	5,98E+05	9247,94	1,28E+06	1,27E+05	2358,15	11606,10	6889,79	0,73
7	10180,60	2010	2,00	2062,10	4124,20	4,00	4,25E+06	10377,39	5,10E+06	3,87E+04	2409,86	12787,25	7967,53	0,76
8	11260,00	2011	3,00	3141,50	9424,50	9,00	9,87E+06	11506,83	1,15E+07	6,09E+04	2493,66	14000,49	9013,18	0,79
9	13440,00	2012	4,00	5321,50	21286,00	16,00	2,83E+07	12636,28	2,04E+07	6,46E+05	2606,45	15242,73	10029,83	0,80
Сума	73066,500	18072,00	0,000	0,000	67766,700	6,000E+01	8,62E+07		7,65E+07	9,62E+06
Уср,Хср	8118,500	2008,00
1. Параметри регрессії, коеф. кореляції та детермінації
Дисперсія х =		6,6667		Коеф. кореляції =		0,943		a1 =	1129,4		Ке=	279,3528
Дисперсія у =		9,5727E+06		Коеф. детермінації =		0,888		а0 =	-2259807,1
Коваріация =		7529,6333
2. Перевірка на адекватність по критерію Фішера (Р=0,95):							Fр =	55,717	>	Fкр. =	5,59
3. Значиміість коефіцієнта кореляції (Р=0,95):							Тр =	7,464	>	Tкр. =	1,89
	ЛИНЕЙН:						Та1 =	7,46
	1129,445	-2259807,1					Ке=	279,3528
	151,31141	303833,557
	0,8883873	1172,05312			Прогноз	Рік	Yр	dYi	Yp-dYi	Yp+dYi
	55,716886	7				2013	13765,725	2744,67	11021,06	16510,39
	76538760	9615959,64

13

Якщо виникає потреба розглядати залежність показника від декількох факторів, треба будувати множинну регресію:

y	a0	a1x1	a2 x2	...	ap xp	,	(12)
де y - показник , x1, x2 ,...,xp - фактори,				- випадкова величина,
або для i го спостереження, i 1,...,n :
yi	a0	a1x1i	a2 x2i	...	ap xpi	i .	(13)

В моделі мають бути присутніми тільки незалежні фактори. Одним із методів визначення наявності чи відсутності мультиколінеарності (залежності факторів) є побудова матриці парних коефіцієнтів кореляції:

			Y	X1	X 2	...	X p
		Y	ryy	ryx1	ryx2	...	ryxp
	R	X1	rx1y	rx1x1	rx1x2	... rx1xp		.	(14)
		X 2	rx2 y	rx2 x1	rx2 x2	... rx2 xp
		...	...	...	...	...	...
		X p	rxpy	rxpx1	rxpx2	...	rxpxp

Матриця має властивості: діагональні елементи дорівнюють одиниці; матриця симетрична відносно головної діагоналі. Для розрахунку коефіцієнтів парної кореляції можна користуватися функцією КОРРЕЛ.

Для кожної пари факторів визначають коефіцієнт парної кореляції. Якщо значення коефіцієнта кореляції близько за модулем до одиниці, то між цими факторами існує тісний зв'язок, тобто фактори залежні. Треба виключити один з цих факторів. Виключають той, що має менший вплив на показник, про що свідчать коефіцієнти кореляції між факторами та показником ( у першому рядку матриці).

Параметри регресії визначаються у матричному вигляді наступним чином:

					A	X T X		1 X T Y ,	(15)
	де
		1	x11	x21 ...		x p1
	X	1	x12	x22 ...		x p 2	- матриця спостережень за незалежними
		. .		.	.	.
		1	x1n	x2n ...		x pn

змінними;

X T - матриця, транспонована до матриці X ;

( X T X ) 1 - матриця, обернена до матриці ( X T X ) ;

14

		y1
	Y	y2	- матриця спостережень за показником Y ;
		...

yn a0 a1

A	a2 - матриця параметрів регресії;

...

a p

n - кількість спостережень, p - кількість факторів.

Для зменшення степені залежності коефіцієнту детермінації від кількості факторів використовують оцінений коефіцієнт детермінації:

n

( yi y роз )2 /(n p 1)

		2 1	i 1
	R				.	(16)
			n
				y )2 /(n 1)
			( yi
			s 1

Для перевірки адекватності моделі використовується критерій Фішера, для визначення значимості параметрів регресії – критерій Стьюдента. Розрахункові значення можна отримати за формулами:

	n		роз		y)2 / p
		( yi						a
F	i	1					; ti		i	.	(17)
	n
	( yi	yi	роз	)	2	/(n p 1)		Sa
									i
	s 1

Для визначення меж довірчих інтервалів показника існує формула:

( yпрроз. yпр ; yпрроз. yпр ),

y роз

a

a x

a x

пр

...

a

p

x

pnp

,

(18)

пр

0

1 1пр

2 2

n

2

i

S

i 1

,

(19)

n p

1

yпр

tкрит S 1

X пр ( X T X ) 1 X прТ ,

(20)

де X пр (1 x1пр ... x	рпр	) .

15

Використання деяких функцій в електронних таблицях EXCEL для розрахунку статистики і перевірки лінійної регресійної моделі

Для розрахунку параметрів та статистики моделі можна користуватися статистичною функцією ЛИНЕЙН:

ЛИНЕЙН(известные_значения_y;известные_значения_x;конст;статистика)

Для даної задачі:

известные_значения_y – значення обсягу реалізації продукції (масив значень У) известные_значения_x – значення витрат на рекламу (масив значеньХ)

конст – значення, яке показує, чи необхідно, щоб константа мала нульове значення (конст має значення ЛОЖЬ, задається значення 0), чи щоб константа обчислювалася звичайним способом ( конст має значення ИСТИНА, задається значення 1).

статистика – значення, яке показує, чи необхідно, щоб виводилась додаткова статистика по регресії ( конст має значення ИСТИНА, задається значення 1) або треба вивести тільки значення параметрів регресії ( конст має значення ЛОЖЬ, задається значення 0).

Регресійна статистика має вигляд:

an	an-1	…	a1	a0
Sn	Sn-1	…	S1	S0
R2	Sy
F	Df
ssr	sse
де
an, an-1,…, a0			Параметри регресії
Sn, Sn-1,..., S0			Стандартні помилки параметрів an, an-1,…, a0.
R2			Коефіцієнт детермінації.
Sy			Стандартна помилка для оцінки y
F			F-статистика.
Df			Ступені вільності
ssr			Сума квадратів регресії
ssе			Сума квадратів залишків

Для розрахунку за допомогою функції ЛИНЕЙН треба виконати такі дії:

1)викликати функцію ЛИНЕЙН (fx);

2)у вікні функції задати значення Х (незалежної змінної - фактора) та значення У (залежної змінної – показника); також задати значення статистики (1) та константи (1); Ок;

3)виділити область: кількість стовпчиків дорівнює кількості параметрів регресії; кількість рядків завжди однакова: 5;

4)натиснути функціональну клавішу F2;

5)натиснути одночасно клавіші Ctrl, Shift, Enter.

Критичне значення критерію Фішера знаходяться за допомогою функції FРАСПОБР (α; р; n-р-1) для надійності та при р факторах,

16

n – кількість спостережень,

Критичне значення критерію Стьюдента обчислюється за допомогою функції СТЬЮДРАСПОБР (α; n-р-1) для надійності 1- α ,

n – кількість спостережень, р – кількість факторів.

Для визначення добутку матриць можна користуватися функцією МУМНОЖ, для обчислення оберненої матриці - функцією МОБР, для транспонування матриць – функцією ТРАНСП.

Перетворення нелінійних моделей докладно розглянуто в навчальнометодичному посібнику «Економіко-математичні методи та моделі. Частина 2»

[4].

Питання для самоконтролю

1.Наведіть приклади застосування регресійних моделей в аналізі фінансової діяльності підприємств.

2.В чому полягає економічна сутність кривої Лаффера?

3.Наведіть приклади застосування моделей з фіктивними змінними для аналізу економічних та фінансових процесів.

Завдання до самостійної роботи

Завдання 1

Дослідити вплив собівартості реалізованої продукції на прибуток , отриманий підприємством за даними звітності:

	Рік	Квартал	Дохід	Собівартість
			(yi), тис. грн..	(xi), тис. грн..
	2010	1	89,2	50,1
		2	148,8	110,2
		3	221	169,5
		4	296,2	220,4
	2011	1	498	211
		2	680,3	415
		3	1050,2	656,4
		4	1278	871
	2012	1	1390	812,6
		2	1680,4	1075,2
		3	1990	1340,2
		4	2380,4	1696,3

Оцінити якість побудованої моделі.

Визначити оцінки прогнозу (точкову, інтервальну) очікуваного прибутку, якщо собівартість продукції складатиме 1750 тис. грн..

17

Завдання 2

Визначити, яким чином чисельність персоналу впливає на об’єм виробництва продукції за даними підприємства:

	Чисельність	Об’єм виробництва
Рік	персоналу,	продукції, тис. грн.,
	чол..,Xі	Yі
2009 -1	542	25098,5
2009 2	538	32008,5
2009 -3	534	34176,5
2009 -4	533	34271,8
2010-1	533	26423,3
2010-2	538	30833,7
2010-3	543	33007,4
2010-4	547	35620,6
2011-1	547	34071,1
2011-2	549	36904,2
2011-3	552	41501,5
2011-4	553	44605,2

Оцінити якість моделі. Визначити прогнозні оцінки об’єму виробленої продукції, якщо чисельність персоналу збільшиться до 560 та 570 осіб.

Завдання 3

Обсяг перевезень товарів за три роки в залежності від кварталу представлено у таблиці:

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
Y	35	62	53	66	74	105	89	95	106	146	114	120

Побудувати модель перевезень за допомогою фіктивних змінних та звичайну парну модель лінійної регресії.

Порівняти результати.

Побудувати графіки для обох моделей.

Знайти оцінки прогнозу (точкову та інтервальну) обсягу перевезень товарів для третього кварталу наступного року.

Рекомендована література

[3, 7]

18

Тема 2. Моделювання діяльності підприємства із застосуванням виробничих функцій та методів диференційного числення

План вивчення теми

1.Основні поняття, пов’язані з моделюванням за допомогою методів диференціального числення.

2.Еластичність в аналізі фінансової діяльності.

3.Виробничі функції та їх властивості. Еластичність заміщення факторів.

4.Математична теорія фірми. Доход, витрати та прибуток фірми.

5.Аналіз діяльності фірми за допомогою методів диференціального числення. Максимізація прибутку.

6.Бар’єрні показники в фінансовому аналізі.

Навчальні цілі

Ознайомити студентів з особливостями застосування методів та моделей з використанням математичного апарату диференціального числення.

Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми

Основні поняття, що пов’язані з моделюванням за допомогою методів диференціального числення: похідна, частинна похідна, граничні (маржинальні) значення функції або показника, еластичність, гранична заміна факторів. Для визначення оптимальних та бар’єрних значень використовуються теореми диференціального числення, що розглядалися в дисципліні «Математика для економістів».

Виробнича функція пов’язує обсяг випущеної продукції та фактори, що на нього впливають. Використовують різні виробничі функції, виходячи з технології підприємства та його масштабу. Виробничі функції описують процеси і на окремих підприємствах, і в окремих галузях, і в економіці всієї країни.

З видами і застосуванням виробничих функцій можна ознайомитися у літературі , список якої наведено в кінці методичних рекомендацій до даної теми.

Однією з найпоширеніших є виробнича функція Кобба-Дугласа та мультиплікативна функція типа Кобба-Дугласа. Розглянемо більш докладно останню.

Мультиплікативна функція має вигляд:

де X K L

A,

X AK 1 L 2 , 1 0 , 2 0,

(21)

обсяг випущеної продукції; основні засоби підприємства; працезатрати; 1 , 2 – параметри моделі.

Мультиплікативна функція застосовується для моделювання на макрота мікрорівнях.

19

Для визначення параметрів моделі можна застосувати метод найменших квадратів. Для цього нелінійну модель треба звести до лінійної форми. Після логарифмування

ln X	ln A	1 ln K	2 ln L	(22)
і заміни змінних X1 ln( X ) ,	Z1 ln( K ) , Z2 ln( L) ,			отримаємо приведену
лінійну регресію:
X1	a01	1Z1	2Z2 ,	(23)

де a01 ln( A) .

Далі обчислюємо параметри регресії, визначаємо якість та адекватність моделі, визначаємо границі надійних інтервалів для параметрів і прогнозу показника, як для множинної лінійної моделі. Для параметра a01 та границь

надійного інтервалу прогнозу показника треба зробити зворотні перетворення: знайти за допомогою потенціювання.

Приклад розрахунку параметрів виробничої функції докладно наведено у навчально-методичному посібнику «Економіко-математичні методи та моделі. Частина 2» [4].

Зупинимося на питаннях, що раніше не розглядалися.

Частковим випадком неокласичної мультиплікативної виробничої функції є функція Кобба-Дугласа:

X

AK L1

,

1

,

2

1

.

(24)

Зі зростанням витрат ресурсів випуск також зростає, про що свідчать

частинні похідні випуску:

F

AK

1 1

L

2

1 X

0 ,

оскільки

1

0 ;

(25)

K

1

K

F

AK 1 L 2

1

2 X

0 , оскільки

0.

(26)

L

2

L

2

Здійснимо економічну інтерпретацію параметрів мультиплікативної

виробничої функції [1].

Параметр А інтерпретують як параметр нейтрального технічного

прогресу: за тих самих значень

1

та

2

випуск буде тим більшим, чим більше

А.

Параметри 1 та 2

- коефіцієнти еластичності випуску за основними

фондами та працею

відповідно.

Якщо

1 >

2 , то

має місце

працеощадне

(інтенсивне) виробництво; якщо

1 < 2 , виробництво є екстенсивним.

Граничною нормою заміни праці фондами називають відношення:

SK	dK		F /	L	,	(27)
	dL		F /	K

і, відповідно, гранична норма заміни фондів працею:

SL	dL		F /	K	.	(28)
	dK		F /
				L

20