Математичні моделі в економіці Ден. Маг. 2015 Чупилко

знак корпорації. Це може принести як вигоду, так і невдачу. На яку з двох з двох корпорацій підприємству вигідніше орієнтуватися?

	Варіант злиття		Успіх		Невдача
		імовірність	прибуток, млн. $	імовірність	прибуток, млн. $
	1 корпорація	0,5	8	0,5	1,9
	2 корпорація	0,4	10	0,6	1

Завдання 2

Відомо, що відносні збитки, обчислені по відношенню до запланованих витрат від даного виду підприємницької діяльності, мають нормальний закон розподілу N(30, 0.8). Керівництво фірми вважає, що для їхнього підприємства критерії допустимого, критичного та катастрофічного ризиків набувають таких значень: kдп = 0,2, kкр = 0,02, kкт = 0,001.

Виходячи із зроблених припущень, оцінити величину ризику допустимого, критичного та катастрофічного збитків та визначити їх співвідношення з критичними значеннями, якщо реальними є такі показники ризику: xдп 25%, xкр 32%, xкт 35%?

Завдання 3

Для платіжних матриці визначити нижню і верхню ціни гри, мінімаксні стратегії гравців; знайти оптимальний розв’язок гри, якщо існує сідлова точка:

4	5	3				4		5	6	7	9	8
						3		4	6	5	6	3
				2) A
1) A 6	7	4	;			7	6		10	8	11	5 .
5	2	3				8		5	4	7	3	5
				Рекомендована література
				[2,	5, 7]
Змістовий	модуль			2. Сучасні	моделі		і	методи			в	емпіричних

дослідженнях і прогнозуванні економічної діяльності підприємства

Тема 5. ARIMA-моделі та моделі лонгітюдних даних

План вивчення теми

1.Використання в фінансовому аналізі ARIMA-моделей.

2.Застосування моделей панельних даних при дослідженні проблем фінансів.

Навчальні цілі

Ознайомити студентів із застосуванням сучасних економетричних моделей у дослідженнях проблем фінансів.

41

Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми

Методику побудови ARIMA-моделей та моделей панельних даних розглянуто у навчальному посібнику [2] (розділ 5). Для застосування ARIMAмоделей необхідною умовою є стаціонарність часового ряду, що на практиці трапляється рідко. Тому використовують деякі прийоми, що дозволяють привести процес до стаціонарного виду.

Панельні дані поєднують дані просторового і часового типу.

В загальному вигляді регресійна модель панельних даних має наступний вигляд:

xit	Zit	it	it ,	i	1,...,N; t	1,...,T.	(83)
де i – індекс економічної	одиниці ,		t	–	час, it	– коефіцієнти	вектора
пояснюючих змінних Zit в час t		для вибіркової одиниці i .

Можна виділити специфічні фактори (не спостережувані), які відносяться до моменту часу та до економічних одиниць, що дозволяє враховувати індивідуальні особливості, але при цьому вважати, що коефіцієнти при факторах Zit незмінні. Таким чином, можна отримати більш просту модель:

xit Zit t fi it , (84)

де Zit – вектор-рядок спостережень за факторами. В такій моделі вплив змін

факторів Z на X є постійним для всіх періодів і для всіх вибіркових одиниць, але середні рівені для вибіркових одиниць і для періодів можуть відрізнятися.

Коефіцієнти fi виражають	індивідуальні ефекти економічних одиниць, не
залежних від часу. Величина	t	уловлює ефекти, які відносяться до часу, але є

сталими по індивідуумам. Передбачається, що помилки it незалежні, однаково розподілені випадкові величини (як по індивідуумам, так і по часу) з нульовим

математичним очікуванням та дисперсією				2 .
Для коротких панельних даних (Т мале) часові ефекти краще за все
враховувати за допомогою фіктивних змінних h k , які задаються як
		hk	1,	k t,
			0,	k	t.
							(85)
Складемо з фіктивних змінних для періоду матрицю: H h1,h2 ,...,hT							, а
з часових ефектів – вектор коефіцієнтів				. Тоді модель можна переписати в
наступному вигляді:
	xit	Zit		Hit	fi it .		(86)
У подальшому не будемо окремо розглядати часові ефекти, а просто
приєднаємо матрицю H до матриці факторів Z:
	xit	Zit		fi	it .		(87)
У цьому запису часові ефекти		t входять у число коефіцієнтів .
Відносно	індивідуальних	ефектів			економічних	одиниць

використовуються два основних підходи, які відрізняються припущеннями відносно невідомих змінних fi в моделі.

42

Модель з фіксованими ефектами передбачає, що ефекти fi		є	N
фіксованими невідомими параметрами моделі.
Модель з випадковими ефектами передбачає, що ефекти		fi	є
випадковими величинами, які не корельовані з	it .

Модель, побудована на таких даних, по суті, є регресійною багатофакторною. Оцінювання параметрів та дослідження такої моделі проводиться таким же чином, як для звичайної багатофакторної регресії.

Питання для самоконтролю

1.Наведіть приклади застосування ARIMA-моделей.

2.Наведіть приклади застосування моделей панельних даних.

3.В чому полягає особливість оцінювання параметрів моделей з фіксованими і випадковими ефектами?

4.Опишіть загальну схему побудови ARIMA-моделей.

Завдання для самостійного виконання

Нижче наведені статистичні дані для двох банків. Проаналізувати дані.

За даними в таблицях побудувати модель кредитного портфелю банку, використовуючи лонгітюдні змінні.

Зробити висновки. Дані для Банку№1:

				Кредитний	Іпотечні	Побутові	Авто-
		Рік	Квартал	портфель	кредити	кредити	кредити
			І	1 514 836	44 910	5020	11250
			ІІ	2 019 782	59 880	5247	12458
		2008
			ІІІ	3 534 618	104 791	6783	10564
			ІV	3 029 673	89 821	6940	8347
	№1		І	803 324	46 185	4523	9467
			ІІ	1 874 423	48 246	5601	10235
	Банк	2009
			ІІІ	1 071 099	84 431	6594	11456
			ІV	1 606 649	72 370	6370	8302
			І	666 786	36 522	5234	9504
			ІІ	889 048	48 697	6548	10348
		2010
			ІІІ	1 555 835	85 219	6349	9567
			ІV	1 333 573	73 045	6023	8259

43

Дані для банку №2:

				Кредитний	Іпотечні	Побутові	Авто-
		Рік	Квартал	портфель	кредити	кредити	кредити
			І	1 253 834	33 810	4930	12251
			ІІ	2 349 756	60 878	5448	13450
		2008
			ІІІ	2 834 645	105 761	6983	10765
			ІV	3 129 675	91 821	6741	8647
	№2		І	908 378	50 200	5523	9465
			ІІ	1 874 423	58 236	5671	11236
	Банк	2009
			ІІІ	1 071 099	82 424	6598	10457
			ІV	1 856 650	72 550	6479	9302
			І	766 886	35 522	5234	10504
			ІІ	989 048	50 698	6348	9350
		2010
			ІІІ	1 355 835	87 217	6375	9588
			ІV	1 393 563	72 055	5934	8363

Рекомендована література

[1, 7]

Тема 6. Методи багатовимірного статистичного аналізу

План вивчення теми

1.Необхідність використання методів зниження розмірності задачі.

2.Метод головних компонент.

3.Факторний аналіз.

4.Рейтинг як узагальнена оцінка діяльності економічної системи.

Навчальні цілі

Ознайомлення студентів із застосуванням методів багатовимірного статистичного аналізу і рейтингового управління фінансовою діяльністю підприємств у майбутній фаховій діяльності.

Методичні рекомендації до вивчення теми

Одночасне використання великої кількості покажчиків значно ускладнює фінансово-економічний аналіз. У зв’язку з цим набули поширення методи зниження розмірності задачі за рахунок узагальнених покажчиків.

Якщо показники фінансової системи мають різні одиниці вимірювання, то їх треба привести до однієї основи, тобто стандартизувати (уніфікувати).

44

Вектор початкових ознак x j (x1,...,xn )					замінюють вектором стандартизованих
значень	z j (z1,...,zn ) . Використовують різні способи стандартизації
даних.
Найчастіше інтегральна оцінка I j визначається як середнє арифметичне
стандартизованих значень. Для j-ї одиниці сукупності
						1 n
		I j					zij .		(88)
						n i 1
Якщо ознаки різновагомі, то кожній з них надається вага, і інтегральна
оцінка визначається як середня арифметична зважена:
		1 n					n
	I j				di zij , де			di	1	(89)
		n i
				1			i 1
Показники	розподіляють на			стимулятори				та	дестимулятори	для

інформаційної спрямованості показника. Зв'язок між оцінкою і показником-

стимулятором xst	прямий, між оцінкою і де стимулятором		xdst -
обернений. При	агрегуванні	дестимулятори можна	перетворити на
стимулятори:
		xst 1 xdst .	(90)

Всі способи стандартизації ґрунтуються на порівнянні емпіричних значень показника з певною величиною а . Такою величиною може бути мінімальне або максимальне, середнє або еталонне значення показника.

Результат порівняння представляють відношенням								хij	або
								a
		хij	a
відхиленням				, де	q - одиниця стандартизації.
			q
У соціально-економічних дослідженнях використовують інтегральні
оцінки, розраховані на основі відхилень (xij						a) відносно варіаційного розмаху
(xmax xmin ) .	Для стимуляторів приймають					a xmin ,	для дестимуляторів
a xmax :

	zij	хij	xmin	;	zij	xmax	хij	.	(91)
		xmax	xmin			xmax	xmin

До методів зниження розмірності відносяться метод головних компонент, факторний аналіз, екстремальне групування параметрів та ін..

Для зниження розмірності задач використовують факторний, дискримінантний і кластерний аналіз. Всі методи засновані на групуванні даних.

Більш докладно методи і питання, пов’язані з групуванням даних, розглянуті в [13].

45

Завдання та методичні рекомендації до вивчення теми

За даними завдання для самостійної роботи до Теми 5 побудувати інтегральний показник розвитку кредитування. Оцінити і порівняти кредитоспроможність Банку №1 і Банку №2 за основними видами кредитування. Проаналізувати результати і зробити висновки.

Питання для самоконтролю

1.Сутність задач зниження розмірності.

2.Обчислення головних компонент.

3.Сутність основних етапів та інструментарію статистичного аналізу даних, необхідних для рейтингового оцінювання.

4.Сутність моделі рейтингового оцінювання життя населення.

Рекомендована література

[1, 7]

46

3. ЗАВДАННЯ ТА МЕТОДИЧНІ РЕКОМЕНДАЦІЇ ДО ПРАКТИЧНИХ ЗАНЯТЬ

Модуль І. Математичні моделі в економіці

Змістовий модуль 1. Базові економіко-математичні моделі дослідження економічної діяльності підприємства

Практичне заняття № 1, 2

Тема 1. Регресійні моделі дослідження економічної діяльності підприємства

План заняття

1.Основні теоретичні відомості щодо використання регресійних моделей.

2.Завдання : постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

3.Підведення підсумків заняття.

Навчальні цілі

Ознайомити студентів з задачами економічного аналізу, які розв’язуються на основі регресійних економетричних моделей.

Обладнання, яке потрібне для проведення практичного заняття:

програмне забезпечення табличного процесора Excel.

Завдання 1

Побудувати двофакторну модель: оцінити, як продуктивність праці на підприємстві залежить від оплати праці та виручки від реалізації. Оцінити якість моделі.

		Продуктивність	Оплата праці на одного	Виручка від реалізації
	Рік		працюючого,
		праці		продукції, тис. грн..
			тис. грн.
	2004	143,70	10,88	241683
	2005	378,20	13,33	648689,8
	2006	483,80	16,44	834150,8
	2007	534,70	20,10	917057,5
	2008	717,30	25,61	1418710
	2009	506,90	25,17	858378
	2010	1137,20	31,71	1554257
	2011	1237,40	38,38	1649403
	2012	919,80	45,68	1262897

47

Провести аналіз, який фактор є більш впливовим на продуктивність за допомогою частинних коефіцієнтів еластичності.

Побудувати модель динаміки продуктивності праці, оцінити якість моделі. Побудувати графік коефіцієнта еластичності. Зробити висновки. Визначити прогнозні оцінки продуктивності на 2013, 2014 р.р.

Які ще залежності можуть бути розглянуті за цими даними? Побудувати і оцінити відповідні моделі.

Зробити узагальнюючі висновки.

Завдання 2

В таблиці наведені середні ціни за житло в залежності від районів міста (1, 2, 3) протягом року.

Рай				Середня ціна за кв. метр протягом року
он	01	02	03	04	05	06	07	08	09	10	11	12
1	1381	1505	1523	1529	1619	1769	1938	2140	2242	2327	2398	2430
2	1696	1812	1805	1841	1957	2146	2320	2500	2556	2649	2756	2755
3	2384	2398	2458	2573	2731	2906	3018	3158	3369	3451	3610	3642

Побудувати модель залежності ціни від фактору часу без урахування та з урахуванням району (багатофакторну з фіктивними змінними).

Оцінити параметри та їх значимість, якість регресії. Знайти прогноз цін на житло для 3-го кварталу наступного року (точкову та інтервальну оцінки) з надійністю 0,95.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Необхідно ознайомитися з методичними рекомендаціями до самостійної роботи до Теми 1, де наведені основні теоретичні положення і формули, а також рекомендованою літературою.

Завдання 1 рекомендується виконувати в такій послідовності:

1.Перевірити наявність мультиколінеарності.

2.Побудувати модель залежності продуктивності від двох факторів: оплати праці і виручки від реалізації. Оцінити модель за критеріями.

3.Побудувати графіки частинних коефіцієнтів еластичності продуктивності по оплаті праці та по виручці. Зробити висновки.

4.Побудувати модель динаміки продуктивності праці. Оцінити модель.

5.Побудувати графік коефіцієнту еластичності продуктивності праці. Зробити висновки.

6.Оцінити прогноз (точково та інтервальну) продуктивності на 2013 рік.

7.За всіма моделями зробити висновки.

48

Завдання 2 виконувати за допомогою фіктивних змінних в такій послідовності:

1. Побудувати модель залежності ціни від фактору часу без урахування району. Оцінити якість моделі.

2. Побудувати модель залежності ціни від фактору часу з урахуванням району (за допомогою фіктивних змінних). Оцінити якість моделі.

3. Знайти прогноз цін на житло для 3-го кварталу наступного року (точкову та інтервальну оцінки )з надійністю 0,95 за двома моделями. Порівняти прогнозні оцінки.

Контрольні завдання

Завдання 1

Провести дослідження впливу оборотних активів на прибуток підприємства.

Підібрати функцію, що найкраще описує вихідні дані. Порівняти з лінійним наближенням за статистичними характеристиками.

Для нелінійної і лінійної регресії провести аналіз якості моделі. Побудувати довірчу зону регресій. Визначити довірчий інтервал прогнозу

для динаміки прибутку на наступний рік.

Побудувати графік коефіцієнту еластичності. Зробити висновки.

	Рік	Прибуток, тис. грн..	Оборотні активи, тис.
			грн..
	2007	210,0	50,0
	2008	380,0	75,0
	2009	490,0	98,0
	2010	525,0	115,0
	2011	480,0	110,0
	2012	500,0	154,2

Завдання 2

Сільськогосподарська продукція має сезонні властивості. Розглянути, яким чином сезонність впливає на виручку від реалізації огірків та помідорів.

Побудувати регресію динаміки виручки від реалізації продукції за місяцями одного року. Підібрати функцію, що дає найкраще наближення.

Оцінити якість моделі. Побудувати графік коефіцієнту еластичності. Визначити прогнозні оцінки на 7 та 8 місяці наступного року. Розглянемо статистичні дані підприємства:

49

Період	Виручка від реалізації	Виручка від реалізації
(місяць)	огірків, тис.грн.	помідорів, тис.грн.
1	86,20	0,00
2	2853,40	0,00
3	3755,90	395,50
4	5015,10	3254,30
5	3002,40	3777,30
6	946,00	2894,70
7	800,20	1742,70
8	658,30	748,70
9	1373,00	903,90
10	1329,80	959,10
11	65,80	54,20
12	0,00	0,00

Рекомендована література

[3, 7]

50