Математичні моделі в економіці Ден. Маг. 2015 Чупилко

	Бригада			Об’єкт
		1	2	3	4	5
	Іванченка	43	24	35	62	35
	Петренка	45	21	38	58	33
	Сидоренка	51	29	36	61	38
	Волкова	47	27	35	60	39
	Козлова	48	26	37	59	39

Потрібно:

1)розподілити об’єкти між бригадами таким чином, щоб сумарна кількість людино-днів, витрачена на ремонт всіх 5 об’єктів , була мінімальною;

2)з’ясувати, скільки людино-днів буде витрачено на ремонт всіх об’єктів при оптимальному розподілі бригад;

3)встановити, який з об’єктів треба доручити Волкову.

Рекомендована література

[1, 2, 4, 5]

61

Практичне заняття № 7

Тема 2. Моделювання діяльності підприємства із застосуванням виробничих функцій та методів диференційного числення

Тема 3. Моделювання діяльності підприємства із застосуванням методів математичного програмування

План заняття

1.Завдання 1,2 (тестові): постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

2.Підведення підсумків заняття.

Навчальні цілі

Оцінити знання та вміння студентів застосовувати методи диференційного числення та математичного програмування для оптимізаційного розв’язку задач економіки та фінансів.

Обладнання, яке потрібне для проведення практичного заняття:

програмне забезпечення табличного процесора Excel.

Завдання 1 (тестове)

За даними Завдання Практичного заняття №3 провести розв’язування задачі в умовах монополії на ринку (ціна залежить від обсягів виробництва). Значення ціни на продукцію фірми Р наведено в таблиці.

Побудувати лінійну залежність ціни Р від обсягів виробництва Y та оцінити статистичну якість моделі, що побудовано.

Побудувати функцію витрат від об’єму продукції (можна скористатися результатами Практичного заняття №3).

Скласти функцію прибутку. Визначити аналітично і графічно оптимальний обсяг виробництва фірми, за якого прибуток фірми буде максимальним, та визначити відповідний даному обсягу виробництва прибуток.

Визначити інтервали прибутковості і збитковості виробництва графічно і аналітично.

Побудувати функції маржинальних витрат і доходу та їх графіки. Визначити, до якого об’єму доцільно нарощувати випуск продукції.

Завдання 2 (тестове)

Будівельно-інвестиційна компанія розглядає варіанти придбання 10 об’єктів комерційної нерухомості для їх реконструювання та наступної експлуатації або продажу. Кожен із цих об’єктів можна охарактеризувати чотирма агрегованими показниками потрібних витрат: праця, техніка, матеріали, фінанси (гроші), а також очікуваний прибуток (в млн.. грн..), який можна отримати в результаті реалізації проекту.

62

Відповідні дані та розмір власних коштів компанії наведені в таблиці:

Об’єкт		Необхідність в коштах			Очікуваний
	Праця	Техніка	Матеріали	Гроші	прибуток
1	35	5	2	7	10,9
2	43	3	4	5	9,7
3	35	2	3	9	10,3
4	37	7	7	6	10,6
5	74	3	4	4	10,8
6	75	4	5	3	9,7
7	39	5	2	7	10,8
8	31	4	3	2	10,5
9	29	7	4	4	10,8
10	48	4	5	5	9,8
Запаси	215	21	17	30
ресурсів

Потрібно встановити:

1.Які з об’єктів обрати для досягнення максимального прибутку за умови використання тільки власних ресурсів.

2.Як зміниться розв’язок, якщо врахувати додаткові обмеження:

-із двох об’єктів №7 та №8 може бути придбаний тільки один (одночасне придбання неможливе);

-об’єкт №1 може бути придбаний тільки за умови придбання об’єкту №2.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Завдання 1 (тестове) рекомендується виконувати в послідовності:

1.побудувати лінійну функцію залежності ціни від обсягу виробництва, оцінити якість моделі;

2.далі: аналогічно п.3 методичних рекомендацій Практичного заняття №3.

Завдання 2 (тестове) рекомендується виконувати за допомогою «Поиск решения» в EXCEL в такій послідовності:

1.записати математичну постановку задачі: цільову функцію та обмеження, які враховують задані умови;

2.реалізувати розв’язування в «Поиск решения»;

3.проаналізувати результати та зробити висновки.

Контрольні завдання

Завдання 1

Задача про оптимальну виробничу програму підприємства

Підприємство випускає три види виробів для кріплення: болти, гайки та шайби. Норми використання сировини, часу роботи обладнання та витрат електроенергії, які необхідні для виробництва кожного виду виробів, наведені в таблиці:

63

	Виробничі ресурси	Витрати ресурсів на тону продукції			Запаси ресурсів
		Болти	Гайки	Шайби
	Сировина	3	5	12	154
	Обладнання	5	7	8	210
	Електроенергія	2	8	11	100
	Дохід від реалізації	194	175	264
	(у.о./т)

Окрім запасів на формування програми впливає необхідність виконання контрактних зобов’язань: підприємство має забезпечити поставку болтів у кількості 4 т, гайок – у кількості 2 т, шайб – у кількості 3 т.

Потрібно сформувати виробничу програму (визначити об’єми випуску кожного виду продукції), за якої дохід від реалізації буде максимальним.

Завдання 2

Задача про оптимальний план оренди складських приміщень

Велика фірма – імпортер побутової техніки має постійну потребу в оренді складських приміщень. У другому кварталі поточного року, у відповідності з запланованими поставками з-за кордону, потреби в складських приміщеннях складуть: у квітні – 30 тис. кв. м, у травні – 40 тис. кв. м, у червні – 25 тис. кв.м. Для оренди пропонуються площі, які складаються із блоків по 1000 кв.м. Вартість оренди складських приміщень залежить від терміну, на який укладають договір. Вона складає 10, 8 та 6 грн. за один кв. м. відповідно для термінів договору на 1, 2 і 3 місяці. Оплата має проводитися на початку кожного місяця, попереднього відповідному договору за весь термін оренди.

У відповідності зі своїми фінансовими можливостями, фірма може виділити на орендні платежі в майбутньому кварталі не більше 400 тис. грн. у квітні, 300 тис. грн. в травні та 200 тис. грн. у червні.

Потрібно:

1)скласти план оренди, який мінімізує витрати фірми по оплаті складських приміщень;

2)оцінити діапазон ефективності рішень, порівнюючи найкращий та найгірший варіанти оренди;

3)з’ясувати, яким буде оптимальний план оренди, якщо зняти фінансові обмеження, і якою буде економія фірми в цьому випадку.

Завдання 3

Задача про оптимальний розподіл робочих за операціями

Майстер цеху має призначити шість робітників на складання виробу, яке потребує виконання шести різних операцій. Різні за кваліфікацією працівники витрачають різний час на виконання операцій. Результати їх тестування наведені в таблиці. Слід урахувати, що робітники 3 і 4 не вміють виконувати операцію №2, а робітник 6 не може виконувати операцію №6.

Яким має бути розподіл робітників по операціях, щоб загальний час, необхідний для складання виробу, був мінімальним?

64

Робітники				Операції
	1	2	3		4	5	6
1	23	6	7		12	6	12
2	8	16	11		6	12	11
3	6	–	9		8	16	23
4	11	–	18		15	15	12
5	12	17	12		11	7	15
6	4	12	11		8	17	–

Рекомендована література

[1, 2, 3, 6]

65

Практичне заняття № 8

Тема 4. Імовірнісні моделі в економіці підприємства

План заняття

1.Основні теоретичні відомості щодо використання імовірнісних моделей та критеріїв обрання оптимальної стратегії.

2.Завдання 1: постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

3.Завдання 2: постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

4.Завдання 3: постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

5.Підведення підсумків заняття.

Навчальні цілі

Ознайомити студентів з використанням імовірнісних моделі та критеріями вибору оптимальної стратегії в задачах економіки і фінансів, пов’язаних з ризиком і прийняттям рішень.

Обладнання, яке потрібне для проведення практичного заняття:

програмне забезпечення табличного процесора Excel.

Завдання 1

Підприємство має тимчасово вільні кошти і бажає вкласти їх у цінні папери. Існує можливість вибору: вкласти кошти в акції або в облігації. В таблиці наведено прибуток (у тис. дол.) . Обрати менш ризиковане рішення. Розв’язування провести за класичним і неокласичним рідходом.

Варіант		Успіх		Невдача
	імовірність		прибуток	імовірність		прибуток
Акції	0,6		500	0,4		300
Облігації	0,9		440	0,1		120

Завдання 2

Сподівана норма прибутку акцій виду А1 становить 60%, оцінка ступеня ризику цих акцій (середньоквадратичне відхилення) – 20%. Для акцій виду А2 відповідно сподівана норма прибутку - 40%, оцінка ступеня ризику – 15%. Коефіцієнт кореляції для цих акцій 0,35. На основі цих видів акцій створюється ПЦП.

Необхідно:

1)обчислити сподівану норму прибутку та оцінити ступінь ризику ПЦП, якщо акції виду А1 становлять 20% вартості цього портфеля;

2)обчислити сподівану норму прибутку та оцінити ступінь ризику ПЦП, якщо акції виду А1 становлять 80% вартості ПЦП;

3)створити оптимальний ПЦП (з мінімальним ступенем ризику);

4)Знайти структуру ПЦП:

66

a.сподівана норма прибутку якого становила б 50%;

b.оцінка ступеня ризику якого становила б 16%.

Завдання 3

Кредитна спілка очікує, що попит на кредитні ресурси у плановому періоді може набути одного із трьох значень: 10, 15, 20 або 25 тис. грн.. Для кожного рівня попиту фахівцями розроблено 4 відповідні умови (стратегії) надання кредиту (з точки зору їх собівартості та інших операційних витрат).

В таблиці наведені розміри витрат, що їх зазнає кредитна спілка, застосовуючи ту чи іншу стратегію кредитування за умов кожного з варіантів попиту на кредитні ресурси.

Варіанти умов		Варіанти попиту
кредитування	10 тис. грн.	15 тис. грн.	20 тис. грн.	25 тис. грн.
1	6	12	20	24
2	9	7	9	28
3	23	18	15	19
4	27	24	21	15

Використовуючи платіжну матрицю (матрицю втрат), яка представлена в таблиці, необхідно обрати оптимальну стратегію згідно з критеріями:

а) Лапласа; б) Вальда; в) Севіджа; г) Гурвіца.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Необхідно ознайомитися з методичними рекомендаціями до самостійної роботи до Теми 4, де наведені основні теоретичні положення і формули, та рекомендованою літературою.

Завдання 1 рекомендується виконувати в такій послідовності:

1.Визначити величини, що характеризують ризик в абсолютних одиницях. Зробити висновки щодо ризикованості обох проектів.

2.Визначити показники ризику у відносних одиницях. Зробити висновки.

3.Узагальнити висновки щодо обрання менш ризикового проекту. Завдання 2 рекомендується виконувати в такій послідовності:

1.Використовувати формули для обчислення числових характеристик ПЦП, який складається із двох видів цінних паперів.

2. Для визначення оптимального складу ПЦП використовувати методи диференціального числення.

Завдання 3 рекомендується виконувати в послідовності:

1.Побудувати матрицю невикористаних можливостей.

2.Визначити імовірності середовищ.

3.Ознайомитися з критеріями.

4.Визначити оптимальну стратегію окремо за кожним з критеріїв.

67

5. Зробити висновки.

Контрольні завдання

Завдання 1

Вам надається можливість вибору тимчасової роботи зі збуту продукції у двох різних місцях. Оплата праці на першому здійснюється на комісійних засадах: прибуток залежить від того, скільки Вам удалося продати. На другому місці робота оплачується за ставкою, але існує можливість виходу фірми з бізнесу, і тоді Ви матимете меншу заробітну плату. Яке місце роботи менш ризиковане?

	Місце роботи		Успіх		Невдача
		імовірність	прибуток, $	імовірність	прибуток, $
	1	0,5	3000	0,5	2000
	2	0,99	2510	0,01	1510

Завдання 2

Відомо, що відносні збитки, обчислені по відношенню до запланованих витрат від даного виду підприємницької діяльності, мають нормальний закон розподілу N(6, 0.7). Суб’єктом керування визначені границі допустимого, критичного та катастрофічного збитків: хдп=45%, хкр=60%, хкт=80% . Керівництво фірми вважає, що для їхнього підприємства критерії допустимого, критичного та катастрофічного ризиків набувають таких значень: kдп = 0,15, kкр = 0,015, kкт = 0,0015. Виходячи із зроблених припущень, оцінити величину ризику допустимого, критичного та катастрофічного збитків та визначити їх співвідношення з критичними значеннями.

Рекомендована література

[5, 7]

68

Практичне заняття № 9

Тема 4. Імовірнісні моделі в економіці підприємства

План заняття

1.Завдання 1 (тестове): постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

2.Завдання 2 (тестове): постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

3.Підведення підсумків заняття.

Навчальні цілі

Оцінити знання та вміння студентів використовувати імовірнісні моделі та критерії вибору оптимальної стратегії в задачах економіки і фінансів, пов’язаних з ризиком і прийняттям рішень.

Обладнання, яке потрібне для проведення практичного заняття:

програмне забезпечення табличного процесора Excel.

Завдання 1 (тестове)

Сподівана норма прибутку акцій виду А1 становить 60%, оцінка ступеня ризику цих акцій (середньоквадратичне відхилення) – 20%. Для акцій виду А2 відповідно сподівана норма прибутку - 40%, оцінка ступеня ризику – 15%. Коефіцієнт кореляції для цих акцій 0,35. На основі цих акцій створюється ПЦП.

Знайти структуру ПЦП:

a.сподівана норма прибутку якого становила б 50%;

b.оцінка ступеня ризику якого становила б 16%.

Завдання 2 (тестове)

За даними таблиці побудувати функцію апроксимації виручки від реалізації морозива та оцінити її адекватність за критерієм Фішера.

Місяць	2008	2009	2010
1	28,00	65,00	79,00
2	30,00	59,00	79,00
3	35,00	58,00	79,00
4	45,00	60,00	80,00
5	2000,00	2899,00	3200,00
6	4890,00	5774,00	6125,00
7	4980,00	5870,00	6200,00
8	4810,00	5769,00	6189,00
9	560,00	1280,00	1780,00
10	35,00	65,00	79,00
11	30,00	59,00	79,00
12	27,00	59,00	79,00

69

Функцію обрати у вигляді, наближеному до щільності нормального розподілу з додатковим параметром А:

f (x)	А			e ( х a)	2	/(2	2	) .
	2

Визначити точкові оцінки прогнозних значень виручки на 2012 рік (помісячно).

Методичні рекомендації до практичного заняття

При розв’язуванні Задачі 1 можна використовувати результати, отримані при розв’язуванні аналогічної задачі на Практичному занятті №6.

Задачу 2 розв’язувати в послідовності: побудувати розподіл даних;

визначити за розподілом параметри нормально розподіленої величини виручки; підібрати параметр А; оцінити адекватність моделі за критерієм Фішера;

визначити точкові оцінки прогнозних значень (помісячно).

Контрольні завдання Завдання 1

Торгове об’єднання вирішило в поточному році залишити одну торгову точку з двох, що раніше функціонували на вулицях міста. Прибуток від двох торгових точок був приблизно однаковий. Виходячи з позиції мінімального ризику, необхідно прийняти рішення щодо ліквідації однієї торгової точки.

	Торгова	Сприятливі обставини		Несприятливі обставини
		імовірність	прибуток,	імовірність	прибуток,
	точка
			тис. грн.		тис. грн.
	1	0,4	40	0,6	30
	2	0,8	35	0,2	25

Завдання 2

Підприємство ставить за мету вихід на ринок зі своєю продукцією. Можливі чотири варіанти рішень х1, х2, х3, х4 щодо випуску продукції. Маркетингові дослідження показали, що рішення залежить від попиту на продукцію (стану економічного середовища), який можна представити трьома варіантами 1, 2, 3. На базі застосування відповідних економікоматематичних (імітаційних) моделей розраховано функціонал оцінювання (прибуток у тис. грн.), який наведено в таблиці:

Варіанти		Варіанти станів середовища
рішень	1		2		3
х1	2,0		3,0		1,5
х2	7,5		2,0		3,5
х3	2,5		8,0		2,5
х4	8,0		5,0		4,5

70