Математичні моделі в економіці Ден. Маг. 2015 Чупилко

Практичне заняття № 3

Тема 1. Регресійні моделі дослідження економічної діяльності підприємства

План заняття

1.Завдання 1 (тестове): постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

2.Завдання 2 (тестове): постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

3.Підведення підсумків заняття.

Навчальні цілі

Оцінити знання та вміння студентів застосовувати методи економетричного аналізу для розв’язування задач фінансової діяльності.

Обладнання, яке потрібне для проведення практичного заняття:

програмне забезпечення табличного процесора Excel.

Завдання 1 (тестове)

Маємо показники прибутку трьох підприємств:

Побудувати тренди прибутку (для підприємства №1 – лінійний ; для підприємства №2 – логарифмічний;для підприємства №3 – квадратичний) та визначити прогноз прибутку з урахуванням тенденції на 2013 рік з довірчою імовірністю 0,95. Визначити точкові та інтервальні оцінки. Побудувати графіки коефіцієнтів еластичності для трьох підприємств. Зробити порівняльний аналіз.

Роки		Прибуток підприємства
	№1		№2		№3
2002	39		25		43
2003	40		30		50
2004	43		36		51
2005	44		38		57
2006	46		42		60
2007	37		38		65
2008	46		41		68
2009	50		45		75
2010	51		47		85
2011	53		45		98

Завдання 2 (тестове)

51

Побудувати модель регресії з урахуванням фактору часу та фіктивних змінних за динамічним рядом споживання електроенергії. В таблиці наведені дані для 4-х років поквартально.

t	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
y	6.0	4.4	5.0	9.0	7.2	4.8	6.0	10.0	8.0	5.6	6.4	11.0	9.0	6.6	7.0	10.8

Оцінити параметри рівняння, адекватність моделі , значимість параметрів регресії та зробити економічний аналіз моделі.

Побудувати тренди моделі з фіктивними змінними.

Визначити прогнозні оцінки (точкову, інтервальну) на 18 період.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Завдання 1 виконувати в такій послідовності:

1.Використовуючи математичні перетворення і заміну змінних, привести відповідні моделі (за умовою завдання) до лінійних, оцінити параметри та якість кожної.

2.Побудувати відповідні графіки.

3.Розрахувати прогноз прибутку для трьох підприємств за відповідними трендами.

4.Зробити висновки.

Завдання 2 виконувати в такій послідовності:

1.Побудувати модель за допомогою фіктивних змінних.

2.Визначити прогнозні оцінки: точкову та інтервальні.

3.Побудувати відповідні лінії тренда і прогноз.

Контрольні завдання

Завдання 1

В таблиці наведено статистичні дані звітності підприємства:

	Рік	Продуктивність праці
		промислово-виробничого
		персоналу, тис.грн./чол.
	2006	175,21
	2007	170,29
	2008	167,09
	2009	99,46
	2010	90,46
	2011	24,30
	2012	25,40

Побудувати регресійну модель, підібравши нелінійну функцію, яка найкраще описує вихідні дані. Оцінити якість моделі. Визначити прогнозні оцінки продуктивності праці промислово-виробничого персоналу підприємства на 2013 р. Побудувати довірчу зону.

52

Завдання 2

Біолог досліджує вплив температури та вологості на ріст клітин. Отриману інформацію про 7 посівів наведено у таблиці:

Посів	Температура, град. С,	Вологість, %,	Ріст клітин,
	Х1	Х2	У
1	4	8	10.000
2	8	12	11.122
3	12	19	14.025
4	16	30	19.022
5	20	50	26.872
6	24	70	42.308
7	26	80	45.15

Змоделюйте відношення між кількістю клітин, температурою та вологістю (1 модель). Використайте змінну взаємодії для оцінки спільного впливу температури та вологості (2 модель).

Оцініть параметри обох моделей, якість моделей. Дайте інтерпретацію результатів.

Рекомендована література

[3, 6]

53

Практичне заняття № 4, 5

Тема 2. Моделювання діяльності підприємства із застосуванням виробничих функцій та методів диференційного числення

План заняття

1.Виробничі функції. Мультиплікативна виробнича регресія.

2.Основні положення, що є основою для розв’язку задач із застосуванням методів диференційного числення.

3.Завдання 1: постановка задачі, розв’язування, висновки.

4.Завдання 2: постановка задачі, розв’язування, висновки.

5.Підведення підсумків заняття.

Навчальні цілі

Ознайомити студентів з особливостями застосування методів та моделей з використанням математичного апарату диференційного числення для розв’язування економічних задач.

Обладнання, яке потрібне для проведення практичного заняття:

програмне забезпечення табличного процесора Excel.

Завдання 1

В таблиці наведені витрати С (у.о.) та кількість виробленої підприємством продукції У (у.о.). Розв’язування задачі провести в умовах досконалої ринкової конкуренції (продукція реалізується за сталою ціною 10

у.о.).

У	20	30	35	40	50	60	55	45	70	65	75	50
С	190	210	230	240	280	375	330	280	470	400	550	350
Р	15	15	14	13	12	14	12	13	12	13	12	11

Прим.: останній рядок таблиці буде використано в Практичному занятті №5

Побудувати функцію залежності витрат виробництва від обсягу виробництва. Скласти функцію прибутку. Побудувати графік прибутку.

Визначити аналітично і графічно оптимальний обсяг виробництва фірми, за якого прибуток фірми буде максимальним, та визначити відповідний даному обсягу виробництва прибуток.

Побудувати функції маржинальних витрат і маржинального доходу та їх графіки.

Визначити інтервали прибутковості і збитковості виробництва графічно і аналітично. Проаналізувати, до якого обсягу доцільно нарощувати виробництво.

54

Завдання 2

Виробнича фірма випускає продукцію із застосуванням праці робітників і основних засобів виробництва.

Побудувати виробничу мультиплікативну регресію, оцінивши її параметри. Перевірити адекватність побудованої моделі вихідним даним. Зробити економічний аналіз параметрів виробничої функції.

Дані за 8 часових періодів наведені в таблиці:

Y,	K,	L,
Об’єм випуску,	основні засоби,	кількість
тис. грн..	тис. грн.	працюючих,
		осіб
43	20	10
48	30	13
56	33	15
60	35	17
68	37	16
87	40	18
90	42	19
99	50	20
?	55	25

Визначити прогнозні оцінки об’єму випуску для значень факторів, наведених в останньому рядку таблиці.

Методичні рекомендації до практичного заняття

Необхідно ознайомитися з методичними рекомендаціями до самостійної роботи до Теми 2, де наведені основні теоретичні положення і формули, та рекомендованою літературою.

Завдання 1 рекомендується виконувати в такій послідовності:

1.Підібрати функцію, яка найкраще описує залежність витрат виробництва C від обсягів виробництва Y та оцінити статистичну якість відповідної моделі (пропонується квадратична залежність).

2.За критеріями оцінити якість моделі.

3.Розв’язування проводити у наступній послідовності:

1.скласти функцію прибутку;

2.побудувати графіки витрат і прибутку;

3.визначити графічно оптимальний обсяг виробництва, за якого прибуток максимальний;

4.визначити графічно, за яких значень виробництво прибуткове, за яких – має збитки;

5.визначити аналітично оптимальний обсяг та максимальний прибуток, використовуючи методи диференціального числення;

55

6.визначити аналітично за яких значень виробництво прибуткове, за яких – має збитки;

7.побудувати функції маржинальних витрат і доходу (на одному графіку), визначити перетин функцій;

8.визначити значення обсягу продукції, до якого доцільно нарощувати виробництво;

9.зробити висновки.

Завдання 2 рекомендується виконувати в послідовності:

1.Оцінити параметри виробничої регресії.

2.Перевірити якість моделі.

3.Визначити точкову оцінку прогнозу випуску продукції.

4.Визначити границі довірчого інтервалу для випуску продукції.

Контрольні завдання

Завдання 1

Є дані про металургійний сектор в Україні:

	Обсяг продукції,	Витрати праці, млн.	Витрати капіталу,
Рік	млн. у.г.о.	днів	млн. у.г.о.
	У	Х1	Х2
1972	12767	375	131427
1973	16347	402	134267
1974	19542	478	139038
1975	21075	553	146450
1976	23052	616	153714
1977	26128	695	164783
1978	29563	790	176864
1979	33376	816	188146
1980	38354	848	205841
1981	46868	873	221748
1982	54308	999	239715

Побудувати функцію Кобба-Дугласа, яка описує залежність між випуском продукції металургійної галузі, затратами праці та витратами

капіталу:

Y=a0X1a1X2a2.

Розрахувати її параметри МНК, знайти коефіцієнт детермінації та оцінений коефіцієнт детермінації, стандартні квадратичні відхилення для параметрів регресії.

З надійністю Р=0.95 встановити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним.

Якщо модель адекватна статистичним даним, то знайти частинні коефіцієнти еластичності, значення прогнозу і його надійний інтервал при Х1=1002, Х2=250004, дати економічну інтерпретацію результатам.

Побудувати ізокванту, якщо Y=55000млн. у.г.о.

56

Оцінити масштаб і ефективність виробництва.
Використовуючи розрахунки,			зробити висновки.
		Завдання 2
	Статистичні дані наведені в таблиці:
	У		Х1		Х2
	4.30		200.00		3.50
	4.35		200.00		5.00
	4.20		200.00		1.00
	4.62		220.00		2.60
	4.25		220.00		4.40
	4.80		220.00		3.50
	4.70		230.00		5.00
	4.73		230.00		3.50

У – прибуток комерційного підприємства; Х1, Х2 – фактори, від яких залежить прибуток цього підприємства.

На основі статистичних даних знайти МНКоцінки параметрів регресії,

якщо припустити, що вона має таку стохастичну залежність:

Y=a0+a1X1+a2X12+a3X2+a4X22.

Використовуючи критерій Фішера, з надійністю Р=0.95 оцінити адекватність прийнятої математичної моделі статистичним даним.

Якщо прийнята модель адекватна експериментальним даним, то знайти значення факторів, при яких прибуток комерційного підприємства буде максимальним.

Завдання 3

Рекламне оголошення в газеті коштує 500 грн., хвилина телевізійного часу

– 1500 грн. Тижневий рекламний бюджет фірми становить 15000 грн. Якщо х1, х2 - це відповідно кількість оголошень в газеті та кількість хвилин

рекламного часу на телебаченні за тиждень, то прибуток фірми за тиждень становить: П(х1, х2 ) 4х1х2 5х12 х22 20х1 100000 . Як необхідно використати рекламний бюджет, щоб прибуток був максимальним?

Рекомендована література

[1, 3, 4]

57

Практичне заняття № 6

Тема 3. Моделювання діяльності підприємства із застосуванням методів математичного програмування

План заняття

1.Основні теоретичні відомості щодо застосування методів математичного програмування для розв’язування прикладних задач економічного та фінансового характеру.

2.Завдання 1: постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

3.Завдання 2: постановка задачі, розв’язування задачі, висновки.

4.Підведення підсумків заняття.

Навчальні цілі

Ознайомити студентів із застосовуванням методів математичного програмування та процедури «Поиск решения» в EXCEL для оптимізаційного розв’язку задач економіки та фінансів.

Обладнання, яке потрібне для проведення практичного заняття

програмне забезпечення табличного процесора Excel.

Завдання 1

Інвестор передбачає вкласти 750 тис. грн. у різні види цінних паперів. Ураховуючи фондовий ринок , він відібрав для інвестування 3 типи акцій, паї двох інвестиційних фондів, а частину коштів вирішив розмістити у банку на терміновому вкладі.

Інвестор сформулював наступні вимоги та обмеження до свого портфелю цінних паперів.

1.Вся сума в розмірі 750 тис. грн. повинна бути інвестована.

2.Не менше 300 тис. грн. має бути розміщено в банку на терміновому вкладі.

3.Не менше 25% коштів, інвестованих в акції, мають бути інвестовані в акції з низьким ризиком.

4.В пайові інвестиційні фонди слід розмістити не менше, ніж в акції.

5.В цінні папери з доходом менше 10% має бути інвестовано не більше 200 тис. грн.

Потрібно:

1)сформувати інвестиційний портфель, який задовольняє всім вимогам інвестора та максимізує річний дохід;

2)визначити величину максимального річного доходу за оптимальної

стратегії інвестування.

Врахувати інформацію, наведену в таблиці:

58

	№	Інвестиції	Оцінка ризику	Передбачений
	з/п			річний дохід (%)
	1	Акції А	високий	14%
	2	Акції В	середній	12%
	3	Акції С	низький	8%
	4	ПІФ №1		11%
	5	ПІФ №2		9%
	6	Терміновий вклад в банку		6%

Завдання 2

Прим.: використати результати розв’язування задачі, отримані на практичному занятті №3.

Виробнича фірма випускає продукцію із застосуванням праці робітників і основних засобів виробництва.

Побудувати виробничу мультиплікативну регресію, оцінивши її параметри. Перевірити адекватність побудованої моделі вихідним даним. Зробити економічний аналіз параметрів виробничої функції.

На основі побудованої регресії розв’язати задачу оптимального випуску продукції: визначити, яка комбінація факторів виробництва є оптимальною, а також знайти максимальний об’єм випуску, якщо на витрати виробництва існує обмеження в 100 тис. грн., вартість оренди одиниці фондів складає 2 тис. грн., вартість праці однієї людини - 1 тис. грн..

Побудувати ізокванту максимального випуску та ізокосту. Знайти графічний розв’язок задачі про оптимальну комбінацію ресурсів і порівняти з аналітичним .

Визначити граничну норму заміни одиниці фондів працею. Дані наведені в таблиці:

Y,	K,	L,
об’єм випуску,	основні засоби,	кількість
тис. грн.	тис. грн.	працюючих,
		осіб
43	20	10
48	30	13
56	33	15
60	35	17
68	37	16
87	40	18
90	42	19
99	50	20

59

Методичні рекомендації до практичного заняття

Необхідно ознайомитися з методичними рекомендаціями до самостійної роботи до Тем 2, 3 де наведені основні теоретичні положення і формули, та рекомендованою літературою.

Завдання 1 рекомендується виконувати за допомогою «Поиск решения» в EXCEL в такій послідовності:

1.записати математичну постановку задачі: цільову функцію та обмеження, які враховують задані умови;

2.реалізувати розв’язування в «Поиск решения»;

3.проаналізувати результати та зробити висновки щодо оптимальної структури портфеля;

4.визначити максимальний прибуток, що відповідає оптимальній структур

портфеля.

Завдання 2 рекомендується виконувати в такій послідовності:

1.побудувати виробничу функцію типу Кобба-Дугласа економетричними методами;

2.оцінити якість моделі за всіма статистичними показниками і критеріями;

3.записати математичну постановку задачі оптимізації відповідно до умови завдання;

4.розв’язати задачу оптимізації аналітично: визначити оптимальну комбінацію факторів виробництва і відповідне максимальне значення об’єму випуску;

5.побудувати ізокванту, що відповідає максимальному значенню об’єму випуску і ізокосту, що відповідає обмеженням (на одному графіку);

6.визначити графічно комбінацію ресурсів, що відповіють максимальному випуску.

Контрольні завдання

Завдання 1

Виробнича функція невеликого підприємства, яке виготовляє рами для

картин, має вигляд: Х 5K 1/ 2 L1/ 2 , де Х – кількість картин, уставлених у раму за день, K - кількість годин роботи машин за день, L - кількість робітників.

Визначити, якими будуть середній і граничний продукти праці за K 9, L 9 ? Як зміняться ці продукти в разі подвоєння витрат ресурсів?

Завдання 2

Ремонтно-будівельна фірма отримала замовлення на ремонт 5 об’єктів. для виконання робіт вона може задіяти 5 бригад робітників. Кожна бригада оцінила об’єми робіт і дала наступні терміни виконання замовлень (у людиноднях):

60