Лекція №10 Статично невизначні системи

План лекції:

1. Статично невизначні стержневі системи.

1.2. Чотириєдина задача опору матеріалів. Приклади.

1.3. Метод сили, його особливості. Приклади.

2. Статично невизначні балочні системи.

2.1. Канонічне рівняння методу сил. Приклади розкриття статичної невизначності пружних систем.

Література : [1] - ст. 130 - 140, ст. 386 - 412. [2] - ст. 72 - 91, ст. 433 - 447.

Статично невизначні стержневі системи.

На практиці окрім статично визначних систем досить часто приходиться мати справу з конструкційними системами зусилля в яких визначити одними рівняннями статики неможливо. Такі системи називаються статично невизначними.

Прикладом таких систем може служити стержнева підвіска, кронштейн, опорна колонка і ін.

В статично невизначних системах (СНС) кількість невідомих зусиль, що визначаться більша числа рівнянь рівноваги і, чим ця різниця вища, тим більше статично невизначною буде система.

Статична невизначеність системи позначається буквою, тобто буквапоказує скільки "зайвих" зв'язків накладено на дану конструкцію.

Існує декілька методик розв'язання статично невизначених задач. Так один з шляхів розв'язку пов'язаний з розглядом чотириєдиної задачі:

1) Статична сторона – в якій складаються всі необхідні рівняння рівноваги.

2) Геометрична сторона – де оцінюються деформації системи. Рівняння, що оцінюють деформацію, називаються рівняннями сумісності деформацій, їх кількість завжди дорівнює степеню статичної невизначеності системи.

3) Фізична сторона – в якій встановлюється зв'язок між деформаціями і зовнішніми зусиллями чи деформаціями і напруженнями.

4) Синтез – тобто сумісний розв'язок трьох попередніх залежностей.

Приклад.

Дано:, ,,,.

Визначити: Напруження в перерізах колони

Розв'язок

1. Статична сторона задачі:

(1)

2. Геометрична сторона задачі: (2)

3. Фізична сторона задачі:

. (3)

4.Синтез.

Так як і, ато:

.

Підставивши це значення в (1) будемо мати; що; Таким чином:

; ;

Д.З.

Дано: мм²; мм²; мм²; мм²; МПа; кн.;мм.

Визначити: напруження на ділянках стержня

Рішення:

1. Встановити, чи буде задача статично визначною, чи ні.

2. Для цього необхідно:

2.1. Відкинувши нижню опору, визначити для всього стержня і його знак

2.1.1. Якщо – задача статично визначна.

2.1.2. Якщо – задача статично невизначна.

Одним із найбільш загальних методів розв'язання є метод сил. Методика розрахунків має такі етапи:

1. Відкидаємо зайві зв'язки, чим перетворюємо саму систему в статично визначну так звану основну систему.

2.Замість відкинутих зв'язків прикладаємо невідомі зусилля позначаючи їх, ,, …,, де – ступінь статичної невизначеності. Отримана система носить назву еквівалентної.

3. Накладається умова еквівалентності заданої і перетвореної систем – відсутність переміщень в напрямку відкритих зв'язків. Ця умова і записується в канонічній формі методу сил.

Так, для раз статично невизначних систем канонічні рівняння будуть мати такий вигляд:

Всі коефіцієнти визначаються за допомогою інтеграла Макевела-Мора, що перетворені в кінцеву суму.

Силові коефіцієнти канонічних рівнянь визначаються так:

,

де – внутрішня поздовжня сила від заданого навантаження;

–внутрішні зусилля від одиничного навантаження;

–довжина стержня.

Одиничні коефіцієнти з однаковими індексами визначаються так:

.

А з різними індексами так: .

Для визначення коефіцієнтів розглядають силовий і одиничний стан основної системи. Так для один раз статично невизначної системи канонічне рівняння має вигляд:

Розглянемо подібний попередньому, приклад 2.

Нехай дана система, що є один раз статично невизначеною. Оскільки із рівняння рівноваги визначається тільки одне невідоме зусилля.

Для розв'язання даної системи необхідно вибрати основну статично визначну силову систему (С.С.), відкинувши правий зайвий зв'язок і залишивши його дію лінійною невідомою силою.

Відтак наша система буде еквівалентною системою (Е.С.). Для подальшого розв’язку на основну нашу систему в точці дії невідомого зусилля прикладемо т.з. одиничну силу. Побудуємо епюри поздовжніх внутрішніх зусиль окремо від дії зовнішнього заданого навантаження і вибраного нами одиничного зусилля.

Запишемо канонічне рівняння методу сил:.

Як бачимо, це рівняння не допускає переміщення правої епюри. Для визначення невідомих коефіцієнтів, що входять в це рівняння необхідно "перемножити" епюри від дії заданого навантаження і одиничної сили. Так, для знаходження необхідно площу вантажної епюри помножити на ординату одиничної епюри під центром ваги вантажної:

Для визначення коефіцієнта необхідно площу епюри помножити на ординату під її ж центром ваги:

Підставивши їх значення в канонічне рівняння визначимо величину і напрямок невідомого зусилля: .

Відтак, реакція в точці А буде дорівнювати .

Приклад 3. Монтажні напруження в С.Н.С.

Жорсткий стержень ВК закріплено за допомогою двох тяг АВ і CD, та шарніру К. Жорсткість поперечних перерізів тяг дорівнюєЕА. Визначити зусилля в тягах, якщо довжина стержня АВ менша за DC на величину.

Рішення.

Для з'єднання брусу ВК з стержнем в т.В необхідно прикласти два рівні зусилля, але протилежно направлені. Від дії цієї сили в стержні CD виникає реакція. Таким чином, задача стане один раз статично невизначеною і канонічне рівняння прийме такий вигляд:.

Для визначення цієї сили і невідомого коефіцієнта розглянемо цю ж систему сил, але при умові, що в т.В буде діяти сила, тобто одинична. Відтак із умови рівноваги:. Для визначення коефіцієнтанеобхідно перемножити епюру перемножити епюру поздовжніх зусиль в стержнях від дії зусиллясаму на себе:

Таким чином, зусилля в стержні АВ, позначене через буде, виходячи з канонічного рівняння, дорівнювати: