Лекція № 6 Загальні теореми для пружних систем. Загальні методи визначення переміщень.

План лекції.

1. Узагальнені сили і узагальнені переміщення.

2. Робота зовнішніх сил.

3. Повні і одиничні переміщення в пружних системах.

4. Робота внутрішніх сил.

Література : [1] - ст. 353 - 361.

1. Узагальнені сили і узагальнені переміщення.

При оцінці деформації пружної системи під узагальненою силою розуміють будь-яке зовнішнє навантаження, що діє на пружну систему.

Під узагальненим переміщенням розуміють такий вид переміщення, на якому узагальнена сила здійснює роботу.

Так, для зосередженої сили узагальненим є будь-яке лінійне (поздовжнє) переміщення. Для зосередженого моменту узагальненим переміщенням може бути тільки кут повороту. Із теоретичної механіки робота постійної сили на переміщенні по напрямку її дії дорівнює добутку величини сили на вказаному переміщенні:

.

Під дією сил точки на брусі із положення по лінії дії сил, утворюючи відрізки і. Відтак робота буде дорівнювати:

,

де – зміна відстаніміж точками прикладання сил.

Припустимо, що група сил складається із пари сил, момент якої. ПрипустимоАВ повернеться на кут. Тоді шлях, що пройшли сили (пари) по їх напрямку дії буде дорівнювати:

; .

Відтак робота буде дорівнювати:

,

тобто:

2. Робота зовнішніх сил може бути дійсною чи можливою.

Дійсною - називається робота, яку зовнішня сила здійснює на власному переміщенні. Графік дійсної роботи має наступний вигляд.

По теоремі Клайперона - дійсна робота, що виконується зовнішніми силами при їх статичному прикладанні до пружної системи дорівнює сумі половини добутку кінцевого значення кожної сили на кінцеве значення відповідного пере­міщення (оскільки величина зовнішньої сили зростає від 0 до max за деякий час).

В подальшому домовимось узагальнені переміщення, як лінійні так і кутові позначати буквами із двома індексами. Перший індекс означає точку прикладання сили і її напрямок дії, другий – вказує на причину, що викликала вказане переміщення.

–це переміщення, яке визвано дією сили в точці її прикладання.

–це переміщення, що викликане дією сили в точці прикладання сили.

–це переміщення, що викликане дією сили в точці прикладання сили.

і – називаються ще повними можливими переміщеннями;

і –повні дійсні переміщення.

Сила в процесі здійснення можливої роботи не змінюється. Через це величина можливої роботи дорівнює повному добутку величини сили

на величину можливогопереміщення:

З. Переміщення, що викликані дією одиничної сили (), або ж одиничною парою () будемо позначати буквою і називати питомим переміщенням (од. виміру).

Повне переміщення, що викликане силою і переміщення викликане одиничною силоюбуде дорівнювати, в силу принципу незалежності дії сил (принципу суперпозиції) їх добутку:

Відмітимо, що силові фактори, що діють на конструкцію в загальному випадку позначають через символи, де перших два – зовнішні силові фактори, а– внутрішні силові фактори.

Відтак повне переміщення т.С в горизонтальному, вертикальному і кутовому переміщенні можна записати так:

4. Робота внутрішніх сил.

Прийнято вважати роботу зовнішніх сил додатньою і позначати буквою. Роботу внутрішніх сил – від'ємною і позначати буквою. В плоскій системі діють три силових фактори:. Відтак внутрішня робота від дії осьової сили буде дорівнювати:

, де

А в загальному випадку робота від дії внутрішньої осьової сили дорівнює:

За аналогією можна розглянути дію на елементарну площадку поперечної сили і виконувану при цьому внутрішню роботу.

Оскільки висота елементарного об'єму мала, то дотичні напруження можна вважати розподіленими рівномірно:

Елемент під дією поперечної сили переміститися на кут. Ця сила здійснює роботу на переміщенні () відтак дійсна робота внутрішньої поперечної сили дорівнює:

,

де – кут відносного зсуву.

Відмітимо, що поперечна зосереджена сила може здійснювати роботу тільки на лінійному переміщенні. Це переміщення ()

Оскільки, а, то

По формулі Журавського:

Тоді: .

Домножимо і розділимо на площу поперечного перерізу. Після інтегрування будемо мати:

,

де - жорсткість поперечного перерізу при зрізі.

–називається коефіцієнтом форми поперечного перерізу. Він враховує нерівномірність розподілу внутрішніх напружень по висоті перерізу при плоскому згині.

При чистому зсуві, коли дотичні напруження в усіх точках перерізу однакові, для всіх форм перерізу дорівнює 1. В усіх інших випадках він буде різний, так для

Для прокатних профілів:

Таким чином:

Тепер без виведення за аналогією з осьовою силою для внутрішньої роботи викликаною дією внутрішнього згинаючого моменту отримаємо залежність:

Тоді для плоскої пружної системи дійсна робота внутрішніх силових факторів буде дорівнювати:

По аналогії для просторової системи в загальному випадку навантаження внутрішня робота:

Ця формула дозволяє визначити роботу внутрішніх сил (сил пружності). Тут:

–елементарна довжина ділянки стержня;

–довжина ділянки, де визначається робота сил пружності від дії даного силового фактора.