Статично невизначні балочні системи. Канонічне рівняння методу сил балочних пружних систем.

Як відмічалось раніше, статично невизначними наз. сис., силові фактори в елементах яких тільки із рівнянь статики визначити неможливо.

Оскільки при вирішенні любої статично невизначної системи, як правило, прийнято відкидати зайві зв'язки, що накладено на неї, і замінювати їх дію реакціями (невідомими зусиллями) котрі мають бути визначені як по величині, так і по знакам, то метод за допомогою якого знаходять ці невідомі зусилля (реакції) називається методом сил.

Залежності, за допомогою яких визначають невідомі зусилля (зайві зв'язки), називають канонічними рівняннями, тобто такими, які при їх складанні підпорядковуються визначеним закономірностям.

Кожне канонічне рівняння визначає геометричну сторону задачі, іншими словами, визначає величину і напрямок переміщення точок системи в сторону зусилля, що замінило "зайвий" зв'язок. Основні правила розрахунку СНС.

1. Визначається ступінь статичної невизначеності системи, тобто число "зайвих" зв'язків.

2. Вибирається основна статично визначна пружна система,

3. Вибрану основну систему навантажують "зайвими" зусиллями, що заміняють дію відкинутих зв'язків, тим самим перетворюючи основну систему в так звану еквівалентну систему.

Основною системою називають любий статично визначний варіант системи, що розглядається, який отримано шляхом звільнення її від зайвих зв'язків.

Основною умовою еквівалентності системи є однаковість деформацій заданої і утвореної (еквівалентної) системи. Розглянемо конкретний приклад І.

Дано:;;

Визначити: невідомі реакції, записати к.р.м.с.

1. Система один раз статично невизначна.

2. За зайвий зв'язок вибираємо опору в т.В.

3. Будуємо основну систему ст.виз.

4. Утворимо еквівалентну систему, навантаживши основну систему, що статично визначна, зовнішнім навантаженням і невідомим зусиллям в т.В. –.

5.Повне переміщення в т.В буде становити:

де – переміщення від заданого навантаження;

–переміщення від сили.

Так як питоме переміщення в т.В. системи від дії силипо напрямку дії сили, то повне переміщення від дії сили, буде дорівнювати

,

а враховуючи закріплення т.В її кінцеве переміщення повинно дорівнювати нулю, тобто:

Це канонічне рівняння для визначення переміщень для один раз статично невизначної системи.

Із цього рівняння ми знаходимо невідоме зусилля в т.В:

Приклад 2.

Необхідно розкрити статичну невизначеність системи, що показана на малюнку, і побудувати для неї епюри і.

Розв'язок.

1. Балка один раз С.Н.

2. Вибираємо основну статично визначну систему

3. Будуємо еквівалентну систему

4. Запишемо канонічне рівняння методу сил:

5. Навантажимо осн. сис. в т.В. одиничним навантаженням в напрямку дії, вибраного нами.

6. Будуємо епюри згинаючих моментів від одиничної сили і заданого навантаження, причому вантажну епюру розіб'ємо на дві, як показано на рис.

7. Визначимо переміщення від заданих сил:

де – площа епюри відповідного, для заданої ділянки, навантаження.

–ордината на одиничній епюрі під центром ваги ділянки площі вантажної епюри і позначається, частіше всього, через "". Відтак:

8. Визначимо переміщення від одиничної сили

9. Підставимо отримані вирази для ів вихідне канонічне рівняння і визначимо зусилля в т.В:

кН.

10. Оскільки ми отримали із знаком "+", то означає, що напрямок її дії вибрано вірно і тепер необхідно побудувати результуючі епюри і, як показано на рисунку.

Якщо система більш ніж один раз статично невизначна, то порядок розрахунків запишемо таким же, тільки збільшується число невідомих зусиль і відповідно кількість канонічних рівнянь для визначення переміщень. Приклад 2.

Так для балки, що показана на рисунку, необхідно:

1. Статично невизначна система 2р.

2. Вибираємо варіант статичної системи (осн. система)

3. Основну статично невизначну систему перетворюємо в еквівалентну.

4. Будуємо одиничні системи, тобто в точці визначення невідомих зусиль розміщуємо одиничні сили. Умовою еквівалентності, як уже відмічалось, є рівність деформацій в заданій і еквівалентній системах.

Таким чином дані системи еквівалентні, якщо і, тобто переміщення в точках 1 і 2 будуть дорівнювати нулю.

Відтак система канонічних рівнянь прийме такий вигляд:

де – переміщення точки 1 за рахунок дії зовнішніх сил;

–переміщення точки 2 за рахунок дії зовнішніх сил;

–переміщення точки 1 за рахунок дії сили по її ж напрямку дії;

–переміщення точки 2 за рахунок дії сили по її ж напрямку дії;

–переміщення точки 1 за рахунок дії сили по її ж напрямку дії;

–переміщення точки 2 за рахунок дії сили по її ж напрямку дії.

Фізичний зміст отриманого нами канонічного рівняння полягає в тому, що сума переміщень точок системи за рахунок дії всіх зовнішніх і за рахунок всіх невідомих сил в точках їх прикладання повинно дорівнювати нулю.

Одиничні сили завжди співпадають по напрямку невідомими зусиллями, які розшукуються.

Любим відомим методом, – Мора чи Верещагіна, – визначають переміщення в точках 1 і 2, тобто отримуємо і. Для визначення другої групи невідомих переміщень необхідно записати, що:

; ;;

і – основні питомі переміщення. Вони завждибільші нуля, оскільки отримуємо їх за рахунок перемножування одиничних епюр самих на себе, тобто і площу і ординату беремо з одної і тої ж епюри.

–можливі питомі переміщення, які можуть бути як так і, але вони завжди рівні по величині і по знаку. Відтак:

Це є канонічне рівняння методу сил для два рази статично невизначної системи. Для нескінченого числа статично невизначних пружних систем канонічне рівняння методу сил буде мати такий вигляд: