Вища математика1 / lin_alg_1k2s

2	0
Оскiльки маємо два рiзнi власнi числа ¸1 = 2 i ¸2 = 3, то JA = µ0	3¶.

Далi для кожного з власних чисел шукаємо вiдповiдний власний вектор:

A ¡ 2E 0 =

µ ¡3 3

¯

0 ¶ Ã

1 ¡1 0

:

¡

¯

¢

¡

2

¯

0

¡

¯

¢

¯

2

¯

¯

Тому для ¸1 = 2 одним з власних векторiв¯

є (1; 1):

¯

0 ¶ :

A ¡ 3E 0 =

µ ¡3 2

¯

0 ¶ Ã

µ 0

¡0

¡

¯

¢

¡

2

¯

0

3

2

¯

0

¯

3

¯

¯

Тому для ¸2 = 3 одним з власних векторiв¯

є (2; 3).

¯

1

2

Отже, T = µ1

3¶. Оскiльки JA = T ¡1AT , то A = T JAT ¡1 i

¶

A

µ1

3¶µ

0

3100

¶µ¡1

1

A100 = (T JAT ¡1)100 = T J100T ¡1 =

1

2

2100

0

3

¡2

=

µ3 ¢¢

2100

¡ 3 ¢ 3100

3 ¢ 3100

¡ 2 ¢ 2100

¶

=

3

2100

¡ 2 ¢ 3100

2 ¢ 3100

¡ 2 ¢ 2100

:

b) Як i в попередньому випадку, шукаємо ЖНФ JA матрицi A =

4 2

¡5

@5 3 ¡7A

06 4

¡91 i матрицю T переходу до жорданової бази.

ÂA(¸) =

A

¡

¸E

j

=

¯

6

4 ¡ ¸

¡9

¯

= ¯

1 ¡ ¸ 4 ¡ ¸

¡9

¯

=

j

¯

5

3

7 ¸¯

¯

1 ¸

3

7 ¸¯

¯

4 ¡ ¸ 2

¡5

¯

¯

1 ¡ ¸

2

¡5

¯

¯

¡ ¡

¯

¯

¡

¡ ¡

¯

¯

¯

¯

¯

(усi стовпчики додали¯

до першого)

¯

¯

¯

= (1

¡

¸)

¯

1 4 ¡ ¸

¡9

¯

= (1

¡

¸)

¯

0 2 ¡ ¸

¡4

¯

=

¯

1

3

7 ¸¯

¯

0

1

2 ¸¯

¯

1

2

¡5

¯

¯

1

2

¡5

¯

¯

¡ ¡

¯

¯

¡ ¡

¯

¯

¯

¯

¯

¡

¯

2

¯

¸

2

4

¸¯

¯

¡

¡

¯

¢

2

¯

¡

1

¡

¡

¡

¡

¯

¯

= (1

¸)

¯

¡

¡

¯

= (1

¸) 4

(2

¸)(2 + ¸)

= ¸ (1

¸):

¯

¯

Простому кореню ¸1 = 1 вiдповiдає клiтинка J1(1). Щоб знайти кiлькiсть клiтинок з власним числом ¸2 = ¸3 = 0, шукаємо ранг матрицi

121

A ¡ 0 ¢ E = A:		¡91 Ã 01			¡91 Ã
06	4			4		0	1	¡2	:
5	3	¡7	1	3	¡7	µ			¶
4	2	5	1	2	5	1	2	5
@		¡ A	@		¡ A
								¡

Таким чином, rank A = 2 i def A = 3 ¡ 2 = 1. Тому ЖНФ матрицi A мiстить єдину клiтинку J2(0) з власним числом 0 i має вигляд

				1	0	0
JA = J1	(1)	©	J2(0) =	00	0	11	:
				@0	0	0A

Вектори v1, v2, v3 жорданової бази шукаємо з рiвнянь (A ¡ E)v1 = 0,

Av2 = 0, Av3 = v2:

3	2	5	¯	0	1 Ã 0					3			2		5	¯	0	1 Ã
0 6 3		¡9		0						0			1	¡1			0
5 3		¡8	¯	0						1		¡1			2	¯	0
@		¡	¯		A			@ ¡				¡				¯		A
			¯													¯
			¯													¯
	0	1	¯		1	¯	0					1		1		¯		0
à 0 0		¡1						1 Ã		µ						2
					1		0					0 1			¡1 0				;
	1	1		¡2		¯	0								¡		¯		¶
@				¡		¯		A									¯
						¯											¯
						¯											¯
тому v1 = (1; 1; 1);						¯
0 6 4		¡9		¯	0 1 Ã 0 2							2		¡4	¯	0 1 Ã
5 3		¡7		¯	0					1		1		¡2	¯	0
4	2		5	¯	0					4		2		5	¯	0
@		¡		¯		A			@					¡	¯		A
				¯											¯
				¯		1	1		2		¯	0	¶;		¯
			Ã µ			2	0		¡1			0
									¡		¯
											¯
тому v2 = (1; 3; 2);											¯
0 6 4		¡9		¯	3 1 Ã 0 2							2		¡4	¯	2 1 Ã
5 3		¡7		¯	2					1		1		¡2	¯	1
4	2		5	¯	1					4		2		5	¯	1
@		¡		¯		A			@					¡	¯		A
				¯											¯
		Ã		¯		1	1		2	¯		1	¶;		¯
				µ		2	0		¡1			1
									¡	¯	¡
										¯
								122		¯

тому v3 = (0; 3; 1). Отже, матриця переходу до жорданової бази має

вигляд		T =		01		3	31			:
					1	1	0
Оскiльки (ex)0 = ex, то				@1 2 1A
		0				e00	1			00		11
exp(JA) =			0	e0				=			1		:
			e1		0					e	0	0
		@ 0 0 e0A @0 0 1A
Позаяк JA = T ¡1AT , то exp(JA)						= T ¡1 exp(A)T , звiдки exp(A) =
T exp(JA)T ¡1. Знаходимо
	T ¡1 = 0¡2 ¡1 3 1
			@		3		1		¡3
i завершуємо обчислення:					1		1		¡2A
		3100					110¡2					¡1		1
exp(A) = 01	3					1							3		=
1	1	0			e	0	0			3		1 ¡3
@1 2 1A@0 0 1A@ 1												1 ¡2A
	3e ¡ 1				e		¡3e + 1
=	0	3e			e + 3		¡		3e ¡ 31			:
	@3e ¡ 1 e + 1								¡3e		A

Задача 4. Доведiть; що для кожного невиродженого лiнiйного перетворення ' простору V знайдеться такий многочлен f(x) степеня

< dim V; що '¡1 = f(').

Розв’язання. Перетворення буде невиродженим тодi й лише тодi, коли серед його власних чисел немає 0. Оскiльки власнi числа це не що iнше, як коренi характеристичного многочлена Â'(¸) = (¡1)n¸n + a1¸n¡1 + ¢ ¢ ¢ + an¡1¸ + an, то в цьому випадку an 6= 0. За теоремою Гамiльтона–Келi ÂA(') = (¡1)n'n + a1'n¡1 + ¢ ¢ ¢ + an¡1' + an" = O. Отже,

n

1

n

1

'n¡2 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ an¡1"¢ = an

'¡(¡1)1

¡

'

¡

¡ a1

" :

Тому

'¡1 =

¡

(

1)n¡1'n¡1 ¡ a1'n¡2

an¡1

" .

a

n

¡

123

¡ ¢ ¢ ¢ ¡

¢

Основнi задачi

5.Наведiть приклад двох матриць, якi мають однаковi характеристичнi й однаковi мiнiмальнi многочлени, але не є подiбними.

6.Знайдiть необхiдну й достатню умову для того, щоб мiнiмальний i характеристичний многочлени комплексної матрицi збiгалися.

7.Знайдiть мiнiмальний многочлен a) тотожного перетворення, b) нульового перетворення, c) проектування на нетривiальний пiдпростiр, d) вiдбиття вiдносно пiдпростору (див. зад. 4.8).

µ¶

8.Розв’яжiть рiвняння X2 = 63 27 .

9. Доведiть, що для кожної квадратної матрицi A виконується рiвнiсть

cos 2A = cos2 A ¡ sin2 A:

10. Доведiть, що для матрицi порядку ¸ 2 i рангу 1 мiнiмальний многочлен має степiнь 2.

								n!1 µ	p	1 ¡ p¶
									1 ¡ p	p	n
11.	Для яких значень p iснує границя lim										?
12.	Використовуючи ЖНФ, обчислiть
	µ		¶		1	¡5		3
	4	2			4	15		6
	a) exp 6	¡	,	b) ln	@	¡	4	A
		¡3			01	¡		21.

13.a) Доведiть, що для комутуючих матриць A та B виконується рiвнiсть: eA ¢ eB = eB ¢ eA:

b)Наведiть приклад таких матриць A та B порядку 2, для яких eA ¢ eB 6= eB ¢ eA:

14.Доведiть, що для комутуючих матриць A та B виконуються рiвно-

стi:

a)sin(A + B) = sin A cos B + sin B cos A ;

b)cos(A + B) = cos A cos B ¡ sin A sin B:

15.Доведiть, що для довiльної квадратної матрицi A виконується рiвнiсть det eA = etrA.

16.Доведiть, що для довiльної невиродженої комплексної матрицi A i кожного натурального числа k рiвняння Xk = A має розв’язок.

124

Додатковi задачi

17.Знайдiть усi матрицi, якi комутують з жордановою клiтинкою Jn(¸).

18.Нехай ¸ 6= ¹. Розв’яжiть матричне рiвняння X ¢ Jm(¸) = Jk(¹) ¢ X.

19.Доведiть, що коли мiнiмальний многочлен лiнiйного перетворення ' збiгається з характеристичним, то кожне перетворення, яке перестановочне з ', буде многочленом вiд перетворення '.

20.Нехай ' лiнiйне перетворення простору V . Ненульовий многочлен f називається анулюючим для вектора v 2 V , якщо f(')(v) = 0. Многочлен найменшого степеня, який анулює вектор v, називається

мiнiмальним многочленом цього вектора i позначається m';v(x). Доведiть, що:

a)для кожного вектора iснує анулюючий многочлен степеня, що не перевищує розмiрностi простору;

b)мiнiмальний многочлен вектора визначений однозначно з точнiстю до скалярного множника;

c)кожен анулюючий многочлен вектора дiлиться на його мiнiмальний многочлен;

d)мiнiмальний многочлен перетворення ' дiлиться на мiнiмальний многочлен кожного вектора.

21.Доведiть, що: a) добуток m';v(x) ¢ m';u(x) дiлиться на m';v+u(x);

b)якщо m';v(x) та m';u(x) взаємно простi, то

m';v+u(x) = m';v(x) ¢ m';u(x) :

22.Доведiть, що для довiльної бази e1; : : : ; en простору V :

a)многочлен m';e1 (x) ¢ ¢ ¢ m';en (x) є анулюючим для ';

b)найменше спiльне кратне многочленiв m';e1 (x), : : : ; m';en (x) є мiнiмальним многочленом перетворення '.

23.Доведiть, що для кожного лiнiйного перетворення ' простору V iснує вектор v 2 V , мiнiмальний многочлен якого збiгається з мiнiмальним многочленом перетворення '.

24¤. Нехай f(x) 2 C[x], A 2 Mn(C) та ÂA(x) характеристичний многочлен матрицi A. Доведiть, що визначник матрицi f(A) дорiвнює результанту многочленiв f(x) i ÂA(x).

125

25. Доведiть, що для довiльних квадратної матрицi A i невиродженої матрицi C однакових порядкiв виконується рiвнiсть eC¡1AC = C¡1eAC.

Домашнє завдання

26. Знайдiть	мiнiмальний	многочлен дiагональної матрицi
diag (a1; : : : :an)	з попарно	рiзними елементами на дiагоналi.

27.Доведiть, що певний степiнь мiнiмального многочлена матрицi дiлиться на характеристичний многочлен цiєї матрицi.

28.Знайдiть мiнiмальний многочлен матрицi:

			3	1	¡1			4	¡2	2
		@1 1			1	A @¡6 6				¡4A
		a) 00		2	0	1; b) 0¡5 7				¡51.
29.	Використовуючи ЖНФ, обчислiть:
	a)	7 ¡4	64;	b) exp		3	¡1	;	c) sin	¼ ¡ 1 1 .
		µ14 ¡8¶				µ1	1	¶		µ ¡1 ¼ + 1¶
30.	Доведiть, що для кожної квадратної матрицi A виконується рiвнiсть

sin 2A = 2 sin A ¢ cos A :

Лiтература. [1], с. 210–214; [2], с. 244–253; [5], с. 393–399; [9], с. 387– 391; [10], с. 30–38; [13], с. 196–204.

Заняття 10. Iнварiантнi та кореневi пiдпростори

Необхiднi поняття. Пiдпростiр U µ V називається iнварiантним

вiдносно лiнiйного перетворення ' : V ! V (або '–iнварiантним), якщо '(U) µ U, тобто '(u) 2 U для кожного вектора u 2 U.

Кореневим пiдпростором, що вiдповiдає числу ¸, називається множина V'(¸) = fv 2 V j iснує таке натуральне k; що (' ¡ ¸")k(v) = 0g :

База e1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; en простору V називається узгодженою з k–вимiрним '–iнварiантним пiдпростором W , якщо першi k векторiв e1; : : : ; ek утворюють базу пiдпростору W .

126

. Матриця A є матрицею обмеження 'jU перетво-

вигляд [ '] =

Необхiднi твердження. 1. Ядро Ker ' i образ Im ' лiнiйного перетворення ' : V ! V є iнварiантними пiдпросторами.

2.Перетин i сума iнварiантних пiдпросторiв також є iнварiантними пiдпросторами.

3.Iнварiантний пiдпростiр вiдносно лiнiйного перетворення ' залишається iнварiантним i вiдносно кожного многочлена вiд '.

4.Кореневий пiдпростiр V'(¸) є '–iнварiантним.

5.Кореневий пiдпростiр V'(¸) є ненульовим тодi й лише тодi, коли

¸власне число перетворення ':

6.Якщо e1; : : : ; ek база пiдпростору U, iнварiантного вiдносно лiнiйного перетворення ' простору V , а e1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; en її роз-

ширення до бази простору V , то в цiй базi матриця перетворення ' має

µA B¶

O C

рення ' на пiдпростiр U в базi e1; : : : ; ek.

7. Нехай простiр V розкладається в пряму суму V = U1 © U2 '–iнварiантних пiдпросторiв U1 та U2 з базами e1; : : : ; ek та ek+1; : : : ; en

вiдповiдно. Тодi в базi e1; : : : ; ek; ek+1; : : : ; en матриця перетворення '
	µ	O	¶
має вигляд	A		. Матриця A є матрицею обмеження ' U		перетво-
	O	C	j	1

рення ' на пiдпростiр U1, а матриця C матрицею обмеження 'jU2

перетворення ' на пiдпростiр U2 в базах e1; : : : ; ek та ek+1; : : : ; en вiдповiдно.

8. Нехай ¸1; : : : ; ¸k усi попарно рiзнi власнi числа перетворення ' простору V: Тодi V розкладається в пряму суму V = V'(¸1)©¢ ¢ ¢©V'(¸k) вiдповiдних кореневих пiдпросторiв.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Нехай ' лiнiйне перетворення простору V . Доведiть; що кожен пiдпростiр; який мiстить образ Im '; буде iнварiантним вiдносно '.

Розв’язання. Нехай U ¶ Im '. Для довiльного вектора v 2 U маємо '(v) 2 Im ', а тому '(v) 2 U. Отже, U iнварiантний пiдпростiр.

Задача 2. Доведiть; що коли перетворення ' є невиродженим; то перетворення ' та '¡1 мають однi й тi ж iнварiантнi пiдпростори.

Розв’язання. Нехай U iнварiантний пiдпростiр перетворення '. Тодi '(U) µ U. Позаяк перетворення ' невироджене, то dim '(U) = dim U.

127

Разом з попереднiм включенням це дає '(U) = U. Звiдси отримуємо:

'¡1(U) = '¡1('(U)) = ('¡1')(U) = "(U) = U :

Отже, U є iнварiантним пiдпростором перетворення '¡1. Оскiльки ' = ('¡1)¡1, то так само доводиться, що кожний iнварiантний пiдпростiр перетворення '¡1 буде iнварiантним i вiдносно '. Тому ' i '¡1 мають однi й тi ж iнварiантнi пiдпростори.

Задача 3. Знайдiть усi iнварiантнi пiдпростори лiнiйного перетворення ' : v 7![v; a] звичайного тривимiрного простору V (вектор a фiксований ненульовий).

Розв’язання. З означення векторного добутку випливає, що породжена вектором a пряма L i перпердикулярна до a площина U будуть iнварiантними пiдпросторами. Покажемо, що iнших нетривiальних iнварiантних пiдпросторiв нема.

Нехай W ненульовий iнварiантний пiдпростiр. Вiзьмемо в W довiльний ненульовий вектор v. Якщо '2(v) =6 0, то кожен з векторiв '(v) i '2(v) буде перпендикулярним до a. Крiм того, '(v) та '2(v) також перпендикулярнi. Тому '(v) i '2(v) породжують площину U. Якщо при цьому v 62U, то пiдпростiр W мiстить три некомпланарнi вектори v, '(v) i '2(v), а тому W = V .

Припустимо тепер, що '2(v) = 0 для кожного v 2 W . Тодi '(v) = 0, бо в противному разi ненульовий вектор '(v) є перпендикулярним до a та '2(v) =6 0. А це буде тодi й лише тодi, коли v i a колiнеарнi, тобто коли v 2 L.

Таким чином, якщо '2(v) = 0 для всiх v 2 W , то W = L. В противному разi W = U або W = V .

Задача 4. Знайдiть власнi числа i кореневi пiдпростори лiнiйного

0 4 ¡2 2 1

перетворення; заданого матрицею A = @¡5 7 ¡5A.

¡6 6 ¡4

Розв’язання. Щоб знайти власнi числа, обчислюємо характеристичний многочлен матрицi A:

¯

4 ¡ ¸ ¡2

2

¯

¯

2 ¡ ¸ ¡2

0

¯

=

¡

5

7 ¸

¡ ¡

=

2 ¸ 7 ¸ 2

¡

j

A

¡

¸E

j

¯

4

5

¸¯

¯

¸

6

6

додаємо

0

6 2

¸¯

¯

¡

¡

¡

¯

2-й стовпчик

¯

¡

¡

¡

¯

¯

¯

¯

¯ =

¯

128¯

¯

¯

¯

¯

до 1-го й 3-го

¯

¯

= (2

¡

¸)2

¯1 7 ¡ ¸ 1¯

= (2

¡

¸)2

¯1 3 ¡ ¸ 0¯

= (2

¡

¸)2

(3

¡

¸):

¯0

6

1¯

¯0

6

1¯

¯

1

¡2

0

¯

¯

1

0

0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Таким чином, маємо два кореневi пiдпростори: VA(2) та VA(3). Враховуючи кратнiсть коренiв, можемо сказати, що кореневий простiр VA(3)

це ядро перетворення з матрицею A ¡ 3E, а кореневий простiр VA(2)

це ядро перетворення з матрицею (A ¡ 2E)2. Обчислюємо:

		A 3E =		0¡5 4		¡51;
				1	¡2		2
	0¡5	¡		@¡6	6		¡7A		¡51
A 2E =		5	¡51; (A 2E)2 =					0¡5 5		:
	2	¡2	2					2 ¡2 2
¡	@¡6	6	¡6A		¡			@¡6 6	¡6A

Як вiдомо, базою ядра перетворення з матрицею B є фундаментальна система розв’язкiв однорiдної системи лiнiйних рiвнянь Bx = 0. Шукаємо цi бази для матриць A ¡ 3E та (A ¡ 2E)2 вiдповiдно:

0

5 4

5

¯

0 1Ã0 0

¡6 5

¯

0

1Ã

0

6 5 0

:

¡6 6

¡7

¯

0

0

¡6 5

¯

0

µ

3 0 1

¯

0

¶

1 ¡2 2

¯

0

1

2 2

¯

0

¯

@ ¡

¡

A

@

¡

A

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Фундаментальна

система¯

розв’язкiв

складається¯

з одного вектора

(2; ¡5; ¡6), тому VA(3) = -(2; ¡5; ¡6)®.

¡

¡6

6

¡6

¯

0

2

¡2

2

¯

0

¡

¯

¢

@

¡

¡

¯

A

1

1 1

¯

0 :

0

5 5

5

¯

0 1Ã

¯

Фундаментальна система розв’язкiв¯

складається з векторiв (

¡

1; 0; 1) i

(1; 1; 0). Тому VA(2) = -(¡1; 0; 1); (1; 1; 0)®.

Задача 5. Знайдiть усi пiдпростори простору R3; iнварiантнi вiдно-

04 ¡6 41

сно перетворення з матрицею A = @1 0 0A.

0 1 0

129

Розв’язання. Щоб знайти власнi числа, обчислюємо характеристичний многочлен матрицi (наявнiсть двох нулiв дозволяє обчислити вiдповiдний визначник “в лоб”):

ÂA(¸) =

A

¡

¸E

j

=

¯

1

¸ 0

¯

= (4

¡

¸)¸2

+ 4

¡

6¸ =

j

¯

0

¡1

¸¯

¯

4 ¡ ¸

¡6

4

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

= ¡¸3 + 4¸2 ¡ 6¸ + 4 = (2 ¡ ¸)(¸2 ¡ 2¸ + 2):

Отже, ¸1 = 2, ¸2 = 1 + i, ¸3 = 1 ¡ i. Оскiльки над R є лише одне власне число 2, причому кратностi 1, то маємо лише один одновимiрний

iнварiантний пiдпростiр той, який породжується вiдповiдним власним вектором. Шукаємо його:

¡ j	0	0	¡		2	¯	0	1	Ã	0	1	2	¯	0	¶
			1			¯				µ	2	0		0
		2	¡6		4	¯	0			1			¯
	@				¡			A			¡	¡
(A 2E 0) =		1		2		¯	0						¯		:
					0	¯							¯
						¯

Тому власним вектором буде (4; 2; 1), а вiдповiдним одновимiрним iнварiантним пiдпростором пiдпростiр U = h(4; 2; 1)i.

Кожному з двох спряжених мiж собою комплексних коренiв вiдповiдає один i той же двовимiрний iнварiантний пiдпростiр. Щоб знайти його, перейдемо до поля C i знайдемо для ¸2 = 1+i вiдповiдний власний вектор:

(A

¡

(1 + i)E

j

0) = 0

1

¡

1

i

0

¯

0 1Ã

0

1¡

1

i

¯

0

3 ¡ i

¡6

4

¯

0

@

¡ ¡

¯

A

¯

à 0

0

2 + 2i

4

¯

0

µ

¡ 1¡

¯

¯ ¶

0

¡

1¡

i

1 i

0

1

i

1

¡

1

0

¯

0

1Ã 0

¡

¡

¯

0 :

¯

1

1

i

0

@

¡ ¡

¯

A

¯

¯

¯

¯

Власним вектором буде (2i; 1+i; 1) = (0; 1; 1)+i(2; 1; 0). “Дiйсна” (0; 1; 1) та “уявна” (2; 1; 0) компоненти цього вектора дають базу вiдповiдного двовимiрного iнварiантного пiдпростору W = h(0; 1; 1); (2; 1; 0)i.

Припустимо, шо iснує ще якийсь нетривiальний iнварiантний пiдпростiр V . Ми вже показали, що єдиним одновимiрним iнварiантним пiдпростором є U. Тому V може бути лише двовимiрним. Позаяк 2+2 =

130