Вища математика1 / lin_alg_1k2s

Заняття 5. Дiї над вiдображеннями

Необхiднi поняття. Нехай V; W векторнi простори над полем P: На множинi Hom(V; W ) всiх лiнiйних вiдображень ' : V ! W природним чином визначаються додавання i множення на скаляри з поля P :

(' + Ã)(v) = '(v) + Ã(v) ; (¸ ¢ ')(v) = ¸ ¢ '(v) :

Вiдносно цих дiй множина Hom(V; W ) утворює векторний простiр. Добуток (або композицiя) 'Ã лiнiйних вiдображень ' : V ! U i

à : U ! W визначаються, як звичайно: ('Ã)(v) := Ã('(v)) (вживають також позначення ' ± Ã). Добуток вiдображень дозволяє визначити довiльний натуральний степiнь 'n лiнiйного перетворення ' : V ! V . Це, у свою чергу, дозволяє для довiльного многочлена f(x) =

anxn + an¡1xn¡1 + ¢ ¢ ¢ a1x + a0 визначити вiдповiдний многочлен f(') = an'n + an¡1'n¡1 + ¢ ¢ ¢ a1' + a0" вiд перетворення '.

Необхiднi твердження. 1. Для матриць лiнiйних вiдображень виконуються рiвностi: [' + Ã] = ['] + [Ã] ; [¸ ¢ '] = ¸['] ; ['Ã] = [Ã]['] :

2. Якщо лiнiйне перетворення ' невироджене, то ['¡1] = [']¡1 :

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Перетворення ' простору R2 у базi a1 = (¡3; 7); a2 =
	¡	2) має матрицю	µ5	¡3¶	; а перетворення Ã у базi b1 = (6;	¡
(1;			2	¡1			7);
				1	3
b2	= (¡5; 6) має матрицю µ2				7¶. Знайдiть матрицi перетворень

' + Ã; 'Ã та Ã' у початковiй базi e1; e2; в якiй дано координати всiх векторiв.

Розв’язання. За умовою

(e)!(a)

µ

7 ¡2¶

(e)!(b)

µ¡7 6

¶

T

=

¡3 1

; T

=

6 ¡5

;

(a)

µ5

¡3¶

(b)

µ2

7¶

[']

=

2

¡1

; [Ã]

= 1

3 :

Тому

µ

7 ¡2¶µ5

¡3¶µ7

3¶ µ

¶

(e)

(e)!(a)

(a)

(e)!(a)

1 1

[']

= T

[']

T ¡1

=

¡3 1

2

¡1

2

1

=

¡2 ¡1

;

51

[Ã](e) = T(e)!(b)[Ã](b)T(¡e)1!(b) =

µ

= ¡143 177

Звiдси знаходимо:

µ¡7 6		¶µ2	7¶µ7	6¶
6	¡5	1	3 6	5 =
¡122	:
151	¶

['+Ã]

= [']

(e)

+[Ã]

(e)

=

¡2

¡1

+

¡143

¡122

=

¡145 ¡123

;

(e)

µ 1

1

¶ µ

177

151 ¶ µ 178

152

¶

['Ã]

= [Ã]

¢

[']

=

µ

¡143

¡122

¡2

¡1

=

164

21

;

(e)

(e)

(e)

177

151 ¶µ 1

1 ¶

µ¡203

¡26¶

[Ã']

(e)

= [']

(e) ¢

[Ã]

(e)

=

µ

¡2

¡1

¡143

¡122

=

109

93 :

1

1 ¶µ

177

151

¶

µ 34

29¶

Задача 2. Доведiть;

що

для

довiльних

лiнiйних

вiдображень

'; Ã : V

! W i довiльного пiдпростору U µ V виконується вклю-

чення (' + Ã)(U) µ '(U) + Ã(U). Наведiть приклад; коли (' + Ã)(U) 6=

'(U) + Ã(U).

Розв’язання. Вiзьмемо довiльний вектор v 2 (' + Ã)(U). Тодi iснує такий u 2 U, що v = (' + Ã)(u) = '(u) + Ã(u). Оскiльки '(u) 2 '(U), Ã(u) 2 Ã(U), то v 2 '(U) + Ã(U). З довiльностi v випливає що

(' + Ã)(U) µ '(U) + Ã(U).

Нехай тепер лiнiйне вiдображення ' i пiдпростiр U такi, що '(U) 6= f0g. Вiзьмемо Ã = ¡'. Тодi (' + Ã)(U) = O(U) = f0g. З iншого боку, '(U) + Ã(U) = '(U) + (¡')(U) = '(U) + '(U) = '(U). Отже, (' + Ã)(U) 6= '(U) + Ã(U).

Задача 3. Нехай ' i à лiнiйнi перетворення векторного простору V . Доведiть, що

max(def '; def Ã) · def ('Ã) · def ' + def à :

Розв’язання. Доведемо спочатку лiву нерiвнiсть задачi. Якщо '(v) = 0, то ('Ã)(v) = 0. Тому Ker ' µ Ker ('Ã) i

def ('Ã) = dim Ker ('Ã) ¸ dim Ker ' = def ' :

Нехай dim V = n, a1, : : : ; ak база Im ' \ Ker Ã, a1, : : : ; ak, b1, : : : ; bmїї розширення до бази Im ', а a1, : : : ; ak, c1, : : : ; cl її розширення

52

до бази Ker Ã. З доведення теореми Ґрасмана випливає, що вектори a1,

: : : ; ak, b1, : : : ; bm, c1, : : : ; cl лiнiйно незалежнi, а тому k + m + l · n, тобто m · n¡k ¡l: Для будь–якого вектора v 2 V маємо: '(v) = ®1a1 +

¢ ¢ ¢+®kak +¯1b1 +¢ ¢ ¢+¯mbm для деяких скалярiв ®1; : : : ; ®k; ¯1; : : : ; ¯m; бо a1; : : : ; ak; b1; : : : ; bm база Im ': Тому

('Ã)(v) = Ã('(v)) = Ã(®1a1 + ¢ ¢ ¢ + ®kak + ¯1b1 + ¢ ¢ ¢ + ¯mbm) =

=®1Ã(a1) + ¢ ¢ ¢ + ®kÃ(ak) + ¯1Ã(b1) + ¢ ¢ ¢ + ¯mÃ(bm) =

=¯1Ã(b1) + ¢ ¢ ¢ + ¯mÃ(bm):

Отже, вектори Ã(b1), : : : ; Ã(bm) утворюють систему твiрних простору Im ('Ã), а тому dim Im ('Ã) · m. Але тодi за теоремою Сильвестра

def ('Ã) = dim Ker ('Ã) = n ¡ dim Im ('Ã) ¸

¸ n ¡ m = n ¡ (n ¡ k ¡ l) ¸ k + l = dim Ker à = def à :

Це завершує доведення лiвої нерiвностi.

Доведемо тепер праву нерiвнiсть. Позначимо через 'e обмеження ' на Ker ('Ã). Тодi

def ('Ã) = dim Ker ('Ã) = dim Im 'e + dim Ker 'e:

Зауважимо, що v 2 Ker ('Ã) тодi й лише тодi, коли '(v) 2 Ker Ã. Тому Im 'e µ Ker Ã, Ker 'e µ Ker ' та

def ('Ã) · dim Ker à + dim Ker ' = def à + def ' :

Задача 4. Нехай ' i à лiнiйнi перетворення векторного простору V . Доведiть; що коли V = Ker ' © Ker à = Im ' © Im Ã; то rank(' + Ã) = rank ' + rank Ã.

Розв’язання. Оскiльки dim(U © W ) = dim U + dim W , то
dim V = dim Ker ' + dim Ker à = dim Im ' + dim Im à :
З iншого боку, за теоремою Сильвестра
dim V = dim Ker ' + dim Im ' = dim Im à + dim Ker à :
Тому
dim Im ' = dim Ker Ã; dim Im à = dim Ker ' :	(16)
53

Нехай a1, : : : ; ak база Ker ', b1, : : : ; bm база Ker Ã. Тодi a1, : : : ; ak, b1, : : : ; bm база V . Крiм того, з (16) випливає, що rank ' = m,

rank à = k.

Оскiльки '(a1) = ¢ ¢ ¢ = '(ak) = 0, то образ Im ' породжується ве-

кторами '(b1), : : : ; '(bm). Але rank ' = m. Тому вектори '(b1), : : : ; '(bm) утворюють базу Im '. Аналогiчно вектори Ã(a1), : : : ; Ã(ak) утво-

рюють базу Im Ã. З умови задачi випливає, що вектори Ã(a1), : : : ; Ã(ak), '(b1), : : : ; '(bm) утворюють базу V . Зокрема, вони лiнiйно незалежнi.

З рiвностей

(' + Ã)(a1) = '(a1) + Ã(a1) = Ã(a1); : : : ; (' + Ã)(ak) = Ã(ak);

(' + Ã)(b1) = '(b1) + Ã(b1) = '(b1); : : : ; (' + Ã)(bm) = '(bm)

випливає, що образ перетворення ' + Ã породжується векторами

Ã(a1), : : : ; Ã(ak), '(b1), : : : ; '(bm). Але тодi

rank(' + Ã) = k + m = rank ' + rank Ã:

Задача 5. Доведiть; що коли два лiнiйнi перетворення ' i à рангу 1 мають однаковi ядра i однаковi образи; то цi перетворення комутують. Чи буде правильним аналогiчне твердження для лiнiйних перетворень рангу r > 1?

Розв’язання. З теореми Сильвестра випливає, що dim Ker ' = n ¡ 1; де n розмiрнiсть всього простору. Нехай e1, : : : ; en¡1 база Ker ', e1, : : : ; en¡1, en її розширення до бази всього простору. Тодi Im ' = h'(en)i. За умовою задачi Im ' = Im Ã. Тому iснує таке °, що

Ã(en) = °'(en). Очевидно, що

('Ã)(ei) = (Ã')(ei) = 0 для всiх i = 1; : : : ; n ¡ 1:

Нехай '(en) = ®1e1 + ¢ ¢ ¢+ ®n¡1en¡1 + ®nen для деяких ®1; : : : ; ®n. Тодi

('Ã)(en) = Ã('(en)) = Ã(®1e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n¡1en¡1 + ®nen) = = ®nÃ(en) = ®n°'(en) ;

(Ã')(en) = '(Ã(en)) = '(°'(en)) =

= °'(®1e1 + ¢ ¢ ¢ + ®n¡1en¡1 + ®nen) = °®n'(en) :

54

Отже, для вектора en також маємо ('Ã)(en) = (Ã')(en). Таким чином, перетворення 'Ã i Ã' набувають однакових значень на всiх базових векторах, що й доводить рiвнiсть 'Ã = Ã'.

Для перетворень рангу r > 1 твердження стає хибним. Змiстовно причина полягає в тому, що невиродженi перетворення неодновимiрного простору не завжди комутують. Потрiбний контрприклад можна побудувати, наприклад, так. Нехай e1, : : : ; en база деякого простору. Визначимо перетворення 'Ã i Ã' на базових векторах наступним чином:

'(e1) = 2e1; Ã(e1) = e1 + e2; '(ei) = Ã(ei) = ei; i = 2; : : : ; r (r < n);

'(ei) = Ã(ei) = 0; i = r + 1; : : : ; n:

Тодi Im ' = Im à = L(e1; : : : ; er), Ker ' = Ker à = L(er+1; : : : ; en), але

('Ã)(e1) = 2e1 + 2e2; (Ã')(e1) = 2e1 + e2:

Задача 6. Доведiть; що для кожного лiнiйного перетворення ' рангу 1 принаймнi одне з перетворень " + ' та " ¡ ' є невиродженим.

Розв’язання. Припустимо, що кожне з перетворень " + ' i " ¡ ' є виродженим. Тодi iснує такий ненульовий вектор v, що ("¡')(v) = 0. Звiдси "(v)¡'(v) = 0 i '(v) = "(v) = v. Зокрема, v 2 Im '. Аналогiчно iснує такий ненульовий вектор u, що (" + ')(u) = 0, звiдки '(u) = ¡"(u) = ¡u i u 2 Im '.

За умовою rank ' = 1, тобто dim Im ' = 1. Тому будь–якi два вектори з Im ' пропорцiйнi. Нехай u = ®v. Тодi

¡u = '(u) = '(®v) = ®'(v) = ®v = u :

Але для ненульового вектора u рiвнiсть u = ¡u виконуватися не може. Тому принаймнi одне з перетворень " + ' i " ¡ ' є невиродженим.

Задача 7. Нехай лiнiйне перетворення ' : V ! V є iдемпотентним (тобто '2 = '). Доведiть, що V = Im' © Ker'.

Розв’язання. За теоремою Сильвестра dim Ker ' + dim Im ' = dim V: Тому досить довести, що Ker ' \ Im ' = f0g. Нехай v 2 Ker ' \ Im '. Оскiльки v 2 Ker ', то '(v) = 0. З iншого боку, з v 2 Im ' випливає, що v = '(u) для деякого вектора u. Але тодi з iдемпотентностi ' випливає, що v = '(u) = '('(u)) = '(v) = 0. Отже, v = 0 i Ker '\Im ' = f0g.

55

Задача 8. Нехай A матриця порядку m £ n (m · n) i рангу r. Доведiть; що iснує така матриця B порядку n £ m i рангу m ¡ r; що

AB = O.

Розв’язання. На матрицю A можна дивитися як на матрицю деякого лiнiйного вiдображення ' : P n ! P m. За теоремою Сильвестра dim Ker ' = n ¡ rank ' = n ¡ r: За умовою m ¡ r · n ¡ r. Виберемо в Ker ' довiльнi m ¡r лiнiйно незалежнi вектори a1, : : : ; am¡r i розглянемо лiнiйне вiдображення Ã : P m ! P n, яке на векторах e1, : : : ; em бази простору P m задається таким чином:

Ã(e1) = a1; : : : ; Ã(em¡r) = am¡r; Ã(em¡r+1) = ¢ ¢ ¢ = Ã(em) = 0:

Тодi Im à = L(a1; : : : ; am¡r), а тому ранг перетворення à i матрицi B = [Ã] дорiвнюють m¡r. Оскiльки Im à µ Ker ', то Ã' = O i [Ã'] = O. З iншого боку, [Ã'] = ['] ¢ [Ã] = AB: Тому AB = O:

Основнi задачi

9.Нехай ' лiнiйне перетворення простору V . Доведiть, що:

a)Ker ' µ Ker '2 µ Ker '3 µ ¢ ¢ ¢ ;

b)якщо для деякого k Ker 'k = Ker 'k+1, то Ker 'k = Ker 'k+m для всiх m 2 N.

10.Доведiть, що коли лiнiйнi перетворення ' та Ã одного й того ж простору комутують, то й будь–якi многочлени f(') та g(Ã) вiд цих перетворень також комутують.

11.Доведiть, що для невиродженого лiнiйного перетворення ' перетворення f(') та g('¡1), де f та g многочлени, комутують.

12.Нехай ' : V ! W i à : W ! V такi лiнiйнi вiдображення, що 'à = "V . Чи випливає звiдси, що Ã' = "W ?

13.Знайдiть перетворення, обернене до перетворення ' iз зад. 4.8 b).

14.Нехай ' i à лiнiйнi перетворення векторного простору V . Доведiть, що

jrank ' ¡ rank Ãj · rank (' + Ã) · rank ' + rank à :

15. Нехай ' i à лiнiйнi перетворення векторного простору V . Доведiть, що: a) rank('Ã) = rank ' ¡ dim(Im ' \ Ker Ã);

b) def('Ã) = def ' + dim(Im ' \ Ker Ã).

56

16.Нехай ' є оператором проектування у просторi V (див. зад. 4.8).

a)Доведiть, що " ¡ ' також є оператором проектування.

b)Знайдiть зв’язок мiж ядром i образом оператора ' та ядром i образом оператора " ¡ '.

17.	Доведiть, що лiнiйний оператор ' буде iдемпотентним (тобто
'2 = ') тодi й лише тодi, коли вiн є оператором проектування.
18.	Доведiть, що коли оператори проектування ¼1 i ¼2 простору V ко-

мутують, то їх добуток ¼1¼2 також є оператором проектування. При цьому: a) Im ¼1¼2 = Im ¼1 \ Im ¼2; b) Ker ¼1¼2 = Ker ¼1 + Ker ¼2.

19.Доведiть, що лiнiйне перетворення ' : V ! V є iнволютивним (тобто '2 = ") тодi й лише тодi, коли воно є вiдбиттям (див. зад. 4.8).

20.Доведiть, що для кожного лiнiйного перетворення ' : V ! V рангу 1 знайдеться такий скаляр ®, що '2 = ®'.

21.Доведiть, що кожне лiнiйне вiдображення ' : V ! U можна розкласти в добуток ' = ¹º певних сюр’єктивного ¹ : V ! W та iн’єктивного º : W ! U лiнiйних вiдображень.

22.Доведiть, що кожне лiнiйне вiдображення ' : V ! U рангу k можна подати у виглядi суми k вiдображень рангу 1, але не можна подати у виглядi суми менше нiж k вiдображень рангу 1.

23.Нехай ' i à вiдповiдно оператори диференцiювання i множення на x у просторi R[x]. Доведiть, що 'Ãn ¡ Ãn' = nÃn¡1 для довiльного натурального n.

Додатковi задачi

24.Доведiть, що у просторi Rn[x] оператор ' : f(x) 7!f(x + 1) є многочленом вiд оператора диференцiювання ±.

25.Нехай '; à : V ! U два лiнiйнi вiдображення рангу 1. Доведiть, що rank('+Ã) · 1 тодi й лише тодi, коли Ker ' = Ker à або Im ' = Im Ã.

26.Нехай ' i à лiнiйнi перетворення скiнченновимiрного векторного простору V . Доведiть нерiвнiсть Сильвестра

r(') + r(Ã) ¡ dim V · r('Ã) · min(r('); r(Ã)):

57

27¤. Доведiть, що для довiльних перетворень ¹; '; º; простору V виконується нерiвнiсть Фробенiуса

r(¹') + r('º) · r(') + r(¹'º):

28.Про лiнiйнi перетворення '; Ã : V ! V вiдомо, що ' + Ã = " та 'Ã = O. Доведiть, що кожне з перетворень '; Ã є проектуванням (див. зад. 4.8).

29.Лiнiйне перетворення ' : V ! V називається псевдовiдбиттям, якщо rank (' ¡ ") = 1. Доведiть, що в n–вимiрному просторi кожне лiнiйне перетворення можна розкласти в добуток не бiльше нiж n псевдовiдбиттiв.

30¤. Нехай ' лiнiйне перетворення простору V над полем P i g(x)найменше спiльне кратне многочленiв f1(x), : : : ; fk(x) 2 P [x]. Доведiть, що:

a) Pk Ker fi(') = Ker g('), причому якщо многочлени f1(x), : : : ;

i=1

fk(x) попарно взаємно простi, то сума в лiвiй частинi є прямою.

b) Tk Im fi(') = Im g(').

i=1

31. Нехай ' лiнiйне перетворення простору V над полем P i d(x)найбiльший спiльний дiльник многочленiв f1(x), : : : ; fk(x) 2 P [x]. Доведiть, що

k				k
a)	Ker fi(') = Ker d(');			b) Im fi(') = Im d(').
i=1				=1
T	'1	'2	'k	iP
32. Нехай V0 ! V1		! ¢ ¢ ¢ ! Vk послiдовнiсть лiнiйних вiдображень
векторних просторiв. Доведiть, що
	k		k
	X		Xi
	dim Ker 'i ¡		dim(Vi=Im 'i) = dim V0 ¡ dim V1 :
	i=1		=1

33. Нехай ' лiнiйне перетворення n–вимiрного простору V . Доведiть, що лiвий Annl(') = f¹ 2 Hom(V; V ) j ¹' = Og i правий Annr(') = fº 2 Hom(V; V ) j 'º = Og анулятори перетворення ' є пiдпросторами простору Hom(V; V ); i знайдiть їх розмiрностi.

58

34. Нехай U; V; W; T векторнi простори, ¹ : U ! T , ' : U ! V , à : W ! T лiнiйнi вiдображення. Коли iснує таке лiнiйне вiдображення º : V ! W , що ¹ = 'ºÃ?

35. Доведiть, що сума ¼1 + ¼2 операторiв проектування ¼1 i ¼2 (див. зад. 4.8) буде оператором проектування тодi й лише тодi, коли ¼1¼2 = ¼2¼1 = O. При цьому:

a) Im (¼1 + ¼2) = Im ¼1 © Im ¼2; b) Ker (¼1 + ¼2) = Ker ¼1 \ Ker ¼2.

Домашнє завдання

36. Доведiть, що для довiльного лiнiйного перетворення ' простору V виконуються включення Im ' ¶ Im '2 ¶ Im '3 ¶ ¢ ¢ ¢ :

37.Знайдiть перетворення, обернене до перетворення диференцiювання у просторi L(cos x; sin x).

38.Нехай ' i à лiнiйнi перетворення векторного простору V . Доведiть, що rank('Ã) · min(rank '; rank Ã).

39. Перетворення ' простору R2 у базi a1 = (3; ¡2), a2 = (¡2; 1)				має
	µ4	¡1¶	, а перетворення Ã у базi b1 = (5; 2), b2 = (3; 1)
матрицю	2	¡3		має
матрицю	µ¡3	1	¶
	7	¡2 . a) Знайдiть матрицю перетворення ' + Ã у по-

чатковiй базi e1, e2, в якiй дано координати всiх векторiв. b) Знайдiть матрицю перетворення 'Ã у базi a1, a2.

40. Доведiть, що коли перетворення ' простору V є невиродженим, то для довiльного перетворення Ã цього простору виконується рiвнiсть

(' + Ã)'¡1(' ¡ Ã) = (' ¡ Ã)'¡1(' + Ã):

41. Доведiть, що лiнiйне перетворення ' векторного простору V буде iдемпотентним тодi й лише тодi, коли iснує база, в якiй матриця цього перетворення є дiагональною з нулями i/або одиницями на дiагоналi.

Лiтература. [1], с. 30–33; [3], с. 101–109; [4], с. 99–106; [5], с. 360–367; [6], с. 165–166; [7], с. 181–183; [8], с. 64–71; [10], с. 14–16; [12], с. 318–319; [13], с. 98–106.

59

Заняття 6. Власнi числа та власнi вектори

Необхiднi поняття. Нехай ' лiнiйне перетворення векторного простору V над полем P: Пiдпростiр U µ V називається iнварiантним вiдносно ' (або '–iнварiантним), якщо '(U) µ U:

Вектор v 2 V; що породжує одновимiрний '–iнварiантний пiдпростiр, називається власним вектором лiнiйного перетворення '. Тобто власний вектор це ненульовий вектор, для якого знайдеться таке ¸ 2 P , що '(v) = ¸v: Скаляр ¸ називається власним значенням (або власним числом) перетворення ', що вiдповiдає власному вектору v. Також кажуть, що власний вектор v вiдповiдає власному числу ¸.

База простору, що складається з власних векторiв лiнiйного перетворення, називається власною базою цього перетворення.

Нехай лiнiйне перетворення ' простору V в деякiй базi (e) задане матрицею A: Многочлен ÂA(¸) := det(A ¡ ¸E) називається характеристичним многочленом матрицi A. Також кажуть, що тодi рiвняння

ÂA(¸) = 0 є характеристичним (або вiковим) рiвнянням матрицi A:

Квадратнi матрицi A та B порядку n називаються подiбними, якщо iснує така невироджена матриця T порядку n, що B = T ¡1AT:

Характеристичнi многочлени подiбних матриць збiгаються, тобто ÂA(¸) = ÂT ¡1AT (¸): Тому можна говорити не про характеристичний многочлен матрицi лiнiйного перетворення ' в деякiй базi, а про характеристичний многочлен Â'(¸) лiнiйного перетворення '.

Множина VA(¹) (або коротко V (¹)) всiх власних векторiв матрицi A; що вiдповiдають фiксованому власному числу ¹; поповнена нульовим вектором, утворює пiдпростiр простору V , який називається власним пiдпростором.

Лiнiйне перетворення ' векторного простору V називається дiагоналiзовним, якщо iснує база цього простору, в якiй матриця перетворення ' має дiагональний вигляд.

Необхiднi твердження. 1. Характеристичний многочлен матрицi лiнiйного перетворення ' не залежить вiд вибору бази.

2. Якщо Â(¸) = det(A¡¸E) = a0(¡¸)n +a1(¡¸)n¡1 +¢ ¢ ¢+an¡1(¡¸)+ an характеристичний многочлен матрицi A, то коефiцiєнт ak є сумою

всiх головних мiнорiв порядку k матрицi A. Зокрема, a0 = 1; a1 = tr A; an = det A:

3.Число ¹ буде власним числом матрицi A тодi й лише тодi, коли ¹

єкоренем її характеристичного многочлена ÂA(¸).

60