Вища математика1 / lin_alg_1k2s

21.З’ясуйте, для яких значень параметра ¸ квадратична функцiя буде вiд’ємно визначеною:

a)¡x21 + ¸x22 ¡ x23 + 4x1x2 + 8x2x3;

b)¸x21 ¡ 2x22 ¡ 3x23 + 2x1x2 ¡ 2x1x3 + 2x2x3.

22.Доведiть, що коли в симетричнiй матрицi всi головнi кутовi мiнори додатнi, то всi дiагональнi елементи також додатнi.

23.Нехай l1, : : : ; lp, lp+1, : : : ; lp+q, дiйснi лiнiйнi функцiї вiд x1; : : : ; xn. Доведiть, що для квадратичної функцiї f = l12 +¢ ¢ ¢+lp2 ¡lp2+1 ¡¢ ¢ ¢¡lp2+q додатний iндекс iнерцiї · p, а вiд’ємний iндекс · q.

Додатковi задачi

24. Знайдiть невироджене лiнiйне перетворення змiнних, яке приводить квадратичну функцiю iз зад. 13.5 до нормального вигляду.

25.¤ Зведiть квадратичну функцiю	n
	i<j ji ¡ jj ¢ xixj до нормального
вигляду.	P

26. Знайдiть додатний i вiд’ємний iндекси iнерцiї квадратичної функцiї f(A) = tr A2 на просторi матриць Mn(R).

27.¤ Вiдомо, що в деякiй базi головнi мiнори матрицi дiйсної квадратичної форми f вiд чотирьох змiнних задовольняють умови 41 > 0, 42 = 43 = 0, 44 > 0. Знайдiть сигнатуру форми f.

	n		P
28. Доведiть, що дiйсна квадратична форма f =			n	aijxixj; яка за-
	P6		i;j=1
j		jaijj, i = 1; 2 : : : ; n, є додатно визначеною.
довольняє умову aii >

=1;j=i

29.¤ Доведiть, що квадратична форма буде невiд’ємно (додатно) визначеною тодi й лише тодi, коли її матриця A розкладається в добуток A = B>B, де B (невироджена) матриця.

30. Нехай A додатно визначена матриця. Доведiть, що обернена матриця A¡1 i приєднана матриця A¤ також додатно визначенi.

31. Доведiть, що для кожної додатно визначеної квадратичної функцiї

f виконується нерiвнiсть	f(x + y)	f(x) +	f(y). За яких умов
буде мати мiсце рiвнiсть?	p	· p	p
	171

32. Нехай f та g дiйснi квадратичнi функцiї на n–вимiрному просторi, причому принаймнi одна з них є додатно визначеною. Доведiть, що “поверхнi” f = 1 i g = 1 не мають спiльних точок тодi й лише тодi, коли функцiя f ¡ g є додатно або вiд’ємно визначеною.

33.¤ Доведiть, що коли дiйсна квадратична функцiя f набуває значень рiзних знакiв (тобто iснують такi вектори v1; v2, що f(v1) < 0 та f(v2) > 0), то в просторi iснує база з iзотропних векторiв (вектор v називається iзотропним, якщо f(v) = 0).

34.¤ Доведiть, що множина iзотропних векторiв утворює пiдпростiр тодi й лише тодi, коли вiдповiдна функцiя f є невiд’ємно або недодатно визначеною. Знайдiть розмiрнiсть цього пiдпростору.

35.Пiдпростiр U µ V називається iзотропним вiдносно бiлiнiйної функцiї ', якщо '(u; v) = 0 для всiх v; u 2 U. Нехай ' невироджена симетрична бiлiнiйна функцiя, а p та q її додатний i вiд’ємний iндекси iнерцiї вiдповiдно. Доведiть, що максимальна розмiрнiсть iзотропного пiдпростору дорiвнює min(p; q).

36.Чи будуть еквiвалентними квадратичнi функцiї:

a)f = 4x2 + 8xy + 3y2 та g = 3x2 + 2xy + 3y2 над Z;

b)f = 3x2 + 6xy та g = 2x2 + 3xy + 4y2 над Z7?

37.¤ Нехай f невироджена квадратична функцiя на просторi V над довiльним полем P . Доведiть, що коли f набуває значення 0 на якомусь ненульовому векторi, то вона набуває усiх значень з поля P .

38.¤¤ (Правило Гундельфiнґера) Нехай послiдовнiсть ¢0 = 1, ¢1,

: : : ; ¢n головних кутових мiнорiв матрицi квадратичної форми f вiд n змiнних задовольняє такi умови:

1)¢n 6= 0;

2)якщо ¢k = 0 для деякого k; 1 · k < n;, то ¢k¡1¢k+1 6= 0. Нульовим значенням ¢k довiльним чином припишемо знаки. Доведiть,

що додатний (вiд’ємний) iндекс iнерцiї форми f дорiвнює числу повторень (перемiн) знака в послiдовностi ¢0, ¢1, : : : ; ¢n.

39.¤¤ Доведiть, що над полем R з точнiстю до лiнiйної замiни змiнних iснує рiвно 5 типiв кубiчних форм вiд двох змiнних.

172

Домашнє завдання

40.Знайдiть симетричну бiлiнiйну функцiю, асоцiйовану з квадрати-

чною функцiю f(x) = '(x; x), якщо '(x; y) = ¡x1y1 + x2y1 ¡ 2x2y2 + 3x2y3 ¡ x3y1 + 2x3y3.

41.Знайдiть необхiднi й достатнi умови того, щоб дiйсна квадратична функцiя f(x) була еквiвалентна функцiї ¡f(x).

42.Зведiть квадратичну функцiю до канонiчного вигляду методом Яко-

бi:

a)x21 + 2x22 + 2x23 + 2x1x2 + 2x2x3;

b)x21 + 4x22 + 11x23 + 24x24 ¡ 2x1x3 ¡ 4x1x4 + 4x2x3 + 16x3x4.

43.Зведiть квадратичну функцiю до канонiчного вигляду методом Лагранжа:

a)x21 + 4x22 + x23 ¡ 4x1x2 + 2x1x3;

b)x1x2 + 2x1x3 + 3x1x4 + x2x3 + 2x2x4 + x3x4.

44.Знайдiть нормальний вигляд дiйсної квадратичної функцiї

¡12x21 ¡ 3x22 ¡ 12x23 + 12x1x2 ¡ 24x1x3 + 8x2x3

i невироджене лiнiйне перетворення, яке приводить до цього вигляду.

45. З’ясуйте, чи будуть еквiвалентними над полем R або над полем C

квадратичнi функцiї f = x21 + 4x22 + x23 + 4x1x2 ¡ 2x1x3 та g = x21 + 2x22 ¡

x23 + 4x1x2 ¡ 2x1x3 ¡ 4x2x3.

46. З’ясуйте, для яких значень параметра ¸ дiйсна квадратична функцiя буде додатно визначеною:

a)2x21 + 2x22 + x23 + 2¸x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3;

b)x21 + x22 + 5x23 + 2¸x1x2 ¡ 2x1x3 + 4x2x3.

Лiтература. [1], с. 83–100; [2], с. 194, 198–201; [3], с. 62–84, 87–94; [4], с. 191–198; [5], с. 321–337; [7], с. 204–205, 215–219; [8], с. 45–57; [10], с. 54–64, 77–81; [12], с. 143–156; [13], с. 211–227, 237–243, 284–292, 313–316.

Заняття 14. Геометрiя евклiдових та унiтарних просторiв

Необхiднi поняття. Евклiдовим простором називається векторний простiр над полем дiйсних чисел з фiксованою додатно визначеною си-

173

метричною бiлiнiйною функцiєю '. Ця функцiя зазвичай називається

скалярним добутком.

Унiтарним простором називається векторний простiр над полем комплексних чисел з фiксованою додатно визначеною ермiтовою пiвторалiнiйною функцiєю '. Ця функцiя називається (ермiтовим) скалярним добутком.

Оскiльки функцiя ' фiксована, то замiсть '(u; v) вживають ко-

ротшi позначення (u; v) або u ¢v. p Довжиною (або нормою) вектора v називається число jv j := (v; v). Вектори u та v називаються ортогональними, якщо (v; v) = 0. База, вектори якої попарно ортогональнi, називається ортогональ-

ною. Якщо до того ж усi вектори бази мають довжину 1, то база називається ортонормованою.

Множина U? всiх векторiв, ортогональних до кожного вектора з U

називається ортогональним доповненням U.

	В евклiдовому просторi кут ® мiж		ненульовими векторами v та u
	визначається рiвнiстю cos ® :=	(v,u )	: Зауважимо, що в унiтарному
		jv j ¢ ju j

просторi поняття кута не визначається.

Необхiднi твердження. 1. Довiльна система попарно ортогональних ненульових векторiв є лiнiйно незалежною.

2.Два скiнченновимiрнi евклiдовi (унiтарнi) простори будуть iзоморфними тодi й лише тодi, коли вони мають однакову розмiрнiсть.

3.Нерiвнiсть Кошi–Буняковського–Шварца. Для довiльних векторiв u; v евклiдового (унiтарного) простору виконується нерiвнiсть

jv ¢u j · jv j ¢ ju j :

Рiвнiсть досягається, коли вектори u; v пропорцiйнi.

4.Нерiвнiсть трикутника. jv+u j · jv j+ju j для довiльних векторiв v та u евклiдового (унiтарного) простору.

5.У кожному евклiдовому (унiтарному) просторi iснує ортонормована база.

6.Для довiльної непустої пiдмножини U ортогональне доповнення U? є пiдпростором. Якщо U пiдпростiр, то (U?)? = U:

7.Для довiльного пiдпростору U µ V евклiдового (унiтарного) простору V виконується рiвнiсть V = U ©U? : Зокрема, dim U? = dim V ¡ dim U.

174

8. Якщо e1; e2; : : : ; en ортонормована база простору V , то скаляр-

ний добуток векторiв x = x1e1 + ¢ ¢ ¢ + xnen та y = y1e1 + ¢ ¢ ¢ + ynen обчислюється за формулою

(x; y) = x1y1 + x2y2 + ¢ ¢ ¢ + xnyn

в евклiдовому просторi, i за формулою

(x; y) = x1y1 + x2y2 + ¢ ¢ ¢ + xnyn

в унiтарному просторi.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. Нехай (x; y)1 i (x; y)2 два рiзнi скалярнi добутки на одному й тому ж векторному просторi V . Доведiть; що функцiя (x; y)1 + (x; y)2 також є скалярним добутком на V .

Розв’язання. Якщо в просторi зафiксувати базу, то з’являється взаємно однозначна вiдповiднiсть мiж симетричними бiлiнiйними (вiдповiдно ермiтовими пiвторалiнiйними) функцiями i симетричними (вiдповiдно ермiтовими) матрицями. Позаяк сума двох таких матриць знову є симетричною (вiдповiдно ермiтовою), то функцiя (x; y)1 + (x; y)2 є симетричною бiлiнiйною (вiдповiдно ермiтовою пiвторалiнiйною).

Лишилося довести додатну визначенiсть нашої функцiї. Та це вiдразу випливає з того, що для ненульового вектора x обидва доданки в правiй частинi виразу (x; x)1 + (x; x)2 є додатними.

Задача 2. У просторi R4 зi стандартним скалярним добутком знайдiть довжини сторiн i внутрiшнi кути трикутника з вершинами

A = (1; 2; 1; 2); B = (3; 1; ¡1; 0); C = (1; 1; 0; 1).

¡¡!

Розв’язання. Щоб знайти координати вектора XY з початком у точцi

X i кiнцем у точцi Y , треба вiд координат кiнця вiдняти координати по-

¡¡!

чатку. Тому AB = (3; 1; ¡1; 0) ¡ (1; 2; 1; 2) = (2; ¡1; ¡2; ¡2): Аналогiчно

¡! ¡¡!

знаходимо: AC = (0; ¡1; ¡1; ¡1); BC = (¡2; 0; 1; 1). Тепер легко знайти довжини сторiн трикутника:

jABj = p22 + (¡1)2 + (¡2)2 + (¡2)2 = p13; jACj = p3; jBCj = p6:

175

Щоб знайти кути, спочатку знаходимо їх косинуси:

cos

A =

¡¡! ¢

¡!

=

5

;

\

AB AC

p

jABj ¢ jACj

39

¡¡! ¡¡!

¡! ¡¡!

BA BC

8

CA CB

p2

cos \B =

¢

=

p

;

cos \C =

¢

= ¡

:

j

BA

j ¢ j

BC

j

j

CA

j ¢ j

CB

j

3

78

¡p

Звiдси \

A = arccos

\

B = arccos

\

C = arccos

5

;

8

;

2

:

p39

p78

3

Задача 3. У просторi R2[x]

зi скалярним добутком

(f(x); g(x)) = Z1 f(x)g(x)dx

¡1

знайдiть кути трикутника; утвореного векторами 1; x та 1 + x.

Розв’язання. Маємо три вершини трикутника: A = 1, B = x, C = 1+x. Як i в попереднiй задачi, знаходимо:

¡¡!

¡!

¡¡!

x = 1:

AB = x

¡

1; AC = (1 + x)

¡

1 = x; BC = (1 + x)

¡

Звiдси

sZ¡1(1 ¡ x) dx = r³x ¡ x + 3

´¯¯¡1 =

p3

jABj = q¡¡! ¢ ¡¡!

;

1

x3

1

2p

2

AB AB =

2

2

¯

q¡!

¡!

s

p3

j

j

¢

Z¡1

1 x2dx = p

2

;

AC

= AC

AC =

s

jBCj = q¡¡! ¢ ¡¡!

Z¡1

12dx = p

1

BC

BC =

2

:

Далi знаходимо:

¡¡! ¡!

1

(x

1)xdx

1

cos \A =

AB

¢

1

= 2

;

AC = R¡AB

¡ AC

AB

AC

j

j ¢ j

j

j

j ¢ j

j

176

звiдки \A = 30±. Аналогiчно знаходимо:

BA BC

1

(1

x)dx

¡¡! ¡¡!

¡1

¡

cos \B =

BA

¢

BC

=

RBA

BC

j

j ¢ j

j

j

j ¢ j

j

CA CB

1 xdx

cos \C =

¡!

¢ ¡¡!

=

¡1

jCAj ¢ jCBj

j

CA

CB

R

j ¢ j j

звiдки \B = 60±, \C = 90±.

p

= 23 ;

= 0 ;

Задача 4. Доведiть; що сума квадратiв дiагоналей паралелограма дорiвнює сумi квадратiв його сторiн.

¡¡! ¡¡!

Розв’язання. Нехай ABCD паралелограм. Позначимо: AB = a, AD =

¡¡! ¡¡!

b. Тодi сторони DC i BC дорiвнюють вiдповiдно a i b. Для дiагоналей

¡! ¡¡! ¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡! ¡¡!

AC i BD маємо: AC = AB + BC = a + b; BD = AD ¡ AB = b ¡ a: Тому

jACj2 + jBDj2 = (a + b)2 + (b ¡ a)2 = (a2 + 2ab + b2) + +(b2 ¡ 2ba + a2) = 2a2 + 2b2 = jABj2 + jDCj2 + jADj2 + jBCj2 ;

що й треба було довести.

Задача 5. Знайдiть довжину дiагоналi n–вимiрного одиничного куба i кути; якi вона утворює з ребрами куба.

Розв’язання. Будемо вважати, що одиничний куб розташований так, що його вершини мають координати ("1; "2; : : : ; "n), де кожна з координат "i дорiвнює або 0, або 1. Вершини A = (0; 0; : : : ; 0) та B = (1; 1; : : : ; 1)

є протилежними, тому	дiагональ					AB
						¡¡! є вектором з координатами
(1; 1; : : : ; 1). Її довжина	дорiвнює
j		j		q
					¡¡!	¢ ¡¡!
AB			=		AB	AB = p		n	:

Двi вершини куба є сусiднiми тодi й тiльки тодi, коли вони розрiзняються однiєю координатою. Але тодi в однiєї з вершин ця координата буде 0, а в iншої 1. Тому ребро, яке з’єднує сусiднi вершини, буде вектором вигляду a = (: : : ; 0; 1; 0; : : :). Кут ® мiж таким вектором i дiа-

AB
гоналлю ¡¡! легко обчислюється:
cos ® =		¡¡!	¢	a	=			;
		AB		¡!		1
	\					p
		jABj ¢ jaj
							n

звiдки ® = arccos(1=pn).

177

Задача 6. Нехай евклiдовий простiр E розкладається в пряму суму пiдпросторiв U та V . Доведiть; що E = U? © V ?.

Розв’язання. Якщо E = U © V , то dim E = dim U + dim V . Але згiдно твердження 7 dim U? = dim E ¡dim U та dim V ? = dim E ¡dim V: Тому

dim U? + dim V ? = (dim E ¡ dim U) + (dim E ¡ dim V ) =

=2 dim E ¡ (dim U + dim V ) = dim E

i для доведення рiвностi E = U? © V ? досить показати, що U? \ V ? = f0g. Для цього розглянемо довiльний вектор a 2 U? \ V ?. За умовою

вектор a можна записати у виглядi a = u + v, де u 2 U, v 2 V . Але a 2 U?, тому (a; u) = 0. Аналогiчно доводиться, що (a; v) = 0. Тому

(a; a) = (a; u + v) = (a; u) + (a; v) = 0 + 0 = 0 :

Рiвнiсть (a; a) = 0 рiвносильна тому, що a = 0. Отже, U? \ V ? = f0g, що й треба було довести.

Задача 7. Доведiть; що коли в ортонормованiй базi пiдпростiр U задається лiнiйно незалежною системою лiнiйних рiвнянь; то коефiцiєнти цих рiвнянь є координатами векторiв бази ортогонального доповнення U?.

Розв’язання. Нехай пiдпростiр U задається системою рiвнянь

a11x1 + a12x2 + ¢ ¢ ¢ + a1nxn = 0;

: : : : : : : : : : : : : : : : :	(44)
am1x1 + am2x2 + ¢ ¢ ¢ +	amnxn = 0:

За умовою рiвняння лiнiйно незалежнi, тому ранг матрицi системи (44) дорiвнює m, пiдпростiр U має розмiрнiсть n ¡ m, а пiдпростiр U? розмiрнiсть n ¡ (n ¡ m) = m.

Рiвнiсть ai1x1 + ai2x2 + ¢ ¢ ¢ + ainxn = 0 можна трактувати, як умову ортогональностi векторiв (ai1; ai2; : : : ; ain) та (x1; x2; : : : ; xn). Отже, кожен з векторiв a1 = (a11; a12; : : : ; a1n), : : : ; am = (am1; am2; : : : ; amn) є

ортогональним до кожного розв’язку x = (x1; x2; : : : ; xn) системи (44), тобто до кожного вектора з U. Тому вектори a1, : : : ; am належать пiдпростору U?. Позаяк вони лiнiйно незалежнi, а їх кiлькiсть дорiвнює розмiрностi пiдпростору, то вони утворюють базу цього пiдпростору.

178

Задача 8. Знайдiть базу ортогонального доповнення до пiдпростору U; породженого векторами a1 = (1; 3; 0; 2); a2 = (3; 7; ¡1; 2); a3 = (2; 4; ¡1; 0).

Розв’язання. Вектор x = (x1; x2; x3; x4) належить ортогональному доповненню до пiдпростору U тодi й тiльки тодi, коли вiн ортогональний

до кожного з векторiв a1, a2, a3, тобто коли (x; a1) = 0, (x; a2) = 0, (x; a3) = 0. У термiнах координат це означає, що вектор x задовольняє

систему рiвнянь

x1	+ 3x2		¡		+	2x4	= 0;
3x1	+	7x2		x3	+	2x4	= 0;	(45)
2x1	+	4x2	¡	x3			= 0:

Таким чином, ортогональне доповнення U? збiгається з множиною роз- в’язкiв системи (45), а база пiдпростору U? з фундаментальною системою розв’язкiв цiєї системи. Розв’язуючи систему (45) методом Ґауса, отримуємо:

0 3	7	1	2	¯	0 1Ã0 0			2		1				4	¯	0		1Ã	0 2 1 4 0						:
2	4	¡1	0	¯	0	0		¡2		¡1 ¡4					¯	0		µ					¯		¶
1	3	0	2	¯	0	1		3		0				2	¯	0			1	3	0	2	¯	0
@		¡		¯	A @			¡ ¡ ¡							¯			A					¯
				¯											¯								¯
Вибираючи в якостi¯						вiльних змiнних x2 та¯												x4, знаходимо фундамен-
тальну систему розв’язкiв:
							x1		x2			x3		x4			.
							¡3		1			¡2			0
							¡2		0			¡4	1
Таким чином, базу ортогонального доповнення U? утворюють вектори
b1 = (¡3; 1; ¡2; 0) та b2 = (¡2; 0; ¡4; 1).

Основнi задачi

9. На звичайному тривимiрному векторному просторi V визначимо функцiї:

a) '1(x; y) = jxj ¢ jyj; b) '2(x; y) = jxj ¢ jyj ¢ cos3(x,yd);

c) '3(x; y) = 2(x; y), де (x; y) звичайний скалярний добуток. Якi з цих функцiй є скалярними добутками?

179

10. Знайдiть довжини сторiн i внутрiшнi кути трикутника, вершини

якого заданi координатами:
a) A = (2; 4; 2; 4; 2), B = (6; 4; 4; 4; 6), C = (5; 7; 5; 7; 2);
b) A = (1; 2; 3; 2; 1), B = (3; 4; 0; 4; 3),				p78;	1 + 5 p78).
C = (1 + 5 p78;	2 + 5 p78;	3 + 10 p78; 2 + 5
26	13	13	13		26

11.З’ясуйте, гострокутним чи тупокутним буде трикутник з вершинами 0, x2 + 3x, 2x2 + 2x ¡ 1, якщо в просторi R2[x] скалярний добуток задається правилом:

a)(a0 + a1x + a2x2; b0 + b1x + b2x2) = a0b0 + a1b1 + a2b2;

b)(a0 + a1x + a2x2; b0 + b1x + b2x2) = a0b0 + 2a1b1 + a2b2.

12.Доведiть, що квадрат сторони трикутника дорiвнює сумi квадратiв двох iнших сторiн без подвоєного добутку цих сторiн на косинус кута мiж ними.

13.Знайдiть кут мiж мимобiжними дiагоналями двох сусiднiх граней куба.

14.Знайдiть радiус кулi, описаної навколо n–вимiрного одиничного куба, i з’ясуйте, для яких n цей радiус менший за ребро куба.

15.Доведiть, що довжина ортогональної проекцiї ребра n–вимiрного куба на довiльну його дiагональ дорiвнює 1=n довжини дiагоналi.

16.Доведiть, що проекцiї вершин n–вимiрного куба на його дiагональ дiлять її на n рiвних частин.

17.Знайдiть кiлькiсть тих дiагоналей n–вимiрного куба, якi ортогональнi данiй дiагоналi.

18.Нехай e1, e2, : : : ; en ортогональна база евклiдового простору En, ®1, ®2, : : : ; ®n кути, якi утворює вектор v з векторами бази. Доведiть,

що cos2 ®1 + cos2 ®2 + ¢ ¢ ¢ + cos2 ®n = 1.

19.Нехай вектор a та число c фiксованi. Який геометричний змiст має множина fv 2 V j (v; a) = cg?

20.Доведiть, що в унiтарному просторi з ортогональностi векторiв u та v випливає рiвнiсть ju + v j2 = ju j2 + jv j2. Чи має мiсце зворотне твердження?

180