Вища математика1 / lin_alg_1k2s

Розв’язком цiєї системи, тобто власним вектором для ¸2 = ¡7, буде, наприклад, вектор a2 = (2; 1; ¡4).

	¡	¢			0	3	2	5	¯	0	1	Ã	0	1	2	¯	0	¶
									¯			µ	1	0	3		0
¡			¯	¢		¡1	0	3	¯	0						¯
A 0 E			¯	0 =	@	0 1		2	¯	0	A				¡	¯		:
								¡
									¯							¯
Розв’язком цiєї системи, тобто власним¯											вектором для ¸3 = 0, буде, на-

приклад, вектор a3 = (3; ¡2; 1).

Оскiльки перетворення з симетричною матрицею A є нормальним, то власнi вектори, що вiдповiдають рiзним власним числам, попарно ортогональнi. Тому лишилося лише нормувати систему a1, a2, a3:

a1

p

a2

p

6

21

e1 =

=

(1; 2; 1);

e2 =

=

(2; 1; ¡4);

ja1j

6

ja2j

21

a3

p

14

e3 =

=

(3; ¡2; 1):

ja3j

14

Таким чином, матриця T переходу до ортонормованої бази має вигляд

p

p

2p

3p

7

2

3

42

T =

02p7

p2

2

p

31

:

42

@ p7

¡4p2 ¡p3 A

Задача 6. Покажiть; що одна з двох даних квадратичних функцiй

f = x21 + 2x22 + 3x33 + 2x1x2 ¡ 2x1x3;

g= 2x21 + 8x22 + 3x33 + 8x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3

єдодатно визначеною; i знайдiть невироджене лiнiйне перетворення;

яке приводить одну з цих функцiй до нормального; а iншу до канонiчного вигляду. Знайдiть також цей канонiчний вигляд.

Розв’язання. Запишемо матрицi даних квадратичних функцiй i знайде-

мо їх головнi кутовi мiнори:

[f] = 0

1

1

¡1

1

1

¯

1

1

¡1

¯

1 2 0

1; ¢1 = 1; ¢2

=

¯

1 2

¯

= 1; ¢3

=

1

2 0

= 1;

1

0

3

¯

1

0

3

¯

@¡

A

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

2

4

1

2

4

2

4

1

[g] = 04 8 21; ¢1 = 2; ¢2

=

¯

¯

= 0; ¢3

=

¯4 8 2¯

= 0:

4 8

1

2

3

¯1

2

3¯

@

A

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

221¯

¯

¯

¯

¯

¯

Таким чином, у функцiї f всi головнi кутовi мiнори додатнi, а тому за критерiєм Сильвестра вона буде додатно визначеною. Зведемо її методом Лагранжа до нормального вигляду:

f= x21 + 2x22 + 3x33 + 2x1x2 ¡ 2x1x3 =

=(x1 + x2 ¡ x3)2 + (x2 + x3)2 + x23 = y12 + y22 + y32;

де y1 = x1 + x2 ¡ x3, y2 = x2 + x3, y3 = x3. Оскiльки звiдси x1 = y1 ¡ y2 + 2y3, x2 = y2 ¡ y3, x3 = y3, то функцiя g зводиться при цьому до вигляду

g = 2y12 + 2y22 + 3y33 + 4y1y2 + 2y1y3 + 2y2y3:

Зокрема, маємо такий зв’язок мiж старими i новими координатами:

x1			1	¡1	2	A	y1
@x3A @0				0	1		¢ @y3A
0x2	1	=	00	1	¡11		0y2	1	:	(56)

Позаяк тепер у координатах y1, y2, y3 функцiя f задає стандартний скалярний добуток, то ми можемо звести функцiю g до головних осей. Для цього записуємо в цих координатах матрицю A функцiї g, а потiм

шукаємо власнi числа та вiдповiднi власнi вектори:

A =

02

2

11

;

2

2

1

¯

1

1

@1

1

3A

1

1

3 ¸ ¯

3 ¸

¯

¯

¯

2 ¡ ¸

2

1

¯

¯

5 ¡ ¸ 5 ¡ ¸ 5 ¡ ¸

¯

ÂA(¸) =

¯

2

2 ¡ ¸

¡

¯

=

¯

2

2 ¡ ¸

¡

¯

=

¯

1

1

¯

¯

1

¯

¯

1

1

¯

¯

1 1

1

¯

¯

¯

2 2 ¡ ¸

1

¯

¯

¯

¯

0 ¡¸ ¡1

¯

¯

= (5

¡

¸)

= (5

¡

¸)

=

¯

1

1

3 ¸

¯

¯

0 0 2 ¸

¯

¯

¡

¯

¯

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= ¡(5 ¡ ¸)(2 ¡ ¸)¸:

Таким чином, власними числами будуть ¸1 = 5, ¸2 = 2, ¸3 = 0. Тому пiсля зведення до головних осей квадратична функцiя набуває вигляду g = 5z12 + 2z22. Ортонормована база, в якiй функцiя g має такий вигляд,

складається з власних векторiв. Знайдемо їх:																¯		¶ µ					¯		¶
	¡				1	1		2 ¯		0	µ
¡		¯	¢		¡3	2	1		¯	0		1	1	¡	2	¯	0		1	0	¡	1	¯	0
	A 5E				2		3 1			0			¡												:
		¯		@		¡	¡		¯		A	0 1 1				¯	0	Ã	0 1			1	¯	0
				0					¯		1Ã					¯							¯
									¯		222
									¯

Таким чином, для ¸1 = 5 власним вектором буде, наприклад, вектор a1 = (1; 1; 1).

A

¡

2E 0 = 0 2 0 1

¯

0

1 Ã

0 2 1 0

:

1

1

1

¯

0

µ

¯

¶

¡

¯

¢

0

2

1

¯

0

2

0

1

¯

0

¯

@

¯

A

¯

¯

¯

Для ¸2 = 2 власним вектором буде,¯наприклад, вектор a2 = (1; 1; ¡2).

¡ ¢

1 1 3

¯ 0

µ

¯ ¶ µ

¯ ¶

¡

¯

¢

2

2

1

¯

0

0 0 ¡5

¯

0

1 1 0

¯

0

A 0 E

¯

0 =

@

2 2 1

¯

0

A

¯

Ã

¯

:

0

¯

1 Ã

1 1 3

¯

0

0 0 1

¯

0

¯

Для ¸3 = 0 власним вектором¯

буде, наприклад, вектор a3 = (1; ¡1; 0).

Пiсля нормування системи a1, a2, a3 одержуємо матрицю переходу:

p

1

p

T = p

2

3

0p2 1

p31:

1

¢ @p

¡0

A

6

¡2

2

Це дає нам ще один зв’язок мiж координатами:

1 = p

p

1

p

1:

y1

2

3

z1

0y2

0p2

1

p31 0z2

@y3A

1

¢

@p

¡0

A ¢ @z3A

6

¡2

2

Враховуючи спiввiдношення (56), звiдси отримуємо лiнiйне перетворення

0x21 =	00			¡11								p							1	p
		1							p				2								3				=
												0p2 1								p31 0z21
x1	1	¡1		2					1															z1
@x3A @0				1 A ¢							¢ @p			¡2						¡0		A ¢ @z3A
		0								6
													2
				2p				¡4 2p
		1				2										3				z1
	= p			0 0					3			p							1 0z21
																	3					;
		6		¢ @ p			¡2					¡0							A ¢ @z3A
					2
яке приводить функцiю f до нормального вигляду z2+z2																								+z2, а функцiю
g до канонiчного вигляду 5z12 + 2z22.																				1		2		3

Задача 7. Нехай U iнварiантний пiдпростiр нормального перетворення '. Доведiть; що кожен з пiдпросторiв U та U? буде iнварiантним як вiдносно '; так i вiдносно '¤.

223

Розв’язання. У розв’язаннi зад. 17.3 показано, що для кожного власного вектора a нормального перетворення ' ортогональне доповнення hai? є '–iнварiантним пiдпростором. Звiдси та основної теореми про нормальнi перетворення випливає, що кожний iнварiантний пiдпростiр нормального перетворення має базу з власних векторiв. Крiм того, за твердженням 3, кожний власний вектор нормального перетворення ' є також власним вектором перетворення '¤. Тому кожний iнварiантний пiдпростiр перетворення ' буде iнварiантним i вiдносно '¤.

Лишилося показати, що ортогональне доповнення U? також буде iнварiантним вiдносно '. Розглянемо довiльнi u 2 U та v 2 U?. Оскiльки (u; '(v)) = ('¤(u); v) та '¤(u) 2 U, то (u; '(v)) = 0. З довiльностi u 2 U випливає, що '(v) 2 U?, що й треба було довести.

Задача 8. Доведiть; що коли нормальнi перетворення ' та Ã унiтарного простору V комутують; то для них iснує спiльна власна ортонормована база.

Розв’язання. Для одновимiрного простору це очевидно. Далi застосуємо iндукцiю за розмiрнiстю простору V .

Нехай ¸ власне число перетворення ', а V'(¸) вiдповiдний власний пiдпростiр. Тодi для кожного v 2 V'(¸) маємо:

'(Ã(v)) = Ã('(v)) = Ã(¸v) = ¸Ã(v):

Отже, Ã(v) 2 V'(¸), а тому V'(¸) iнварiантний пiдпростiр перетворення Ã. Звiдси випливає, що довiльний власний вектор обмеження ÃjV'(¸)

перетворення à на пiдпростiр V'(¸) буде спiльним власним вектором перетворень ' та Ã. Нехай a один з таких векторiв. Згiдно зад. 17.7 ортогональне доповнення hai? буде iнварiантним як вiдносно ' та Ã, так i вiдносно '¤ та ä. Зокрема, обмеження на цей пiдпростiр кожного з перетворень ' i à буде нормальним, а тому цi обмеження задовольняють умову задачi. Оскiльки dimhai? < dim V , то, за припущенням iндукцiї, для перетворень 'jhai? та Ãjhai? iснує власна ортонормована

база. Поповнивши її нормованим вектором jaaj, одержимо спiльну власну ортонормовану базу перетворень ' та Ã.

Задача 9. Знайдiть ортогональне лiнiйне перетворення; яке одночасно приводить до канонiчного вигляду кожну з даних квадратичних

224

функцiй:

f = x21 + 5x22 + x33 + 2x1x2 + 6x1x3 + 2x2x3; g = x21 ¡ 2x22 + x33 + 4x1x2 ¡ 10x1x3 + 4x2x3:

Розв’язання. Безпосередньо перевiряється, що матрицi

[f] =	01	5	11	i [g] =	0 2	¡2 2 1
	1	1	3		1	2	¡5
	@3	1	1A		@¡5 2		1 A

квадратичних функцiй f та g комутують. Оскiльки цi матрицi симетричнi, на них можна дивитися як на матрицi самоспряжених перетворень в ортонормованiй базi. Позаяк самоспряжене перетворення є нормальним, то згiдно зад. 17.8 вони мають спiльну власну ортонормовану базу. Якщо перейти до цiєї бази, то кожна з функцiй f та g набуде канонiчного вигляду. Щоб знайти власну ортонормовану базу перетворення з матрицею [f], шукаємо спочатку власнi числа цiєї матрицi:

Â[f](¸) =

¯

1

5 ¡ ¸ 1

¯

=

¯

1

5 ¡ ¸

1

¯

=

¯

3

1

1 ¸

¯

¯

3

1

1 ¸

¯

¯

1 ¡ ¸

1

3

¯

¯

¡2 ¡ ¸

0

2 + ¸

¯

¯

1

0

1

¡

¯

¯

1

0

¡

¯

¯

¡

¯

¯

¡

1

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

= (2 + ¸)

¯

1 5 ¡ ¸

1

= (2 + ¸)

0 5 ¡ ¸

2

¯

=

¯

3

1

1 ¸

¯

¯

0

1

4 ¸

¯

¯

¯

¯

¯

¯

=

¡

¯

3)(¸

¯

6):

¡

¯

¯

¡

(2 + ¸)(¯ ¸

¡

¯

¯

¯

¯

¡¯

¯

Далi для кожного з чисел ¸1 = ¡2, ¸2 = 3, ¸3 = 6 шукаємо вiдповiдний власний вектор:

	[f] + 2E 0 = 0 1 7					1	¯	0 1 Ã	0	1	0	¯	0	:
				3	1	3	¯	0	µ					¶
¡	¯	¢		3	1	3	¯	0	1	0	1	¯	0
	¯		@				¯	A				¯
							¯					¯
							¯

Таким чином, для ¸1 = ¡2 власним вектором буде, наприклад, вектор a1 = (1; 0; ¡1).

	¡				3	1	2 ¯		0	µ	0	5	5	¯	0	¶ µ	1	0		1	¯	0	¶
¡		¯	¢		¡2	1	3	¯	0					¯					¡		¯
	[f] 3E	¯	0 =	@	1	2 1		¯	0	A				¯		Ã					¯		:
							¡				1	2 1			0		0 1		1			0
				0				¯		1Ã				¯							¯
								¯		225
								¯

Тому для ¸2 = 3 власним вектором буде, наприклад, вектор a2 = (1; ¡1; 1).

[f]

¡

6E 0 =0

1

¡1 1

¯

0 1Ã

1

¡1 1

¯

0

Ã

0 1

¡2

¯

0

:

3

1

5

¯

0

µ

4

8

0

¶ µ

1

0

1

0

¶

¡

¯

¢

¡5

1

3

¯

0

0

¯

¡

¯

@

¡

A

¡

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Тому для ¸3 = 6 власним ¯вектором буде, наприклад, вектор a3 =

(1; 2; 1).

Безпосередньо перевiряється, що [g]a1 = 6a1; [g]a2 = ¡6a2;

[g]a3 =

0. Тому для перетворення з матрицею [g] вектори a1, a2, a3 будуть власними з власними числами вiдповiдно 6, ¡6 та 0.

Нормуючи систему a1, a2, a3, одержимо ортонормовану базу, матри-

цею переходу до якої буде
		0	p				p					1
T = p				3				2					:
			0				p2					21
1		¢ @¡p					¡p					1A
	6
					3			2

Це дає нам ортогональне перетворення координат, яке приводить обидвi функцiї до канонiчного вигляду:

			1				p					p					1
		y1		= p				3					2					z1
		0y2					0 0					p2					21 0z21:
		@y3A		1			¢ @¡p					¡p					1A ¢ @z3A
					6
									3				2
При	цьому функцiї f та g набувають вiдповiдно вигляду																		¡	2y2	+3y2	+6y2
	2	2																		1	2	3
та 6y1		¡ 6y2.

Основнi задачi

10.Доведiть, що перетворення '(v) = [v; a] звичайного тривимiрного евклiдового простору (вектор a фiксований) є нормальним.

11.Чи можна в просторi многочленiв Rn[x], n ¸ 1, визначити скалярний добуток таким чином, щоб стало нормальним перетворення:

a)f(x) 7!f0(x); b) f(x) 7!f(x + a) (a фiксоване число)?

12.Доведiть, що нормальне перетворення:

a)буде самоспряженим тодi й лише тодi, коли всi його власнi значення є дiйсними;

b)буде унiтарним тодi й лише тодi, коли всi його власнi значення за модулем дорiвнюють 1.

226

13.Доведiть, що коли нормальне перетворення ' унiтарного простору комутує з перетворенням Ã, то кожне з перетворень ' та '¤ комутує з кожним з перетворень à та ä.

14.Перевiрте, що матриця A є нормальною, i знайдiть для неї власну

ортонормовану базу:	b) A =	0 1 1 ¡1 ¡11.
a) A = 1 i ;
µi 1¶		1		1	1	1
		1		1	¡1	1
		B¡1		1	1	1C
		B				C
15. Перевiрте, що матрицi		@¡				¡ A
0	1 1		@	0	1	¡1	A
@1 1 0A		та		1 ¡1		0
01 0 11			0¡1 0			1	1

нормальнi i комутують мiж собою. Побудуйте для них спiльну ортонормовану базу.

16.Зведiть квадратичну форму до головних осей:

a)3x22 + 3x23 + 4x1x2 + 4x1x3 ¡ 2x2x3;

b)x21 ¡ 2x1x2 ¡ 2x1x3 ¡ 2x2x3;

c)x21 + x22 ¡ 2x23 ¡ 2x24 + 2x1x2 ¡ 4x3x4;

d)x21 + 4x22 + x23 + 4x24 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x1x4 + 4x2x3 + 8x2x4 + 4x3x4;

e)4x21 + x22 + 5x23 ¡ 4x24 + x25 ¡ 4x1x2 + 12x4x5;

f)3x21 ¡ 3x22 + 4x23 ¡ 4x24 + 4x25 + x26 + 8x1x2 ¡ 6x3x4 + 4x5x6.

17.Зведiть квадратичну форму до головних осей i знайдiть матрицю переходу до вiдповiдної ортонормованої бази:

a)x21 + x22 + 5x23 ¡ 6x1x2 ¡ 2x1x3 + 2x2x3;

b)2x21 + 5x22 + 2x23 ¡ 4x1x2 ¡ 2x1x3 + 4x2x3;

c)6x21 + 5x22 + 7x23 ¡ 4x1x2 + 4x1x3;

d)17x21 + 14x22 + 14x23 ¡ 4x1x2 ¡ 4x1x3 ¡ 8x2x3;

e)2x1x4 + 6x2x3;

f)5x21+5x22+5x23+5x24¡10x1x2+2x1x3+6x1x4+6x2x3+2x2x4¡10x3x4.

18.Доведiть, що невироджена квадратична функцiя f зводиться до нормального вигляду ортогональним перетворенням тодi й лише тодi, коли її матриця [f] є ортогональною.

227

19.Доведiть, що кожну дiйсну симетричну матрицю A можна розкласти в добуток A = Q¡1DQ, де матриця Q ортогональна, а D дiагональна.

20.Розкладiть матрицю

A =	02	4	¡21
	3	2	0	A
	@0	¡2	5

в добуток A = Q¡1DQ, де матриця Q ортогональна, а D дiагональна.

21. Покажiть, що одна з квадратичних функцiй f та g є додатно визначеною, i знайдiть невироджене лiнiйне перетворення, яке приводить одну з цих функцiй до нормального, а iншу до канонiчного вигляду.

Знайдiть також цей канонiчний вигляд:
a) f = x2	+ 26x2		+ 10x	x ,		g = x2	+ 56x2	+ 16x x ;
1		2	1		2	1	2	1	2
x2	¡	15x2	+ 4x x		2 ¡	2x x + 6x x
b) f = 21		22	31			1 3	2 3,
g = x12+ 17x22 + 33x3 +24x1x2 ¡ 2x1x3 ¡ 14x2x3;
c) f = x21 + 3x22 + x33¡ x4 ¡2						2x1x2 ¡ 4x2x3 + 2x3x4,

g = x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 ¡ 2x1x2 ¡ 2x2x3 ¡ 2x3x4.

22. Знайдiть ортогональне лiнiйне перетворення, яке одночасно приводить до канонiчного вигляду кожну з даних квадратичних функцiй:

f = x21 + x22 + x33 + x24 + 2x1x2 + 4x1x3 + 2x1x4 + 2x2x3 + 4x2x4 + 2x3x4, g = 2x21 +2x22 +2x33 +2x24 ¡2x1x2 +2x1x3 ¡2x1x4 ¡2x2x3 +2x2x4 ¡2x3x4.

Додатковi задачi

23.Доведiть, що лiнiйне перетворення ' евклiдового (унiтарного) простору V буде нормальним тодi й лише тодi, коли для всiх x 2 V виконується рiвнiсть j'(x)j = j'¤(x)j.

24.Перетворення ' простору R3 має в стандартнiй базi цього простору

матрицю	00	0	1	1	:
	1	1	1
	@0	0	¡1A

Визначте в просторi R3 скалярний добуток таким чином, щоб перетворення ' стало нормальним.

228

25. У просторi Mn(R) скалярний добуток матриць X = (xij) та Y =

(yij) визначимо правилом: (X; Y ) = Pn xijyij. Доведiть, що коли

i;j=1

фiксованi матрицi A та B є нормальними, то кожне з перетворень X 7!AXB та X 7!AX + XB також є нормальним.

26.Нехай ' та Ã нормальнi перетворення. Доведiть, що з рiвностi 'Ã = O випливає рiвнiсть Ã' = O.

27.Нехай ' нормальне перетворення унiтарного простору, а k натуральне число. Знайдiть кiлькiсть таких нормальних перетворень Ã, що Ãk = '.

28.¤ Доведiть, що перетворення ' буде нормальним тодi й лише тодi, коли спряжене перетворення '¤ можна подати у виглядi многочлена вiд '.

29.Доведiть, що лiнiйне перетворення ' унiтарного простору буде нормальним тодi й лише тодi, коли його можна розкласти в добуток ' = ¹º таких самоспряженого перетворення ¹ й унiтарного перетворення º, якi комутують мiж собою.

30.Доведiть, що кожне лiнiйне перетворення ' унiтарного простору

однозначно зображується у виглядi ' = '1 + i'2, де '1 та '2 самоспряженi перетворення. При цьому перетворення ' буде нормальним тодi й лише тодi, коли перетворення '1 та '2 комутують мiж собою.

31.Доведiть, що кронекерiвський добуток A £ B нормальних матриць A та B (можливо, рiзного порядку) також є нормальною матрицею.

32.Зведiть квадратичну форму до головних осей:

a)	P	;	b)	P	x2	+	P	xixj;	c)	P	xixj.
	n¡1 xixi+1			n			n			n
	i=1			i=1	i		i<j			i<j

33¤. Нехай f i g двi квадратичнi функцiї з матрицями A = (aij)ni;j=1 та B = (bij)ni;j=1 вiдповiдно, причому функцiя f додатно визначена.

Доведiть, що невиродженим лiнiйним перетворенням їх можна звести

до вигляду f = x21 + ¢ ¢ ¢ + x2n, g = ¹1x21 + ¢ ¢ ¢ + ¹nx2n; де ¹1; : : : ; ¹n

коренi рiвняння det(B ¡ ¹A) = 0.

34.¤ Нехай квадратичнi функцiї g1 та g2 додатно визначенi. Доведiть, що пару функцiй f1; g1 можна перевести невиродженим лiнiйним перетворенням у пару функцiй f2; g2 тодi й лише тодi, коли рiвняння det([f1] ¡ ¹[g1]) = 0 та det([f2] ¡ ¹[g2]) = 0 мають однi й тi ж коренi.

229

35.	З’ясуйте, чи можна квадратичнi функцiї f = x2				+ 4x	x	2	¡	x2	та
	2		2	1	1				2
g = x1		+ 6x1x2	+ 5x2	одночасно звести до канонiчного вигляду неви-

родженим лiнiйним перетворенням.

Домашнє завдання

36. Визначимо в просторi Rn[x] скалярний добуток правилом:

(a0 + a1x + ¢ ¢ ¢ + anxn; b0 + b1x + ¢ ¢ ¢ + bnxn) = a0b0 + a1b1 + ¢ ¢ ¢ + anbn:

Доведiть, що перетворення f(x) 7!xnf(1=x) є нормальним.

37. Перевiрте, що матриця	2	¡1	2	1
0
	2	2	¡1	A
@¡1		2	2

є нормальною, i знайдiть для неї власну ортонормовану базу. 38. Зведiть до головних осей квадратичну функцiю

7x21 + 7x22 + 7x23 + 2x1x2 + 2x1x3 + 2x2x3:

39. Зведiть квадратичну функцiю до головних осей i знайдiть матрицю переходу до вiдповiдної ортонормованої бази:

a) x21 ¡ 5x22 + x23 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3;

b) 2x1x2 ¡ 6x1x3 ¡ 6x2x4 + 2x3x4.

40. Знайдiть канонiчний вигляд функцiї f, до якого її можна звести невиродженим лiнiйним перетворенням, яке зводить додатно визначену функцiю g до нормального вигляду:

a) f = 21x21 ¡ 18x22 + 6x33 + 4x1x2 + 28x1x3 + 6x2x3, g = 11x21 + 6x22 + 6x33 ¡ 12x1x2 + 12x1x3 ¡ 6x2x3; b) f = 14x21 ¡ 4x22 + 17x33 + 8x1x2 ¡ 40x1x3 ¡ 26x2x3,

g = 9x21 + 6x22 + 6x33 + 12x1x2 ¡ 10x1x3 ¡ 2x2x3.

41. Покажiть, що одна з квадратичних форм f та g є додатно визначеною, i знайдiть невироджене лiнiйне перетворення, яке приводить одну з цих форм до нормального, а iншу до канонiчного вигляду. Знайдiть також цей канонiчний вигляд:

a) f = ¡4x1x2, g = x21 ¡ 2x1x2 + 4x22;

b) f = x21 + 5x22 + 14x33 ¡ 4x1x2 ¡ 6x1x3 + 8x2x3, g = x21 + 14x22 + 4x33 ¡ 8x1x2 + 2x1x3 ¡ 4x2x3.

Лiтература. [1], с. 62–71; [3], с. 134–147, 157–163; [5], с. 420–421; [7], с. 196–199; [8], с. 131–135, 139–142; [9], с. 226–231; [10], с. 51–53; [12], с. 160–163, 363–366; [13], с. 298–302.

230