Вища математика1 / lin_alg_1k2s

Вiдповiдi та вказiвки

Заняття 1. 5. a) Неодноелементна абелева група з нульовим множенням на скаляри; b) множина R2 зi звичайним додаванням i таким множенням на скаляри: ®(x1; x2) = (®x1; x2). 6. b) dim B(M) = n, базу утворюють одноелементнi пiдмножини. c) (i) Так; (ii) нi. Вказ. Пiдмножини множини M зручно задавати характеристичними векторами.

7.Вказ. c), d) Двiчi продиференцiюйте лiнiйну комбiнацiю, яка дорiвнює 0, i застосуйте iндукцiю; e) використайте визначник Вандермонда.

8.a), b) Нi. Вказ. a) 1 = cos2 x + sin2 x, b) cos2 x ¡sin2 x = cos4 x ¡sin4 x.

9.a), b), e), f), g), h) Так; c), d) нi. 10. a), b), d), e), h) Так; f), g) нi; c) так, якщо jAj = 1, i нi, якщо jAj > 1. Вказ. f), g) розгляньте функцiї sin x+2x i sin x¡2x. 11. a), b) так; c) нi. 12. a), b) Усi многочлени степеня · 2; c), d) усi многочлени степеня · 2 з нульовою сумою коефiцiєнтiв.

13. a) x1 ¡ x2 = 0, x1 ¡ x3 = 0, x1 ¡ x4 = 0; b) x1 = 0, x2 = 0, x3 = 0, x4 = 0; c) 0 = 0; d) x1 ¡x2 ¡2x3 = 0; x1 ¡x2 + 2x4 = 0; 2x1 + x2 ¡x5 = 0.

14. Вказ. R(a; b) мiстить пiдпростiр R[x] усiх дiйсних многочленiв. 15. a), b) Нi; c) так. 16. a) 0, якщо, V не є одновимiрним простором над

полем Z2; b), c) (q	n	¡1)(q	n	¡q) ¢ ¢ ¢ (q	n		n	1	); d)	(qn¡1)(qn¡q)¢¢¢(qn¡qm¡1)
						¡q		¡			.
										(qm¡1)(qm¡q)¢¢¢(qm¡qm¡1)

Вказ. b) i-й вектор бази не може бути лiнiйною комбiнацiєю попереднiх, тому його можна вибрати qn ¡ qi¡1 способами; c) рядки матрицi утворюють базу простору V ; d) чисельник кiлькiсть способiв вибору в просторi V набору з m лiнiйно незалежних векторiв (див. вказ. до b)), знаменник кiлькiсть наборiв, що породжують один i той же пiдпростiр (тобто кiлькiсть баз m–вимiрного пiдпростору). 18. dim = 2. Базу утворюють функцiї sin x; cos x. 19. a) Так, 0; b) нi для n > 1; c) так, n ¡ 1. Вказ. c) У полi Z2 x2 = x. 20. Вказ. Якщо v = ®1e1 + ¢ ¢ ¢ + ®nen, то v = (®1 +¯)e1 +¢ ¢ ¢+(®n +¯)en +¯en+1. Сума коефiцiєнтiв останньої лiнiйної комбiнацiї дорiвнює 0, якщо ¯ = ¡n+11 (®1 + ¢ ¢ ¢ + ®n). Однозна-

чнiсть випливає з того, що з рiвностi v = ®1e1 + ¢ ¢ ¢ + ®nen + ®n+1en+1 випливає рiвнiсть v = (®1 ¡ ®n+1)e1 + ¢ ¢ ¢ + (®n ¡ ®n+1)en, коефiцiєнти якої визначенi однозначно. 21. Вказ. Запишiть вектор v у ви-

глядi v = ®1e1 + ¢ ¢ ¢ + ®nen + ®n+1en+1 i додайте до правої частини

k(e1 + ¢ ¢ ¢ + en + en+1), де k = ¡ min ®i. 23. ¸ 6= 1 для парних n i ¸ 6= ¡1 для непарних n. 26. x1 ¡ x3 ¡ x4 i= 0; x2 + x3 ¡ x4 = 0.

Заняття 2. 8. n ¡ 1: 9. Тiльки b). 10. Наприклад, a1; a2;

(1; 0; 0; 0); (0; 0; 0; 1) i a1; a2; (0; 1; 0; 0); (0; 0; 1; 0): 11. a) Наприклад, x5; x5 + x4; x5 + x3; x5 + x2; x5 + x; x5 + 1: b) Нi. 12. 3; наприклад,

231

f1; f2; f3. 13. (1; 1; 1). 14. . a) (2; ¡1; ¡1; 1; ¡1; 1), b) (1; ¡1; ¡1; 2; ¡1; 1).

15. gi(x) =	(x¡a0)(x¡a1)¢¢¢(x¡ai¡1)(x¡ai+1)¢¢¢(x¡an)	; i = 0; 1; : : : ; n: Вказ.
	(ai¡a0)(ai¡a1)¢¢¢(ai¡ai¡1)(ai¡ai+1)¢¢¢(ai¡an)

Використайте iнтерполяцiйний многочлен Лагранжа. 16. T(a)!(b) =
=	01		1	0	11; T			=	0¡1		1		0	0	1. 17.		3	11	2 .
		1	0	0	1				B	0	1		¡1	1			9	40	9
	B0 0 1				0C					1	¡	1 1		1C		@	8	37	8
	B					C			B					¡	C				A
	@	0	1	1	1	A	(b)!(a)		@	0	0		0	1	A	0¡ ¡ ¡ 1

18. a) Переставляться вiдповiднi два рядки; b) переставляться вiдповiднi два стовпчики; c) матриця переходу вiдобразиться симетрично вiдно-

сно свого центра. 20. Вказ. Зiставте

многочлену

f = (x

1

a)(b1xn¡1 +

n+k

b

xn¡2 +

+ b )

b

; b ; : : : ; b

n+k

¡

2

¢ ¢ ¢

набiр

1

n. 22. a)

¡

; b)

k .

n

2

n

k¡1

Вказ. a) Зведiть до розбиття числа

у суму

¡

¢

¡

¢

Зведiть до однорiдних многочленiв вiд k+1 змiнних i використайте

a). 23. a) 2n; b) ¡nk¢. 24. A£B>. 25. (pn¡1)(pn¡p)(pn¡p2) ¢ ¢ ¢ (pn¡pn¡1). Вказ. При фiксованiй базi першого простору iзоморфiзм однозначно за-

дається її образом, який є базою другого простору i може вибиратися довiльно. Далi використайте зад. 1.16. 26. Вказ. Перевiрте, що вiдобра-

' :

¹

операцiї додавання та множення на елементи

ження

v ! v зберiгає

n+3

при n > 1; c) так, n ¡ 1; d) нi; e) так,

з C: 27. a) Так, 1; b) так,

2

5

n

¡

1

додати x i 1. 29. Розмiрнiсть 3; база v

, v

, v

.

. 28. Наприклад,

£

¤

1

2

5

30. a) (1; 2; 3); b) (1; 0; ¡1; 0).

0

1,

T

= 1

0¡2

2

¡5 01.

31. T

= 00

¡2

1

0 ¡18 1 ¡10

B

¡1 1

¡1

2

B1

5 0

3 C

3

3

8

0C

B

¡

1

¡

C

B

¡

C

(f)!(g)

@2

0

4

1A

(g)!(f)

@

4 6

10 0

A

0

6

0

2

¡

¡

¡

¡

1

1

¡

1

1

=0

1,

¡

21.

32. T

3

1

2

1

T

=0

2

1

1

(a)

(b)

B

¡

¡

¡

C

(b)

i

(a)

j

B¡

¡

¡ C

@

A

@

2 \ 1

2 \ A3

!

B

1

¡1 1

¡1C

!

B

1

1

0

¡1C

1

2

2

1

2

1

2

3

Заняття 3.

7. В усiх випадках V + V

= V , V

V

= V

V =

V2 \ V4

= f0g, V1 \ V3 = V1 \ V4 = V3 \ V4

= пiдпростiр дiагональ-

них матриць. 8. a) Нi. b) Рiвнiсть правильна. Вказ. a) Вiзьмiть 3 рiзнi одновимiрнi пiдпростори з R2. b) Якщо u 2 U, то u = v + w, де v 2 V , w 2 W . Але тодi v 2 U \ V , w = u ¡ v 2 U i w 2 U \ W . Зворотне включення очевидне. 11. a) m = 3, k = 1; b) m = 3, k = 2.

12. a) V1 \ V2 = V2, база v1, v2; V1 + V2 = V1, база v1, v2, u1. b) База перетину v2 = 2u1 + u2 ¡ u3, бази пiдпросторiв u1, u2, v2 i v1, v2, база суми u1, u2, v1, v2. 14. Проекцiя кожного на V дорiвнює (1=n; : : : ; 1=n),

232

проекцiя (: : : ; 0; 1; 0 : : :) на U дорiвнює (: : : ; ¡1=n; (n ¡ 1)=n; ¡1=n; : : :).

15. Вказ. Якщо u+ u1 = w+ w1, то u¡w = w1 ¡u1 2 U + W . Навпаки, якщо u ¡ w = u2 + w2 2 U + W , то u ¡ u2 = w + w2. 16. Вказ. Нехай P i Q є множинами розв’язкiв СЛР S1 i S2 вiдповiдно. Тодi пiдпросто-

рами розв’язкiв вiдповiдних однорiдних СЛР S10

i S20 є U i W . P \ Q

S1

є множиною розв’язкiв СЛР ½S2 , а пiдпростором розв’язкiв вiдповiд-

ної однорiдної СЛР

S10

є U \ W . 17. a) (1; 0; 0; 0) + U, (0; 1; 0; 0) + U;

S20

½ n m

n

¡

m

1

n

¡

m k+1

¡1)

b) (1; 0; 0; 0) + U. 18.

(q ¡

¡1)(q

¡

¡1)¢¢¢(q

¡

, якщо k + m ¸ n;

(qk¡1)(qk¡1¡1)¢¢¢(q¡1)

0 в iншому випадку. Вказ. Об’єднання баз k–вимiрного i даного m– вимiрного пiдпросторiв має бути лiнiйно незалежним. 19. Вказ. Вклю-

чення (V1 \ V2) + (V2 \ V3) + (V3 \ V1) µ (V1 + V2) \ (V2 + V3) \ (V3 + V1)

очевидне. Перейдiть до факторпростору за (V1 \V2)+(V2 \V3)+(V3 \V1) i зведiть задачу до випадку, коли пiдпростори V1, V2, V3 мають попарнi нульовi перетини. 20. Вказ. Нехай V = U1 [ ¢ ¢ ¢ [ Uk, k > 1, i жодну з компонент Ui не можна викинути. Тодi iснують такi v, w,

що v 2 U1, v 62U2 [ ¢ ¢ ¢ [ Uk, w 62U1, w 2 U2 [ ¢ ¢ ¢ [ Uk. Позаяк

®v + w 62U1 для довiльного ® 2 P , то ®v + w 2 U2 [ ¢ ¢ ¢ [ Uk для довiльного ®. Поле P нескiнченне, тому знайдуться такi ®1 6= ®2, що

®1v + w та ®1v + w належать однiй i тiй же компонентi Uj, j > 1. Але

тодi (®1v + w) ¡ (®2v + w) = (®1 ¡ ®2)v 2 Uj ; звiдки v 2 U2 [ ¢ ¢ ¢ [ Uk, що суперечить вибору v. 21. Вказ. Розгляньте послiдовнiсть пiдпросто-

рiв U0 + W ½ U1 + W ½ ¢ ¢ ¢ ½ Un¡1 + W ½ Un + W i покажiть, що

Uk¡1 + W = Uk + W для деякого k. 22. 2k. 25. u0				+ U + W + L(w0 ¡u0).
L (1; 1; 1; 1; 1); (0; 2; 3; 1; ¡1) . 32. (¡1; ¡3; 1; 3).¡33. 21 (A+A>¢),					21 (A¡A>).
29. Нi. 30. m = 4,		k = 2. 31. V1 + V2 = L u1		; u2; u3; v1 ,	V1 \ V2 =
¡	Заняття 4.	9. a)	Так; ядро площина, перпендикулярна до
			¢

a, образ пряма, породжена b; b) так; ядро пряма, породжена a, образ площина, перпендикулярна до a. 10. Позначимо вiдповiдне перетворення через ': a) Так; Ker ' = 0, Im ' = Rn[x]; b) так; Ker ' = R0[x], Im ' = Rn¡1[x]; c) так; Ker ' = R0[x], Im ' = Rn¡1[x];

d), e), f) нi. 11.	a	¡b	. 12. a) Першi k стовпчикiв нульовi, ре-
	µb	a	¶

шта лiнiйно незалежнi; b) першi k рядкiв лiнiйно незалежнi, решта нульовi. 13. a) Переставляться вiдповiднi стовпчики; b) переставляться вiдповiднi рядки. 14. (2; 1; ¡3; ¡1; 1)+®(1; 0; ¡2; ¡4; ¡4)+¯(1; ¡2; 0; 0; 0),

233

	2	1	0	0	¡		1	0	0
						16.	@0	0	3A
®; ¯		R. 15. Образ R3, база			ядра (17; 5; 2; 9).		00	2	01.
17. a)		00	1	01. Вказ. b) Обидвi трiйки векторiв пов’язанi одним i
		1	0	0

@ A

тим же лiнiйним спiввiдношенням. 18. Вiдп. dim V1 + dim W1 = dim V . 19. Якщо a i b перпендикулярнi, то ядро площина, перпендикулярна до b, а образ пряма, натягнута на a. У противному разi ядро пряма, натягнута на a, а образ площина, перпендикуляр-

на до b. 20. b) rank 'A = n ¢ rank A; c) r1 + r2 + ¢ ¢ ¢ + rn, де rk ранг системи перших k стовпчикiв матрицi A. 21. x 7!xa, де чи-

сло	a 2 R фiксоване. 22. n + 1 ¡ k при k · n i 0 при k > n.
23.	Вказ. За теоремою Сильвестра: a) dim U = dim '(U) + dim(U \

Ker

')

dim '¡1(U) = dim U + dim('¡1(U)

\ Ker

')

. 24.

dim U

=

; b)

= dim W

dim U

U

1mn

dim W

,

dim U

2,

\

1 =

dim W

W

2.

25. a)

p

;

1

2

n

1

2

1

\n

b) (p

m

¡ 1)(p

m

¡ p) ¢ ¢ ¢ (p

m

1

); c)

(p¡1)(p

¡1)¢¢¢(p

¡1)

m(m 1)=2

;

¡ p

¡

(p¡1)(p2¡1)¢¢¢(pn¡m¡1)

¢ p

¡

d)

(pn¡1)(pn¡1¡1)¢¢¢(pn¡k+1¡1)(pm¡1)(pm¡1¡1)¢¢¢(pm¡k+1¡1)

¢ p

k(k

¡

1)=2

. 26. Го-

(p¡1)(p2¡1)¢¢¢(pk¡1)

мотетiї v 7!kv, де k фiксоване. Вказ. Дослiдiть, як змiнюється матриця лiнiйного перетворення, якщо до одного з векторiв бази додати iнший. 27. Вказ. Наприклад, (z1; z2) 7!(z1; z2). 29. Вказ. Нехай пiдпростiр U розмiрностi n + 1 мiстить лише оператори рангу · 1. Зафiксуйте ненульовий оператор ' 2 U i покажiть, що множини W1 = fà 2 U j Ker à ¶ Ker 'g i W2 = fà 2 U j Im à µ Im 'g є пiдпросторами з U розмiрностi · n кожен. Далi вiзьмiть Ã1 62W1, Ã2 62W2 i покажiть, що оператор Ã1 + Ã2 має ранг 2. 30. Пiдпростори тiльки у випадках b) та

																				nk		m(n			¡	l)								32. a) (1; 1; 1)
g). Розмiрностi вiдповiдно																					i					. 31. Тiльки c).									3	, ядро f0g.
база образу; (¡1; 0; 1), (¡1; 1; 0) база ядра. b) Образ R
33. a)					0		1		0		0		1	; b)		1	0			1	1	1		1	. 34.		0b			d	0	01. 35. База ядра
															3													0		0	a	c
							0		0		1									1	1	1						a		c	0	0
					@		0 1 0						A				@			1 1 1				A			B0 0				b dC
																											B						C
	(	¡		3;		¡	5; 0; 1)				,	(1; 3; 1; 0)							; база образу								@						A
		3			0¡									¡		1						3			7		12					0					1
		1			@		20 ¡5 15									A							3			6			9			1 1 1					A		'k( ) =
										¡																			'k¡1			@
36.								16		4					12			. 37.				¡			¡		¡		¶	. 38.		0			1	1		.
							24					5		18							µ											0			0	1
					Заняття 5.									9. Вказ. a) Для v 2 Ker																	маємо рiвностi								v

'('k¡1(v)) = '(0) = 0: b) Використовуючи а), покажiть, що з Ker 'k =

234

Ker 'k+1 випливає Ker 'k+1 = Ker 'k+2; i застосуйте iндукцiю. 11. Вказ.

Використайте

зад. 5. 10. 12. Нi. Вказ. Розгляньте

вiдображення

' :

i à : P

¡

¢

1 0

h

P

2

! P

3

3

! P

2

з матрицями

1 0 0

i

0 0

вiдповiд-

0 1 0

'

0 1

но.

13.

. 14.

Вказ. Права

нерiвнiсть випливає з

³

´

Ã)(e1); : : : ; ('+Ã)(en)i µ h'(e1); Ã(e1); : : : ; '(en); Ã(en)i. Для доведення лiвої застосуйте праву нерiвнiсть до кожної з пар '+Ã, ¡' та '+Ã, ¡Ã.

15. Вказ. a) Нехай a1, : : : ; ak база Im ' \ Ker Ã, a1, : : : ; ak, b1, : : : ; bm – її розширення до бази Im '. Тодi Ã(b1), : : : ; Ã(bm) база Im ('Ã).

b) Використайте a) i теорему Сильвестра. 16. b) Ker(" ¡ ') = Im ', Im(" ¡ ') = Ker '. 17. Вказ. Використайте зад. 5.7 i доведiть, що коли '2 = ', то '(v) = v для кожного v 2 Im'. 18. Вказ. Перша частина задачi випливає з зад. 5.17. a) Включення Im ¼1¼2 µ Im ¼1 \ Im ¼2 випливає з того, що ¼1¼2 = ¼2¼1, а протилежне включення з того, що обмеження оператора проектування ¼ на пiдпростiр Im ¼ є тотожним перетворенням. b) Включення Ker ¼1¼2 ¶ Ker ¼1 + Ker ¼2 випливає з

того, що ¼1¼2 = ¼2¼1. Нехай тепер v 2 Ker ¼1¼2. Тодi ¼1(v) 2 Ker ¼2. Крiм того, v ¡ ¼1(v) 2 Ker ¼1. Тому v 2 Ker ¼1 + Ker ¼2. 19. Вказ. Не-

хай V1 = fu j '(u) = ug, V2 =					1fu j '(u) = ¡1 ug. Тодi V1 \ V2 = f0g,
u+'(u) 2 V1, u¡'(u) 2 V2, u =					2 u+'(u) + 2			u¡'(u) . 20. Вказ. Не-
хай e1,	: : : ;	en¡1 база Ker	'	,	e	, : : : ; e	, e			її розширення до
					¡1	¢n¡1	2¡		n	¢
бази V . Якщо '(en) = ®1e1 + ¢ ¢ ¢ + ®nen, то '								= ®n'. 21. Вказ. Ско-

ристайтесь теоремою про гомоморфiзм. 22. Вказ. Якщо Im 'i = hvii,

i = 1; : : : ; k	, то Im	('	+	¢ ¢ ¢	+ '		)	µ hv1	; : : : ;	vki. 23. Вказ.	Порахуй-
		1				k					1

те праву та лiву частини рiвностi вiд степенiв x. 24. '					= " +		± +
						1!
	1	±2 + ¢ ¢ ¢ +	1	±n. Вказ. Скористайтеся розкладом f(x + 1)	у ряд Тейло-
	2!		n!

ра. 25. Вказ. Якщо Ker ' =6 Ker Ã, то можна вибрати лiнiйно незалежнi a 2 Ker ' r Ker à i b 2 Ker à r Ker '. Тодi Im ' = hbi, Im à = hai i Im (' + Ã) = ha; bi. 26. Вказ. Використайте зад. 5.38 i теорему Сильвестра. 27. Вказ. Оскiльки r(') = r('º) + dim(Im ' \ Ker º), то досить довести, що dim(Im ' \ Ker º) ¸ r(¹') ¡ r(¹'º). Але r(¹') = r(¹'º) + dim(Im ¹' \ Ker º). 28. Вказ. Помножте рiвнiсть ' + à = " спочатку злiва, а потiм справа, на à i використайте зад. 5.17. 30. Вказ. a) Вклю-

чення

k

Ker g(')

очевидне. Нехай тепер v 2 Ker g(').

i=1 Ker fi(')

ПозаякPмногочлени hiµ= g=fi, 1 · i · k, в сукупностi взаємно про-

стi, то iснують такi u1; : : : ; uk 2

P [x], що h1u1 + ¢ ¢ ¢ + hkuk = 1. Тодi

h

u

(')(

)

. Далi покажiть, що vi

f (')

v = v1 + ¢ ¢ ¢ + vk, де vi = ki

i

v

2 Ker i .

31. Вказ. a) Включення

i=1 Ker fi(') ¶ Ker d(') очевидне. Для дове-

включення запишiть d(x) у виглядi f u

+

¢ ¢ ¢

+f

u

=

дення зворотного

T

1

1

k

k

235

d, де u1; : : : ; uk 2 P [x]. Тодi					для довiльного v 2 ik=1 Ker fi(') буде
d(')( ) =	u (f	(')(	v	)) =		Застосуйте iндукцiю по k.
v	i 1 i				0. 32. Вказ.	T
33. dim AnnPr(') = dim Annl('2) = n(n ¡r(')). 34. Ker ¹ ¶ Ker ' i Im ¹ µ
Im Ã. 35. Вказ. Якщо (¼1+¼2)					= ¼1+¼2, то ¼1¼2+¼2¼1 = O. Домножив-

ши останню рiвнiсть злiва i справа на ¼1, отримаємо: ¼1¼2 +¼1¼2¼1 = O,

¼1¼2¼1 + ¼2¼1 = O. Звiдси ¼1¼2 ¡ ¼2¼1 = O. Отже, ¼1¼2 = ¼2¼1 = O. a) Включення Im (¼1 + ¼2) µ Im ¼1 + Im ¼2 очевидне. З ¼1¼2 = O випливає

Im ¼1 µ Ker ¼2. Оскiльки Ker ¼2 \ Im ¼2 = f0g, то Im ¼1 \ Im ¼2 = f0g.

Тому сума Im ¼							+ Im ¼					пряма. Нехай тепер v = ¼ (v											) + ¼2				(v2)		2
Im ¼						1					2	2	(v		)+(¼			¼	)(v	)+¼	1	1				2	(v
			Im ¼ . Тодi (¼					1	+¼			)(v) = ¼									¼	(v		)+¼				) =
2	1 ©			22							2	1	1				1	2	1	2	1	2				2	2
¼1	(v1) + ¼2(v2) = ¼1(v1) + ¼2(v2) = v, що дає зворотне включення.
b) З ¼1¼2				= ¼2¼1 = O випливає включення Ker (¼1 + ¼2) ¶ Ker ¼1 \
Ker ¼2. Нехай2					тепер v 2 Ker (¼1 + ¼2). З ¼1(v) + ¼2(v) = 0 отримує-
мо ¼		(v) = ¼			(v) = ¼					(		¼ (v)) =	¡	(¼		¼	)(v) = 0, звiдки v								2	Ker ¼1.
	1			1					1		¡ 2				2	1													k	;
Аналогiчно доводиться, що v 2 Ker ¼2. 36. Вказ. Якщо v																									2 Im '

тобто v = 'k(u); то v = 'k¡1('(u)) 2 Im 'k¡1: 37. ¡'. 38. Вказ.

Im('Ã) µ Im à i dim V			¸ dim '(V ), звiдки dim Ã(V ) ¸ dim('Ã)(V ).
39. a) [' + Ã]	=	¡24	138	; b) ['Ã]	(a)	=	¡148	¡1563 . 41. Вказ.
(e)	µ¡27		33 ¶				µ¡262	¡2767¶
Використайте зад.		5. 17.		b) ¸ ¡ ¹;
Заняття 6.		8. a) c¸;				c) ¸k; d) f(¸): 9. Кратнi ".

10. Кратнi ". Вказ. Якщо ' комутує з Ã, для якого Ker à = L(v), то v є власним вектором для '. Далi використайте зад. 6.9. 11. a) Мно-

гочлени нульового степеня; b) нема; c) f(x) = ce¸x, c 6= 0. 12.1						Вказ.
ÂA¡1 (¸) = det(A¡1	1¡ ¸E) = det(A¡1(E ¡ ¸A)) = det(¡¸A¡1(A ¡ ¸ E)) =
(¡¸)n(det A)¡1ÂA(	¸ ): 13. a) ¸2 ¡ (2 cos ®)¸ + 1; b) ¸n+1.	14.			Над		R :
	1	p		3	1		p	3
a) ?, b) 2, c) ?;	над C додатково: a) 1+2i; 1¡2i, b) 2	+i			; 2	¡i			,
			2				2

c)i; ¡i; 1+i; 1¡i. 15. a) ¸1 = ¸2 = 2, власнi вектори c(1; 1+i) (c 6= 0);

b)¸1 = ¸2 = ¸3 = 1, власнi вектори c(3; 1; 1) (c 6= 0); c) ¸1 = 3, власнi вектори c(1; 2; 2); ¸2 = ¸3 = ¡1, власнi вектори c(1; 2; 1) (c 6= 0);

d)¸1 = 1, власнi вектори c(1; 1; 1), ¸2 = 2, власнi вектори c(1; 0; 1), ¸3 = 3, власнi вектори c(1; 1; 0) (c 6= 0); e) ¸1 = ¸2 = ¸3 = ¸4 = 1, власнi вектори c1(1; 2; 0; 0) + c2(0; 1; 1; 2) (c1 i c2 не дорiвнюють 0 одночасно);

f)¸1 = ¸2 = 1, власнi вектори c1(1; 0; 1; 0)+c2(0; 0; 0; 1), ¸3 = ¸4 = 0, власнi вектори c1(0; 1; 0; 0)+c2(0; 0; 1; 0) (c1 i c2 не дорiвнюють 0 одночасно);

g)¸1 = ¸2 = 0, власнi вектори c1(2; ¡1; 0; 0) + c2(3; 0; 0; ¡1), ¸3 = ¸4 = 2, власнi вектори c1(1; ¡1; 0; 1) + c2(0; 0; 1; 0) (c1 i c2 не дорiвнюють 0 одно-

часно). 16. a) (¡1)n(¸ ¡ n)¸n¡1; ¸1 = n, власнi вектори c(1; 1; : : : ; 1) (c 6= 0), ¸2 = ¢ ¢ ¢ = ¸n = 0, власнi вектори (x1; : : : ; xn), де x1+¢ ¢ ¢+xn = 0;

236

b) (¡1)n(¸ ¡ a ¡ b(n ¡ 1))(¸ ¡ a + b)n¡1; ¸1 = a + b(n ¡ 1), власнi вектори

c(1; 1; : : : ; 1) (c =6 0), ¸2 = ¢ ¢ ¢ = ¸n = a ¡ b, власнi вектори (x1; : : : ; xn), де x1 +¢ ¢ ¢+xn = 0; c) (¡1)n¸n¡2(¸2 ¡a¸¡(b1c1 +b2c2 +¢ ¢ ¢+bn¡1cn¡1)).

Вказ. b) Матриця є многочленом вiд матрицi з a). 17. Вказ. Перетворення ' i f(') перестановочнi. Нехай ¸0 власне число перетворення f('). Тодi V ¸0 = fv 2 V j f(')(v) = ¸0vg iнварiантний пiдпростiр для f('). Перетворення 'jV (¸0) має якийсь власний вектор '(w) = ¸w, де ¸власне число перетворення '. Тодi, з одного боку, f(')(w) = f(¸)w, а з iншого f(')(w) = ¸0w. Отже, f(¸) = ¸0. 18. a) Не зводиться; b) дiагональний вигляд diag(1; 1; ¡1; ¡1); матриця переходу до нової бази

B	1	0	0		1	C
	1	0	0		1
B	0	1	¡1	¡0		C
0						1; c) не зводиться. 19. Вказ. Покажiть, що власний
@	0	1	(¸)		0	A
			1
пiдпростiр V'					iнварiантний вiдносно Ã. 20. (1; 1; : : : ; 1). 21. Власнi чи-
f("1)f("2) : : : f("n); де f(x) = (a1 ¡ ¸)¡+ a2x									¡+ a3x2		¢+ ¢ ¢ ¢ + anxn¡1;
сла 1; a; a2; : : : ; an						; власнi вектори 1, x+	b	, : : : ;	x+	b	n. 22. a) Â(¸) =
							a 1			a¡1

"1; "2; : : : ; "n всi значення кореня n–го степеня з одиницi, власними

числами (з урахуванням кратностi) будуть ¸k

= a1 + a2"k + a3"k2 +

¢ ¢ ¢

+ a

n

"n¡1;

а

вiдповiдними власними векторами c(1; "

k

; "2

; : : : ; "n¡1)

k

n(¸n

1)

"

k

k

(c 6= 0); b) Â(¸) = (¡1) n

1 ¡

, власному числу

k вiдповiдають власнi

c(1; "

; "2

; : : : ; "

¡ ) c = 0

Â(¸) = ( 1)n(¸n

+ a

¸n¡1 +

вектори

k

+

k

k

(

6

); c)

¡

n¡1

¸n¡2a

¸n¡2

¢

+ a1¸ + a0), власному числу ¸i вiдповiдають вла-

n¡1

n

1¢ ¢ n

2

; : : : ; ¸i2; ¸i; 1) (c 6= 0). Вказ. a) Для знаходжен-

снi вектори c(¸i

¡ ; ¸i

¡

ня Â(¸) помножте визначник det(A ¡ ¸E) на визначник Вандермонда

¯

: : : : : :

:

¢:¢ :¢

: : :

:

¯

23.

a

b

власнi чи-

¯

1

"1

"12

¢ ¢ ¢

"1n¡1

¯

1

"2

"22

"2n¡1

:

Â(¸) = ( 1)n a(¸+b)n¡b(¸+a)n

;

¯

¯

¡

¡

¯

1

"

"2

¡

"n

1

¯

¯

n

n

n

n¡

¯

¯

°"¢k¢ ¢°

¯

n

2k¼

2k¼

¯

; де

b¯

= °

; "k

= cos

+ i sin

; k

= 1; : : : ; n:

¯сла ¸k = a

1

¡°"k

a¯

n

n

24. Вказ. Власними числами матрицi є ¸1 (кратностi k1), : : : ; ¸m (кратностi km), кратнiсть власного числа ¸j дорiвнює дефекту матрицi A ¡ ¸jE: 25. Вказ. a) Якщо простiр n–вимiрний, то ця множина мiстить · n2 лiнiйно незалежних перетворень. Далi використати зад. 6.19 i iндукцiю за кiлькiстю лiнiйно незалежних перетворень. b) З a) або зад. 6.19 випливає, що коли ' та à перестановочнi лiнiйнi перетворення, то вони мають спiльний власний вектор v. Покажiть, що ' i à iндукують на факторпросторi V=L(v) лiнiйнi перетворення '0 i Ã0,

237

якi також перестановочнi, i застосуйте iндукцiю. 26. Вказ. Якщо ' комутує з Ã, то iз зад. 6.19 випливає, що ' та Ã мають спiльну власну

базу, в якiй ['] = diag(¸1; : : : ; ¸n); [Ã] = diag(¹1; : : : ; ¹n). Тодi iснування такого многочлена f, що f([']) = [Ã]; випливає з iснування iнтерполя-

цiйного многочлена. 28. a) ¸i¸j (1 · i; j · n); b) ¸i=¸j (1 · i; j · n). 29. Ненульовi симетричнi матрицi власнi вектори з власним числом 1, ненульовi кососиметричнi матрицi власнi вектори з власним числом ¡1: 30. Вказ. Використайте зад. 6.19. 31. a) ¸1 = ¸2 = ¸3 = ¡1, власнi вектори c(1; 1; ¡1) (c 6= 0); b) ¸1 = ¡1, власнi вектори c(3; 5; 6)

(c =6 0); ¸2 = ¸3 = 1, власнi вектори c1(2; 1; 0) + c2(1; 0; ¡1) (c1 i c2 не дорiвнюють 0 одночасно); c) ¸1 = ¸2 = ¸3 = ¸4 = 2, власнi вектори

c1(1; 1; ¡1; 0) + c2(1; 1; 0; 1) (c1 i c2 не дорiвнюють 0 одночасно). 32. ¸1 = a1b1+¢ ¢ ¢+anbn, власнi вектори c(a1; : : : ; an) (c 6= 0), ¸2 = ¢ ¢ ¢ = ¸n = 0,

								(x ; : : : ; x							) =			b		x		+	¢ ¢ ¢					+ b			x	= 0						Власнi
власнi вектори										1				n	6 0, де				1		1									n	n		. 33.								2
числа 1,			2, 3, 4, власнi вектори вiдповiдно c																					¢		1; c				¢	(x + 3); c					¢	(x + 3) ;
					3																																			n+1
c ¢ (x + 3)						(c 6= 0). 34. Дiагональний вигляд мiстить спочатку																																			2
чисел		+1							1	; матриця переходу до нової базиnмiстить																										ненульовi
				, решта ¡																																			£			¤
елементи лише на побiчнiй дiагоналi, з них першi																														1£	¤	елементiв це
																															2
¡															1	1	0										@			0	0	0		A
																															0	2					матриця
	1, решта +1. 35. a) Дiагональний вигляд																										0			0	2	0		1;
переходу до нової бази														@	1	0	2		A									0
														0			1		1; b) не зводиться нi над R, нi
															1 ¡3		3		0			0
																B	0											2	C
																			0			0
над C; c) дiагональний вигляд																B	0		2			0						0	C		матриця переходу
																0								¡					1;
									1			1	1		1	@	0		0			2						0	A
							B		0			0	1		¡1	C
до нової бази							B		1			0	0		¡	C
							0								¡1	1:
		Заняття @7.							0			1	0		1
										6. Нi. Вказ. AРозгляньте															матрицi							0 0					i			0 1 .
								AB				BA																				0 0								0 0
7. Вказ. Матрицi											i			мають однаковий слiд. 8. a)																		¡			¢				¡		¢
на, тому B = A; C = E; b) B =																0¡3					1		01; C =									00			¡1				3		1	;
																	4			¡1			1									1			0				¡1
																@¡1 0 0A																@0 2 ¡5A
																238

												¡3			7 ¡6 ¡17												00 0 1 0 0											01
													0		1		1			2								0		1			0		0		0	0
																											B0 0 0 0 0											0C
											B			2 4			¡3		¡9 C								B												C
c) B = E; C =											0		1 ¡2 2							5	1: 9. a)						B	0 0 0 1 0										0	;
											B										C																		C
											@¡						¡ ¡ A										B0 0 0 0 0											0C
																											B												C
		0		1		0		0			0		0														@												A
	00			0		1		0			0		01									0		1	0								1			0		0
	B0			0		0		0			0		1C
b)	B	0		0		0		0			0		0	C							@			0		A					@				¡				A
	B0			0		0		0			1		0C. 10. a) J(A) =								00				11, T =						0¡1					0		11;
	B0			0		0		0			0		0C
	B													C								0		0	0								2				1	0
	B													C
	@						0 1 0 A										0		1		4 0														0 1			0
b) J(A) = 00 0 11, T =																			1 ¡5 01; c) J(A) = 00 0																			11,
						@							A							¡													0@					0A
										0							@0 1 0 0 A													1					0	0
							0					0						¡1			6		1														0	0
T =					2 1 0							; d) J(A) =					00 0 1 01, T = 0¡1																1			0		01;
		@		1			0		0		A						B0 0 0 0C B													0			0				1	1C
						¡											B							C			B								¡				C
		0¡						0			1		0	0			@	0 0 0 1						A			@			0			¡	1 1				0	A
				2			1		1		1											2
e) J(A) =							00 0 0 01,										T =			0 2 0 2 11; f) J(A) =
																					¡			0	1			1
							B0 0 0 0C													B	2 1					1 0C
		0		1		0	B								C					B					¡				C
							@	0			0		0	1	A					@	1			1	1			0	A
	00			0		1	0		01						00		5		0	0	41									00			0		1		0	01
=							0		0							0	3		6	0	2											0	1		0		0	0
	B0 0 0 0							1C, T =							B0 0 0 1 0C; g) J(A) =															B0 0 0 0								0C,
	B									C					B							C								B									C
	B0 0 0 0							0C							B1 0 0 0 0C															B0 0 0 0								0C
	B	0		0		0	0		0	C					B	0	6		0	0	0	C								B		0	0		0		0	0	C
	@	¡3 ¡2 1						1A				1		1	@					0 1 A				0	01					@			2		1		0		A
	0		1			0	0		0			0							00		0	1								01								01
T =B			1 1 0							1 0												0		0	0						1		3		3		1	0
														C; h) J(A)=B0 0 0 0 1C, T =B1 0 0 0																								0C;
	B							¡						C					B						C					B									C
	B 1 1 0							0					1C						B0 0 0 0 0C B1 1 1 1 1C
	B		1			1	0		0			0		C					B	0	0	0		1	0					B	1		1		0		0	0	C
																									C
	@											¡ A							@						A					@			¡			¡			A

239

				00 0 1 0 0 01											02 ¡3 0 0 0 01
					0 1 0 0 0 0											1 ¡2 1 0 0 0
				B0 0 0 0 1 0C											B0 0 0 1 1 1C
				B							C				B						C
i) J(A) =				B0 0 0 0 0 1C											B0 0 0 2 1 0C							; j) J(A) =
				B							C				B						C
				B0 0 0 0 0 0C											B0 0 0 1 0 0C
				B							C				B						C
		0	1	@			0	0	01		A		0		@	0	0	0	11		A
	00		0	1								0			0
				0			0	0	0				¡	2	0	1	0	0	0
=	B0		0	0			0 1		0C, T =			B			0	0	3	1	0C. 11. Вказ. Пере-
													0
	B		0	0						C		B	2		2	0	0	0		C
	B0					0 0 0C						B							0C
	B	0	0	0			0	0	0	C		B	2		0	0	0	0	0	C
	B0		0	0		0 0 0C						B	0		0	0	1	0	0C
	B									C		B								C
	@			a),						A		@								A		1	(k);
творення							b), c) рiвносильнi						переходу до матриць Ei(k)AEi¡

Eij(k)AEij¡1(k); PijAPij¡1 вiдповiдно. 13. Вказ. Якщо розглядати матрицю як матрицю лiнiйного перетворення, то центральна симетрiя вiдносно центра вiдповiдає запису векторiв бази у зворотному порядку.

14. Нi. Вказ. Розгляньте матрицi	01 00	i	00 01		. 15. Вказ. Власнi числа
нiльпотентної матрицi дорiвнюють¡	нулю. 16. Вказ. Якщо Ã = '					jU	, º =
	¢	¡		¢

'jW , то Â'(¸) = ÂÃ(¸)¢Âº(¸). 17. Вказ. Якщо X¡1AX = A; Y ¡1AY = A; то (XY )¡1A(XY ) = Y ¡1(X¡1AX)Y = Y ¡1AY = A; (X¡1)¡1AX¡1 =

(X¡1)¡1X¡1AXX¡1 = A: 18. Вказ. Якщо A1(T + iS) = (T + iS)A2; то

B

T

C S = T B

2 ¡

SC ; B

T

¡

T B

2

= C S

¡

SC

:

Тодi

D

1

T ¡S

=

1

¡

1

:

2 1

1

2

S T

T ¡S

D

19. Вказ. Обчислiть добуток

(" ')(" + ' + '2

+ + 'k¡1)

S

T

2

¡

¡

¢

,

¢ ¢ ¢

де k клас нiльпотентностi '. 20. Вказ. Покажiть, що iснує таке k

,

¡

¢

k

k

k

та Ker A

k

2 N

що V

= Im A

© Ker A

. Тодi Im A

будуть iнварiантни-

ми пiдпросторами, причому обмеження AjIm Ak

буде невиродженим, а

обмеження AjKer Ak нiльпотентним. Якщо V = U © W iнший розклад, для якого перетворення AjU невироджене, а AjW нiльпотентне, то покажiть, що U µ Im Ak; W µ Ker Ak: 21. Вказ. Якщо B не нiльпотентна, то її ЖНФ мiстить клiтинку Jk(¸) з ¸ 6= 0: Нехай T матриця переходу до такої бази, в якiй у ЖНФ матрицi B клiтинка Jk(¸) є першою. Покажiть, що сума перших k дiагональних елементiв матрицi T ¡1AT ¢ T ¡1BT ¡ T ¡1BT ¢ T ¡1AT дорiвнює 0, у той час,

	0	1	0
як для матрицi T ¡1BT вона дорiвнює k¸. 22. a) J(A) =	@0	0	0A
	00	0	01;

240