Вища математика1 / lin_alg_1k2s

4 > 3 = dim R3, то V \W 6= f0g. Але V 6= W i перетин iнварiантних пiдпросторiв знову є iнварiантним, то лишається лише одна можливiсть: V \ W = U. Але це також неможливе, бо U 6µW .

Таким чином, маємо лише два нетривiальнi iнварiантнi пiдпростори U та W .

Задача 6. Знайдiть усi iнварiантнi пiдпростори лiнiйного перетворення ' простору V; якщо в базi e1; : : : ; en його матриця є жордановою клiтинкою Jn(¸).

Розв’язання. Нехай U iнварiантний пiдпростiр. Позначимо через k найбiльший номер ненульової координати векторiв з U i виберемо в U такий вектор u = ®1e1 +¢ ¢ ¢+®kek, для якого ®k =6 0. Пiдпростiр U буде iнварiантним i вiдносно перетворення Ã = ' ¡ ¸", яке на вектори бази дiє наступним чином:

e	e	e	e2	e1	0:
	n 7!n¡1	7!n¡2	7! ¢ ¢ ¢ 7!7!		7!

Але тодi пiдпростору U належатимуть i вектори

Ã(u) = ®2e1 + ¢ ¢ ¢ + ®kek¡1; Ã2(u) = ®3e1 + ¢ ¢ ¢ + ®kek¡2;

: : : : : : : : : : : : : :

Ãk¡2(u) = ®k¡1e1 + ®ke2; Ãk¡1(u) = ®ke1:

Оскiльки ®k =6 0, то рухаючись цими рiвностями знизу догори, одержимо, що кожен з векторiв e1, e2, : : : ; ek¡1, ek належить пiдпростору U, а тому U ¶ he1; e2; : : : ; eki. Але з вибору числа k випливає, що

Uµ he1; e2; : : : ; eki. Отже, U = he1; e2; : : : ; eki.

Зiншого боку, очевидно, що кожен пiдпростiр вигляду he1; e2; : : : ; eki

буде iнварiантним вiдносно '. Таким чином, ' має рiвно n + 1 iнварiантних пiдпросторiв, а саме: f0g, he1i, he1; e2i, : : : ; he1; e2; : : : ; eni.

Задача 7. Знайдiть усi пiдпростори; iнварiантнi вiдносно лiнiйного

перетворення; заданого матрицею A :							¡61	; c) A =	0¡3	¡5	01	:
a) A =	00	1	¡61	; b) A =	00	3
	3	1	2		3	1	2		4	6	0
	@0	0	2 A		@0	0	1 A		@¡3	¡6	1A
					131

Розв’язання. a) Спочатку знайдемо жорданову нормальну форму матрицi A та жорданову базу. Матриця трикутна, тому її власними числами є ¸1 = 3; ¸2 = 1; ¸3 = 2; а жордановою базою будуть вiдповiднi власнi вектори v1; v2; v3; що є фундаментальними системами розв’язкiв лiнiйних систем з матрицями

0 0		1	¯	0		0 0 1				¯	0		0 0		0	¯	0
0	1	2	¯	0		2	1	2		¯	0		1	1	2	¯	0
@		¡	¯	0	A	@				¯	0	A	@			¯	A
0 0 ¡2 ¡6			¯		1;	0 0 0 ¡6				¯		1 та	0 0 ¡1 ¡6			¯	0 1
			¯							¯						¯
вiдповiдно. Тому ¯маємо:										¯	¯					¯
						JA = 0 0 1 0						0 1;
							0	0		2	¯	0
							3	0		0	¯	0
							@				¯	A
											¯
v1 = (1; 0; 0); v2 = (1;					2; 0); v3 = (4;					6; 1)¯ : Тодi пiдпросторами, iнварi-
					¡				¡

антними вiдносно A будуть: одновимiрнi hv1i; hv2i та hv3i; двовимiрнi

hv1i © hv2i; hv1i © hv3i; hv2i © hv3i; а також тривiальнi f0g та C3:

b)Власними числами матрицi A є ¸1 = ¸2 = 3; ¸3 = 1: Знаходи-

мо її жорданову нормальну форму та жорданову базу. Власнi вектори шукаємо як фундаментальнi системи розв’язкiв лiнiйних систем з ма-

трицями	0	0		1		2		¯	0	1		0	2	1	2	¯	0	1
		0		0	¡6				0		та		0	2	¡6		0
		0		0			2	¯	0				0	0	0	¯	0
	@							¯		A		@				¯		A
					¡		=	¯								¯				= (1; 0; 0);
		¸		= ¸				¯3								¯			v1
вiдповiдно. Для			1			2		¯	отримуємо власний вектор¯												а

для ¸3 = 1 власний вектор v3 = (¡5; 6; 2): Тодi жорданова форма JA та дiаграма жорданової бази будуть такими:

	0	1	1		v3 0 :
	3		0		v2 7!v1 7!0 ;
JA =	0	3	0	;
	@0	0	1A		7!

Вектор v2 знаходимо як один з розв’язкiв неоднорiдної системи лiнiйних рiвнянь з матрицею

0 0	0	6	¯	0 1 Ã	0	0	1	¯	0	:
0	0	¡2	¯	0	µ					¶
0	1	2	¯	1	0	1	0	¯	1
@		¡	¯	A				¯
			¯					¯
			¯	132

Можна взяти, наприклад, v2 = (1; 1; 0):

Залишилося зауважити, що оскiльки кожному власному числу вiдповiдає лише одна клiтина в жордановiй нормальнiй формi, то маємо скiнченну кiлькiсть iнварiантних пiдпросторiв: одновимiрнi hv1i та

hv3i; двовимiрнi hv1i © hv3i та hv1i © hv2i i тривiальнi f0g та C3: c) Знаходимо, як i ранiше, жорданову нормальну форму та жорда-

нову базу матрицi A. Власнi числа ¸1; ¸2; ¸3 це коренi характеристи-

чного многочлена

¯

¯

4 ¡ ¸

6

0

ÂA(¸) =

¡3

¡5 ¡ ¸

0

=

¡

(¸ + 2)(¸

¡

1)2

:

¯

3

6

1 ¸

¯

¯

¯

¯

¡

¡

¡

¯

¸

=

¡

2; ¸

¯= ¸

= 1:

¯

Тому

1

2

¯

3

Власнi вектори,¯

що їм вiдповiдають, шукає-

мо як фундаментальнi системи розв’язкiв вiдповiдних лiнiйних систем.

(A + 2E

j

0) = 0

3

3 0

¯

0

1 Ã

0

1 1 0

:

¡3

¡6

3

¯

0

µ

¯

¶

6

6

0

¯

0

1

¡

0

¯

0

@ ¡

¡

¯

A

¯

¯

¯

Для ¸1 = ¡2 в якостi власного вектора¯

можна взяти v1 = (¡1; 1; 1):

(A

¡

E

j

0) = 0 33

66 0

¯

0 1 Ã 1 2 0 0 :

¡3

¡6

0

¯

0

@ ¡

0

¯

0

A

¡

¯

¢

¡

¯

¯

¸

= ¸

= 1

¯

Тому для

2

3

буде два лiнiйно¯

незалежних власних вектори.

Можна взяти, наприклад, v2 = (0; 0; 1); v3 = (¡2; 1; 0): Тодi

JA

= 0

0

1

0

1

:

@

¡2

0

0

A

00 1

Одновимiрнi iнварiантнi пiдпростори породжуються власними векторами. У нашому випадку це hv1i для ¸1 та довiльний пiдпростiр вигляду h®v2 + ¯v3i; де ®; ¯ одночасно не дорiвнюють нулю, для ¸2 = ¸3. Але кожен пiдпростiр вигляду h®¯v2 + ¯v3i при ¯ =6 0 збiгається з пiдпростором h®v2 + v3i. Тому рiзними одновимiрними iнварiантними пiдпросторами будуть: hv1i; hv2i; h®v2 + v3i; ® 2 C (їх, на вiдмiну вiд попереднiх двох випадкiв, уже буде нескiнченна кiлькiсть). Двовимiрних iнварiантних пiдпросторiв також буде нескiнченно багато:

hv2i©hv3i; hv1i©hv2i; hv1i©h®v2 +v3i; ® 2 C: I маємо ще два тривiальнi пiдпростори f0g та C3:

133

Задача 8. Нехай ' лiнiйне перетворення векторного простору V над полем C. Доведiть, що кожний iнварiантний пiдпростiр перетворення ' є прямою сумою його перетинiв з усiма кореневими пiдпросторами перетворення '.

Розв’язання. За твердженням 8 простiр V розкладається в пряму суму V = V'(¸1) © ¢ ¢ ¢ © V'(¸k) кореневих пiдпросторiв. Нехай U µ V iнварiантний пiдпростiр, U(¸i) := U \ V'(¸i) (i = 1; : : : ; k). Потрiбно

довести, що U = U(¸1) © ¢ ¢ ¢ © U(¸k).

Справдi, довiльний вектор u 2 U можна записати у виглядi u =

v1 + ¢ ¢ ¢ + vk, де vi 2 Vi (i = 1; : : : ; k). Нехай мiнiмальний многочлен перетворення ' має вигляд m'(¸) = (¸ ¡ ¸1)m1 ¢ ¢ ¢ (¸ ¡ ¸k)mk . Тодi для довiльного i (1 · i · k) (' ¡ ¸i")mi (vi) = 0.

Покажемо, що vk 2 U. Для цього розглянемо многочлен g(¸) = (¸ ¡ ¸1)m1 ¢ ¢ ¢ (¸¡¸k¡1)mk¡1 . Тодi для довiльного i (1 · i · k¡1) g(')(vi) = 0. З iншого боку, з взаємної простоти g(¸) i (¸ ¡¸k)mk випливає iснування

таких многочленiв p(¸) i q(¸), що

p(¸)g(¸) + q(¸)(¸ ¡ ¸k)mk = 1:

Iнварiантний пiдпростiр залишається iнварiантним i вiдносно кожного многочлена вiд '. Тому

vk = "(vk) = ¡p(')g(') + q(')(' ¡ ¸k")mk ¢(vk) = p(')g(')(vk) =

= p(')¡0+¢ ¢ ¢+0+g(')(vk)¢ = p(')¡g(')(v1)+¢ ¢ ¢+g(')(vk¡1)+g(')(vk)¢ = = p(')¡g(')(v1 + ¢ ¢ ¢ + vk)¢ = p(')g(')(u) 2 U:

Аналогiчно доводиться, що v1; : : : ; vk¡1 2 U: Разом з vi 2 V (¸i) це

дає, що vi 2 U(¸i). Отже, U µ U(¸1) © ¢ ¢ ¢ © U(¸k). Зворотне включення очевидне.

Задача 9. Доведiть; що для лiнiйного перетворення ' векторного простору V над полем C кiлькiсть iнварiантних пiдпросторiв буде скiнченною тодi й лише тодi; коли мiнiмальний i характеристичний многочлени перетворення ' збiгаються.

Розв’язання. Мiнiмальний i характеристичний многочлени збiгаються тодi й лише тодi, коли ЖНФ перетворення ' для кожного власного числа ¸ мiстить лише одну клiтинку з цим числом, тобто коли для

134

кожного власного числа ¸ з точнiстю до пропорцiйностi є лише один власний вектор.

Необхiднiсть. Нехай v i w власнi вектори з власним числом ¸. Тодi будь–яка їх ненульова лiнiйна комбiнацiя ®v + ¯w знову буде власним вектором з цим же власним числом. Тому якщо для якогось власного числа ¸ iснує два лiнiйно незалежнi власнi вектори v i w, то кожний одновимiрний пiдпростiр з L(v; w) буде iнварiантним, i перетворення ' матиме нескiнченно багато iнварiантних пiдпросторiв.

Достатнiсть. Нехай

Â'(¸) = m'(¸) = (¸ ¡ ¸1)m1 ¢ ¢ ¢ (¸ ¡ ¸k)mk

i V'(¸1) ©¢ ¢ ¢©V'(¸k) розклад простору в пряму суму кореневих пiдпросторiв. Згiдно зад. 10.8 кожен iнварiантний пiдпростiр U має вигляд

U = U(¸1)©¢ ¢ ¢©U(¸k), де U(¸i) = U \V'(¸i) iнварiантний пiдпростiр (i = 1; : : : ; k). Оскiльки dim V (¸i) = mi, то з розв’язання зад. 10.6 ви-

пливає, що доданок U(¸i) можна вибрати рiвно mi + 1 способами. Тому маємо рiвно (m1 + 1) ¢ ¢ ¢ (mk + 1) iнварiантних пiдпросторiв. Зокрема, їх буде скiнченна кiлькiсть.

Основнi задачi

10.Нехай ' лiнiйне перетворення простору V . Доведiть, що кожен пiдпростiр, який мiститься в ядрi Ker ', буде iнварiантним вiдносно '.

11.Доведiть, що характеристичний многочлен обмеження 'jU лiнiйного перетворення ' на iнварiантний пiдпростiр U є дiльником характеристичного многочлена перетворення '.

12.Доведiть, що мiнiмальний многочлен обмеження 'jU лiнiйного перетворення ' на iнварiантний пiдпростiр U є дiльником мiнiмального многочлена перетворення '.

13.Доведiть, що коли в просторi V iснує база з власних векторiв перетворення ' : V ! V , то й кожен iнварiантний пiдпростiр має базу з власних векторiв.

14.a) Нехай ' лiнiйне перетворення простору V над полем C. Доведiть, що кожний ненульовий iнварiантний пiдпростiр мiстить принаймнi один власний вектор. b) Чи залишиться це твердження правильним для лiнiйного перетворення простору над полем R?

135

15.Доведiть, що коли серед iнварiантних пiдпросторiв лiнiйного перетворення ' векторного простору V над полем C одновимiрним буде тiльки один, то V не розкладається в пряму суму ненульових iнварiантних пiдпросторiв.

16.Доведiть, що для кожного лiнiйного перетворення ' n–вимiрного векторного простору V над полем C iснує такий ланцюг

f0g = U0 ½ U1 ½ U2 ½ ¢ ¢ ¢ ½ Un¡1 ½ Un = V

'–iнварiантних пiдпросторiв, що dim Uk = k для всiх k.

17.Знайдiть усi лiнiйнi перетворення, для яких кожен пiдпростiр є iнварiантним.

18.Доведiть, що коли лiнiйне перетворення n–вимiрного векторного простору має n рiзних власних чисел, то воно має рiвно 2n рiзних iнварiантних пiдпросторiв.

19.Знайдiть власнi числа i кореневi пiдпростори лiнiйного перетворе-

ння, заданого матрицею:				05	¡7	31; c) 0	1	2	11.
a)	0¡4 ¡2		1 1; b)
	1	1	0	4	¡5	2	1	0	0
	@ 4	1	¡2A @6		¡9	4A @¡1 0			1A

20. Знайдiть усi пiдпростори простору R3, iнварiантнi вiдносно пере-
	4	¡2	2
творення з матрицею	@¡1	1	1A
	0 2	0	21.

a	b	X простору
21. Доведiть, що для лiнiйного перетворення X 7! c	d
µ		¶

M2(R) пiдпростори U1 = hE11; E21i та U2 = hE12; E22i є iнварiантними.

22. Доведiть, що коли лiнiйнi перетворення ' i à комутують, то ядро кожного з них є iнварiантним пiдпростором для обох перетворень.

Додатковi задачi

23. Нехай для лiнiйного перетворення ' характеристичний многочлен збiгається з мiнiмальним i дорiвнює (¸¡¸1)n1 ¢ ¢ ¢ (¸¡¸m)nm . Позначимо через ak кiлькiсть iнварiантних пiдпросторiв розмiрностi k. Знайдiть многочлен f(x) = 1 + a1x + a2x2 + ¢ ¢ ¢ .

136

24.Нехай мiнiмальний многочлен m'(¸) перетворення ' є незвiдним многочленом степеня k. Доведiть, що для кожного ненульового вектора v вектори v, '(v), : : : ; 'k¡1(v) утворюють базу iнварiантного пiдпростору, який не мiстить iнших нетривiальних iнварiантних пiдпросторiв.

25.Нехай V скiнченновимiрний векторний простiр над полем P . Доведiть, що коли характеристичний многочлен перетворення ' : V ! V є незвiдним над P , то ' не має нетривiальних iнварiантних пiдпросторiв.

26.Нехай V n–вимiрний векторний простiр над полем P . Доведiть,

що коли многочлен f = xn ¡ a1xn¡1 ¡ ¢ ¢ ¢ ¡ an¡1x ¡ an є незвiдним над P , то перетворення ' : V ! V з матрицею

0	a2	0	1	: : :	0	1
	a1	1	0	: : :	0
B a: : : :		0: :0: :: ::: :			1:	C
B	n¡1					C
B	a	0	0	: : :	0	C
B	n					C
@						A

не має нетривiальних iнварiантних пiдпросторiв.

27. Нехай V n–вимiрний векторний простiр, 1 · k < n фiксоване натуральне число. Знайдiть усi лiнiйнi перетворення простору V , для яких кожен пiдпростiр розмiрностi k є iнварiантним.

28.¤¤ Доведiть, що кожна дiйсна квадратна матриця зводиться до квазiтрикутної матрицi, в якої на дiагоналi стоять клiтинки порядку 1 або 2.

29.¤ Доведiть, що кожне лiнiйне перетворення n–вимiрного дiйсного простору має: a) iнварiантний пiдпростiр розмiрностi 1 або 2; b) iнварiантний пiдпростiр розмiрностi n ¡ 1 або n ¡ 2.

30.¤ Нехай пiдпростори U i W простору V є iнварiантними вiдносно

перетворення ' : V ! V . Доведiть, що Â'jU+W (¸) ¢Â'jU\W (¸) = Â'jU (¸) ¢

Â'jW (¸).

31.¤ Нехай ¸1, : : : ; ¸n виписанi в певному порядку коренi характеристичного многочлена перетворення ' : V ! V n–вимiрного комплексного векторного простору. Доведiть, що iснує така база простору V , в якiй матриця ['] перетворення ' буде верхньою трикутною, причому на головнiй дiагоналi стоятимуть числа ¸1, : : : ; ¸n саме в такому порядку.

137

32.¤ Нехай лiнiйнi перетворення ' i à комплексного векторного простору V задовольняють рiвнiсть '2 = Ã2 = ". Доведiть, що ' i à мають спiльний iнварiантний пiдпростiр розмiрностi 1 або 2.

33. Доведiть, що: a) для кожного лiнiйного перетворення ' n–вимiрного

простору	V	iснує таке натуральне	число k, що V = Im 'k			©	Ker 'k	;
				k
b) завжди можна взяти k · n; c) Im '					є '–iнварiантним пiдпростоk-
ром i обмеження ' jIm 'k є невиродженим перетворенням;						d) Ker '

є '–iнварiантним пiдпростором i обмеження ' jKer 'k є нiльпотентним перетворенням.

34.Лiнiйне перетворення ' називається одноклiтинним, якщо його ЖНФ є клiтинкою Жордана. Доведiть, що коли два одноклiтиннi перетворення комутують, то їх iнварiантнi пiдпростори збiгаються.

35.Нехай V векторний простiр скрiзь визначених i нескiнченну кiлькiсть разiв диференцiйовних дiйсних функцiй, а перетворення ' : V ! V визначається правилом f(x) ! f0(x). Знайдiть усi власнi вектори та кореневi пiдпростори перетворення '.

36.¤ Нехай A 2 Mm(C) i B 2 Mn(C) такi матрицi, що для довiльних власних чисел ¸i матрицi A i ¹j матрицi B виконується нерiвнiсть ¸i + ¹j =6 0. Доведiть, що для кожної матрицi C 2 Mm£n(C) матричне рiвняння AX + XB = C має єдиний розв’язок.

37.¤ Нехай комплексний векторний простiр V розпадається в пряму суму V = U © W пiдпросторiв,¯ ¯ iнварiантних вiдносно перетворення ', причому обмеження '¯U i '¯W не мають спiльних власних чисел. Доведiть, що U i W будуть iнварiантними вiдносно кожного перетворення Ã, яке комутує з '.

Домашнє завдання

38.Доведiть, що образ i прообраз iнварiантного пiдпростору також є iнварiантними пiдпросторами.

39.Доведiть, що перетворення ' i ' ¡k" мають однi й тi ж iнварiантнi пiдпростори.

40.Доведiть, що кожне лiнiйне перетворення n–вимiрного комплексного простору має iнварiантний пiдпростiр розмiрностi n ¡ 1.

138

41. Знайдiть власнi числа i кореневi пiдпростори лiнiйного перетворення, заданого матрицею A:

	2	6	15				0	¡2			3	2
a) A =	1 1		¡	5	1	; b) A =	01 1			¡1 ¡11.
	0	2	¡6				0	0			2	0	C
	1				A		B1		1		0	1
	@		¡				B	¡					C
							@						A

42. Знайдiть усi пiдпростори, iнварiантнi вiдносно лiнiйного перетворе-

ння, заданого матрицею A:					00	2	31	; c) A =	00	1	11	:
a) A =	0 2	0	21	; b) A =
	4	¡2	2		1	2	3		1	1	1
	@¡1 1		1A		@0	0	3A		@0	0	2A

43. Знайдiть усi пiдпростори простору R3, iнварiантнi вiдносно обох

	5	¡1	¡1	A @		¡6	2	3
перетворень з матрицями	@¡1	¡1	5			3	6	2A
	0¡1	5	¡11		та 0	2	¡3	61.

44.Нехай V простiр усiх дiйсних функцiй.

a)Доведiть, що перетворення 'a : V ! V , f(x) 7!f(x ¡ a), є лiнiйним, а пiдпростiр hsin x; cos xi є 'a–iнварiантним.

b) Нехай Ã = 'a jW обмеження перетворення 'a на пiдпростiр W = hsin x; cos xi. Знайдiть матрицю перетворення Ã в базi sin x; cos x.

45. Нехай ' лiнiйне перетворення векторного простору V над полем C. Доведiть, що V розкладається в пряму суму iнварiантних пiдпросторiв, кожен з яких мiстить рiвно одну iнварiантну пряму.

Лiтература. [1], с. 198–201.

Заняття 11. Лiнiйнi функцiї. Спряжений простiр

Необхiднi поняття. Якщо V векторний простiр над полем P , то лiнiйнi вiдображення ' : V ! P називають лiнiйними функцiоналами

(або лiнiйними функцiями, або лiнiйними формами, або ковекторами) на просторi V .

Простiр V ¤ усiх лiнiйних функцiй на V називається простором, спряженим (або двоїстим, або дуальним) до V .

139

Нехай e1; : : : ; en фiксована база простору V . Лiнiйнi функцiї '1,

: : : ; 'n, визначенi рiвностями 'i(x) = xi, називаються координатними функцiями вiдносно бази e1; : : : ; en. База простору V ¤ з координатних функцiй називається спряженою (або двоїстою, або дуальною) до бази e1; : : : ; en.

Необхiднi твердження. 1. Якщо e1; : : : ; en база простору V , то лiнiйну функцiю ' : V ! P можна подати у виглядi

'(x) = a1x1	+	¢ ¢ ¢	+ anxn = (a1; : : : ; an)	0x...1	1	; де ak = '(ek) ;
				BxnC
				@	A

який називається зображенням функцiї ' у базi e1; : : : ; en.

2.Простори V i V ¤ мають однакову розмiрнiсть. Зокрема, вони iзоморфнi.

3.Координатнi функцiї вiдносно бази e1; : : : ; en утворюють базу спряженого простору V ¤.

4.Теорема про канонiчний iзоморфiзм мiж V i V ¤¤. Якщо кожному вектору v зi скiнченновимiрного простору V зiставити лiнiйну

	f		: '	'(	)					V ¤
функцiю		v		7! v		на спряженому просторi					, то вiдображення
f							V		V ¤¤
v 7!v є iзоморфiзмом простору								на простiр		.

Приклади розв’язання типових задач

Задача 1. З’ясуйте, чи буде лiнiйною визначена на звичайному тривимiрному просторi V функцiя a) ' : v 7!(v; v); b) ' : v 7!([a; v]; b) (ненульовi вектори a i b фiксованi); i в разi; якщо буде; знайдiть її ядро.

Розв’язання. a) Якщо вектор v ненульовий, то '(v) = (v; v) 6= 0. Але тодi

'(2v) = (2v; 2v) = 4(v; v) 6= 2'(v) = 2(v; v):

Отже, функцiя ' не лiнiйна.

b) Використовуючи властивостi векторного й скалярного добуткiв, маємо:

'(cv) = ([a; cv]; b) = (c[a; v]; b) = c([a; v]; b) = c'(v); '(v + u) = ([a; v + u]; b) = ([a; v] + [a; u]; b) =

= ([a; v]; b) + ([a; u]; b) = '(v) + '(u):

140