Вища математика1 / lin_alg_1k2s

a) Безпосередньо обчислюємо:

f(x; y) = (x1 + y1)2 + (x2 + y2)2 + (x3 + y3)2¡

¡(x12 + x22 + x32) ¡ (y12 + y22 + y32) = 2x1y1 + 2x2y2 + 2x3y3 :

Отримали бiлiнiйну форму. Тому функцiя f бiлiнiйна.

b) Оскiльки

[x; y] =

¯xi1 xj2 xk3

¯

= (x2y3

¡

x3y2)i + (x3y1

¡

x1y3)j + (x1y2

¡

x2y1)k ;

¯y

1

y

2

y

3

¯

¯

¯

то

¯

¯

¯

¯

¯

¯

f(x; y) = x2y3 ¡ x3y2 + x3y1 ¡ x1y3 + x1y2 ¡ x2y1 :

Отже, знову отримали бiлiнiйну форму, i тому функцiя f є бiлiнiйною.
c)	f(x; y) =	0x21	(y1 y2	y3) =	0x2y1	x2y2	x2y31	:
		x1			x1y1	x1y2	x1y3
		@x3A ¢			@x3y1	x3y2	x3y3A

Таким чином, значеннями функцiї f є матрицi порядку 3, а не елементи поля R. Тому функцiя f не є бiлiнiйною.

Задача 2. Нехай в деякiй базi e1; : : : ; en простору V бiлiнiйна функцiя ' : V £ V ! P має матрицю F; а лiнiйнi перетворення A; B : V ! V матрицi A i B вiдповiдно. Доведiть; що функцiя Ã(x; y) = '(A(x); B(y)) є бiлiнiйною; i знайдiть її матрицю в цiй же базi.

Розв’язання. Використовуючи лiнiйнiсть перетворення A i бiлiнiйнiсть функцiї ' перевiримо лiнiйнiсть функцiї Ã за першим аргументом:

Ã(x1 + x2; y) = '(A(x1 + x2); B(y)) = '(A(x1) + A(x2); B(y)) = = '(A(x1); B(y)) + '(A(x2); B(y)) = Ã(x1; y) + Ã(x2; y);

Ã(cx; y) = '(A(cx); B(y)) = '(cA(x); B(y)) = c'(A(x); B(y)) = cÃ(x; y):

Лiнiйнiсть Ã за другим аргументом перевiряється аналогiчно. Позначимо матрицю функцiї Ã через P . Тодi Ã(x; y) = [x ]> ¢ P ¢ [y ].

З iншого боку,

Ã(x; y) = '(A(x); B(y)) = [A(x)]> ¢ F ¢ [B(y)] = = [A ¢ x ]> ¢ F ¢ [B ¢ y ] = [x ]> ¢ A>F B ¢ [y ]:

Таким чином, для всiх векторiв x i y має виконуватися рiвнiсть

[x ]> ¢ P ¢ [y ] = [x ]> ¢ A>F B ¢ [y ]. Тому P = A>F B. 151

Задача 3. Нехай бiлiнiйна функцiя ' на просторi V є невиродженою. Доведiть; що для кожного ненульового вектора u iснує такий вектор v; що '(u; v) =6 0.

Розв’язання. Оскiльки вектор u ненульовий, то його можна доповнити до бази u, e2, : : : ; en простору V . Позаяк функцiя ' невироджена, то

матриця	0 '(e2; u) '(e2; e22)				: : : '(e2; en)	1
	B	'(u; u)	'(u; e )		: : : '(u; en)	C
		': (: : ;: ): :	':(: :; :	): :	::: :: :':( : :; : ):
	@					A
	B	en u	en e2		en en	C

функцiї ' у цiй базi не може мати нульових рядкiв. Тому серед чисел '(u; u), '(u; e2), : : : ; '(u; en) є принаймнi одне ненульове.

Задача 4. Знайдiть матрицю бiлiнiйної функцiї в новiй базi; якщо

1		1	1		1	2	3
					@7	8	9A	в старiй базi та матриця S =
вiдомi її матриця A =					04	5	61
@¡	1	0	A	переходу до нової бази.
0			11

01 1

Розв’язання. Використовуючи правило змiни матрицi бiлiнiйної фун-

кцiї при переходi до нової бази (твердження 3), отримуємо:												1:
A0 = S> A S =	01	0	11 04	5	61 0¡1		0	11	=0¡2	20	30
	1	¡1	0 1	2	3	1	1	1	0 ¡6 ¡9
¢ ¢	@1	1	1A¢@7	8	9A¢@ 0		1	1A @¡3		30	45 A
Задача 5. Зведiть симетричну бiлiнiйну форму
x1y1 + x1y2 + x2y1 + 2x2y2 + 2x2y3 + 2x3y2 + 5x3y3												(39)

до дiагонального вигляду методом Якобi та знайдiть формули переходу до нових координат.

Розв’язання. Нехай e1; e2; e3 база, в якiй бiлiнiйна форма має вигляд (39). Тодi в цiй базi матриця форми буде такою:

01	2	21	:
1	1	0
@0	2	5A
	152

Обчислюємо її головнi мiнори:

¢1 = 1;

¢2

=

¯

1 2

= 1;

¢3

=

¯1 2

2¯

= 1:

¯

¯0

2

5¯

¯

1

1

¯

¯

1

1

0

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

¯

Отже, дана форма зводиться до вигляду

¯

¯

¢1 ¢ u1v1 +

¢2

¢ u2v2 +

¢3

¢ u3v3

= u1v1 + u2v2 + u3v3 :

¢1

¢2

За методом Якобi ортогональна база f1, f2, f3, в якiй форма має дiагональний вигляд, шукається у виглядi:

f1 = e1; f2 = ®12e1 + e2; f3 = ®13e1 + ®23e2 + e3:

Коефiцiєнт ®12 шукаємо з умови ортогональностi вектора f2 до вектора e1:

0 = '(e1; f2) = '(e1; ®12e1 + e2) = ®12'(e1; e1) + '(e1; e2) = ®12 ¢ 1 + 1:

Звiдси знаходимо: ®12 = ¡1.

Коефiцiєнти ®13 та ®23 шукаємо з умови ортогональностi вектора f3 до векторiв e1 та e2:

0= '(e1; f3) = '(e1; ®13e1 + ®23e2 + e3) =

=®13'(e1; e1) + ®23'(e1; e2) + '(e1; e3) = ®13 + ®23;

0= '(e2; f3) = '(e2; ®13e1 + ®23e2 + e3) =

=®13'(e2; e1) + ®23'(e2; e2) + '(e2; e3) = ®13 + 2®23 + 2:

Зотриманої системи

®13 + ®23 = 0; ®13 + 2®23 = ¡2

знаходимо: ®13 = 2, ®23 = ¡2.

Таким чином,
f1 = e1; f2 = ¡e1 + e2;			f3 = 2e1 ¡ 2e2 + e3;
i матриця переходу до нової бази має вигляд
T =	00	1	¡21		:
	1	¡1	2	A
	@0	0	1
		153

З рiвностi	0x2	1	= T	0u2	1
	x1			u1
	@x3A			¢ @u3A

тепер знаходимо формули переходу до нових координат: x1 = u1 ¡ u2 + 2u3; x2 = u2 ¡ 2u3; x3 = u3:

Аналогiчно виражаються yi через vi.

Задача 6. Зведiть кососиметричну бiлiнiйну форму

x1y2 ¡ x2y1 + 2(x1y3 ¡ x3y1) ¡ x1y4 + x4y1 ¡ 3(x2y4 ¡ x4y2)

до дiагонального вигляду i знайдiть формули переходу до нових координат.

Розв’язання. Групуємо спочатку члени зi змiнними x1 i y1:

'(x; y) = x1(y2 + 2y3 ¡ y4) ¡ y1(x2 + 2x3 ¡ x4) ¡ 3(x2y4 ¡ x4y2):

Пiсля невиродженої лiнiйної замiни змiнних

x10 = x1; x20 = x2 + 2x3 ¡ x4; x30 = x3; x40

= x4

i аналогiчної замiни yi на yi0 отримуємо (враховуючи, що x2 = x20

¡2x30 ¡

x40 ):

'( ;

y

) = x0 y0

x0 y0

3(x0

2x0

x0 )y0

+ 3x0 (y0

¡

2y0

¡

y0

) =

x

1 2 ¡

2 1 ¡

2 ¡

3 ¡

4 4

4 2

3

4

= x01y20 ¡ x02y10 ¡ 3x02y40 + 3x04y20 + 6x03y40 ¡ 6x04y30 :

Оскiльки змiннi x2 i y2 входять не тiльки в два першi доданки, то групуємо члени з цими змiнними:

'(x; y) = (x01 + 3x04)y20 ¡ x02(y10 + yx04) + 6x03y40 ¡ 6x04y30 :

Пiсля невиродженої лiнiйної замiни змiнних

x001 = x01 + 3x04; x002 = x02; x003 = x03; x004 = x04

i аналогiчної замiни yi0 на yi00 отримуємо:

'(x; y) = x001 y200 ¡ x002 y100 + 6x003 y400 ¡ 6x004 y300:

154

Це вже майже канонiчний вигляд, лишилося тiльки “пiдправити” коефiцiєнти при двох останнiх доданках. Це легко робиться замiною

u1 = x001 ; u2 = x002 ; u3 = 6x003 ; u4 = x004

(i аналогiчною замiною yi00 на vi), пiсля чого отримуємо остаточний канонiчний вигляд:

'(x; y) = u1v2 ¡ u2v1 + u3v4 ¡ u4v3:

Формули переходу до нових координат знаходяться послiдовним виконанням замiн:

u1 = x001 = x01 + 3x04 = x1 + 3x4; u2 = x002 = x02 = x2 + 2x3 ¡ x4; u3 = 6x003 = 6x03 = 6x3; u4 = x004 = x04 = x4:

Аналогiчно виражаються vi через yi.

Задача 7. Доведiть; що дiйсна й уявна частини ермiтової функцiї ' на n–вимiрному векторному просторi V над полем C є вiдповiдно симетричною й кососиметричною функцiями на V; якщо V розглядати як 2n–вимiрний дiйсний простiр.

Розв’язання. Нехай 'Re i 'Im вiдповiдно дiйсна й уявна частини функцiї '. Тодi '(u; v) = 'Re(u; v) + i'Im(u; v). Використовуючи ермiтововiсть функцiї ', можемо записати:

'Re(v; u) + i'Im(v; u) = '(v; u) = '(u; v) =

='Re(u; v) + i'Im(u; v) = 'Re(u; v) ¡ i'Im(u; v):

Зрiвностi двох комплексних чисел отримуємо:

'Re(v; u) = 'Re(u; v); 'Im(v; u) = ¡'Im(u; v);

що й треба було довести.
Задача 8. У базi e1 = (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3 = (0; 0; 1)									простору R3
						4	1	3
задано бiлiнiйну функцiю з матрицею F =						03	3	61 i пiдпростiр
U =	(1;		1; 0); (	2; 3; 1)		2	5	9
		¡			праве ортогональне доповне-
h			¡	i. Знайдiть лiве i		@		A

ння пiдпростору U вiдносно цiєї функцiї.

155

Розв’язання. Позначимо u1 = (1; ¡1; 0), u2 = (¡2; 3; 1). Вектор v = (x1; x2; x3) буде належати лiвому ортогональному доповненню Ul? пiдпростору U тодi й лише тодi, коли вiн буде ортогональний до кожного з векторiв u1 i u2, тобто коли будуть виконуватися рiвностi

		[v ]> ¢ F ¢ [u1] = 0; [v ]> ¢ F ¢ [u2] = 0:
Переходячи до координат, одержуємо систему				03		61 0	3 1
(x1; x2; x3)	03	3	61 0¡11 = 0; (x1; x2; x3)		3			= 0;
	4	1	3 1	4	1	3	¡2
	¢@2	5	9A¢@ 0 A	¢@2	5	9A¢@ 1 A

або				3x1 ¡ 3x3 = 0;		¡2x1 + 9x2 + 20x3 = 0:
Розв’язуючи				цю	систему,	знаходимо, що її	фундаментальна
система		розв’язкiв			складається з одного вектора		(1; ¡2; 1), а тому
U?	= (1;	¡	2; 1)
l	h			i.

Аналогiчно вектор v = (x1; x2; x3) буде належати правому ортогональному доповненню Ur? тодi й лише тодi, коли кожен з векторiв u1 та u2 буде ортогональний до v. Це дає систему

(1; 1; 0)	03	3	61 0x21	= 0;	( 2; 3; 1)	03	3	61 0x21	= 0;
	4	1	3 x1			4	1	3 x1
¡	¢ @2	5	9A ¢ @x3A		¡	¢ @2	5	9A ¢ @x3A

або

x1 ¡ 2x2 ¡ 3x3 = 0; 3x1 + 12x2 + 21x3 = 0:

Фундаментальна система розв’язкiв цiєї системи складається з вектора

(1; 5; ¡3), а тому Ur? = h(1; 5; ¡3)i.

Основнi задачi

9. З’ясуйте, якi з наступних функцiй будуть бiлiнiйними функцiями на

просторi Mn(R):

a) '(A; B) = tr (AB); b) '(A; B) = tr (AB ¡ BA); c) '(A; B) = AB;

d)'(A; B) = tr (A + B); e) '(A; B) = tr (A ¢ B>).

Уразi позитивної вiдповiдi з’ясуйте, чи буде ця бiлiнiйна функцiя симетричною, i знайдiть її матрицю в базi з матричних одиниць Eij.

156

10. Бiлiнiйна функцiя f на просторi R3 задана своєю матрицею A =

@	1	¡1	1	¡		¡
	0	4	5A		1; 2;		4).
0¡2		¡1	31. Обчислiть f(x; y), якщо x = (1; 0; 3), y = (

11. Знайдiть розмiрнiсть простору a) симетричних, b) кососиметричних бiлiнiйних функцiй вiд n змiнних.

12. Доведiть, що для довiльної бiлiнiйної функцiї ' на просторi V множина fv 2 V j '(v; v) = 0g буде пiдпростором.

13. Не виконуючи обчислень, з’ясуйте, чи еквiвалентнi бiлiнiйнi функцiї:

a) '1(x; y) = 2x1y2 ¡ 3x1y3 + x2y3 ¡ 2x2y1 ¡ x3y2 + 3x3y1, '2(x; y) = x1y2 + 2x2y2 ¡ x2y1 + 3x1y3 ¡ 3x3y1;

b) '1(x; y) = x1y1 + ix1y2,

'2(x; y) = 2x1y1 + (1 + i)x1y2 + (1 ¡ i)x2y1 ¡ ix2y2;

c) '1(x; y) = x1y1 + 2x1y2 + 3x1y3 + 4x2y1 + 5x2y2 + 6x2y3 + 7x3y1+

	+8x3y2 + 10x3y3, '2(x; y) = 2x1y1 ¡ x1y3 + x2y2 ¡ x3y1 + 5x3y3.
14.	Зведiть симетричну бiлiнiйну форму до дiагонального вигляду ме-
тодом Якобi i знайдiть формули переходу до нових координат:
	a) 2x1y1 ¡ x1y2 + x1y3 ¡ x2y1 + x3y1 + 3x3y3;
	b) x1y1 ¡ x1y2 ¡ x2y1 + x1y3 + x3y1 + 2x2y3 + 2x3y2 + x2y2 + x3y3.
15.	Методом Якобi з’ясуйте, чи будуть еквiвалентними над полем R
		1	2	3		1	3	0
бiлiнiйнi функцiї з матрицями		@3	¡1	3 A	та	@0	1	5A
		02	0	¡11		03	1	11.

16. Зведiть кососиметричну бiлiнiйну форму до дiагонального вигляду i знайдiть формули переходу до нових координат:

a)x1y2 ¡ x2y1 ¡ x1y3 + x3y1 + 2(x2y3 ¡ x3y2);

b)2(x1y2 ¡ x2y1) + x1y3 ¡ x3y1 + 3(x2y3 ¡ x3y2);

c)x1y2 ¡ x2y1 + 2(x1y3 ¡ x3y1) + 4(x2y4 ¡ x4y2).

17. У базi e1					= (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3		= (0; 0; 1) простору R3 за-
							6	¡8	5
дано бiлiнiйну функцiю з матрицею F =							05	¡5	31 i пiдпростiр
U =		(2; 0;		3); (3; 1;		5)	1	¡3	2
	h		¡		¡	i. Знайдiть лiве i	@		A

нення пiдпростору U вiдносно цiєї функцiї. 157

18. Нехай у певнiй базi e1; : : : ; en простору V бiлiнiйна функцiя ' : V £ V ! P має матрицю F , а лiнiйне перетворення A : V ! Vматрицю A. Доведiть, що кожна з функцiй Ãl(u; v) = '(A(u); v),

Ãr(u; v) = '(u; A(v)) i Ã(u; v) = '(A(u); A(v)) є бiлiнiйною i знайдiть у цiй же базi матрицi цих функцiй.

19.	У базi e1		= (1; 0; 0); e2 = (0; 1; 0); e3						= (0; 0; 1) простору R3 задано
				1	1			1	¡1	0
							1@0		4	5 A
бiлiнiйну форму ' з матрицею F =							02		0	¡21 i лiнiйне перетворе-
ння	A	з матрицею A =		@¡	¡		2	A
				0¡3	4			1. Знайдiть у цiй же базi матрицi
				1	¡2	¡3

бiлiнiйних форм Ãr(x; y) = '(x; A(y)) i Ãl(x; y) = '(A(x); y).

20. Нехай '1 i '2 двi невиродженi бiлiнiйнi форми на просторi V . Доведiть, що iснує таке невироджене лiнiйне перетворення Ã : V ! V , що '2(x; y) = '1(Ã(x); y).

21. Доведiть, що додатно визначена симетрична бiлiнiйна функцiя буде невиродженою на кожному пiдпросторi.

Додатковi задачi

22.Наведiть приклад симетричної бiлiнiйної функцiї та пiдпросторiв U та W , для яких рiвнiсть (U \ W )? = U? + W ? не виконується.

23.З’ясуйте, чи будуть еквiвалентними над полем Q бiлiнiйнi функцiї iз зад. 12.15.

24.Доведiть, що бiлiнiйна функцiя '(A; B) = tr (AB) на просторi Mn(R) є невиродженою.

25.Доведiть, що бiлiнiйну функцiю '(u; v) можна подати у виглядi

добутку '(u; v) = l1(u) ¢ l2(v) двох лiнiйних функцiй l1(u) та l2(v) тодi й лише тодi, коли ' має ранг 1.

26.¤ Доведiть, що для кожної несиметричної бiлiнiйної функцiї рангу 1 iснує база, в якiй вона зображується у виглядi x1y2.

27. Доведiть, що ненульова косиметрична бiлiнiйна функцiя не може розкладатися в добуток двох лiнiйних функцiй.

158

28. Нехай ' додатно визначена ермiтова функцiя на комплексному просторi V , A : V ! V лiнiйне перетворення.

a) Доведiть, що коли для кожного вектора v 2 V '(A(v); v) = 0, то перетворення A нульове.

b) Чи залишиться це твердження правильним для симетричних бiлiнiйних функцiй на дiйсному просторi?

29.¤ Нехай '(x; y) = Paijxiyj та Ã(x; y) = Pbijxiyj невiд’ємно (додатно) визначенi симетричнi функцiї. Доведiть, що бiлiнiйна функцiя

¹(x; y) = Paijbijxiyj також є невiд’ємно (додатно) визначеною.

30. Нехай ' невироджена кососиметрична бiлiнiйна функцiя на n– вимiрному просторi. Доведiть, що для кожної кососиметричної матрицi A порядку n знайдеться така система векторiв v1, : : : ; vn, що A збiгається з матрицею Грама G = ('(vi; vj)) цiєї системи векторiв.

31¤. Доведiть, що коли для довiльних векторiв u та v з рiвностi '(u; v) = 0 випливає рiвнiсть '(v; u) = 0, то бiлiнiйна функцiя ' є симетричною або кососиметричною.

32. Доведiть, що ермiтова функцiя '(x,y) вiдновлюється за своєю квадратичною функцiєю f(x) = '(x,x).

33.¤ Пiдпростiр U µ V називається iзотропним вiдносно бiлiнiйної функцiї ', якщо '(u; v) = 0 для всiх v; u 2 U. Нехай ' кососиметрична, а V ? її ядро. Доведiть, що розмiрнiсть максимального iзотропного

пiдпростору U дорiвнює dim U = dim V + dim V ? .

2

Домашнє завдання

34. З’ясуйте, якi з наступних функцiй будуть бiлiнiйними функцiями на C як векторному просторi над R: a) f(z; u) = Re (zu); b) f(z; u) = Re (zu); c) f(z; u) = jzuj; d) f(z; u) = Im (zu). У разi позитивної вiдповiдi з’ясуйте, чи буде ця бiлiнiйна функцiя симетричною, i знайдiть її матрицю в базi 1; i.

35. З’ясуйте, при яких елементарних перетвореннях бази простору матриця бiлiнiйної функцiї змiнюється за тим же правилом, що й матриця лiнiйного перетворення.

159

36. Бiлiнiйна функцiя f на просторi C3 задана своєю матрицею A =

@	1	+ i	0
		0	A
0¡1i+ i			2 ¡ i1. Обчислiть f(x; y), якщо x = (1 + i; 1 ¡ i; 1),
2 + i	3 ¡ i		¡1
y = ( 2 + i; i; 3 + 2i).
¡		¡

37. Знайдiть матрицю бiлiнiйної функцiї в новiй базi, якщо вiдомi її ма-

	0	2	1										0		1	0	¡1
триця A =	0¡2	2	01	в старiй базi та матриця T =											2	1	1 1
	¡1	0	3											¡1		¡1	¡3
переходу до@нової		бази.											@				A
			A
38. У базi e1 = (1; 0; 0); e2					= (0; 1; 0); e3					= (0; 0; 1) простору R3 задано
			1			4		3	0	1	2
									@5	6	0A
бiлiнiйну форму ' з матрицею F =									04	0 31 i лiнiйне перетворення
A з матрицею A =			0 4		¡
					¡1 ¡21. Знайдiть у цiй же базi матрицi
			¡3		2			1
бiлiнiйних форм Ãr(x@; y) = '(x;								))		Ã ( ; ) = '( (					); )
							A	(yA та		l x y		A		x	y .

39.Знайдiть канонiчний вигляд симетричної бiлiнiйної функцiї

2x1y2 + 3x1y3 + 2x2y1 ¡ x2y3 + 3x3y1 ¡ x3y2 + x3y3:

40.Зведiть кососиметричну бiлiнiйну форму до дiагонального вигляду i знайдiть формули переходу до нових координат:

a)x1y2 ¡ x2y1 ¡ x1y4 + x4y1 + 2(x2y3 ¡ x3y2) + 3(x3y4 ¡ x4y3);

b)x1y2 ¡ x2y1 + x1y4 ¡ x4y1 ¡ x2y3 + x3y2 + x3y4 ¡ x4y3.

41.У просторi R3 знайдiть ортогональне доповнення до пiдпростору U = h(1; 2; 3); (4; 5; 6)i вiдносно бiлiнiйної функцiї з матрицею

F =	0¡1		0	¡31		:
	@	1	¡1	2	A
		2	¡3	7

Лiтература. [1], с. 81–83; [2], с. 191–195; [3], с. 57–61; [4], с. 187–191; [5], с. 309–321; [7], с. 200–204, 205–210, 212–215; [8], с. 41–44; [13], с. 207– 211.

160