36

aкор = 2ω1 VB2B1 = 2 26,2 0,846 = 44,3 м/ с2 .

Отрезок, изображающий ускорение Кориолиса на плане ускорений, равен

b1k = aкор = 44,3 =88,6 мм. µa 0,5

Направлен вектор aкор перпендикулярно относительной скорости VB2B1 в

сторону, определенную путем поворота вектора VB2B1 на 90° в направлении вращения кулачка.

Рис. 23 План ускорений кулачкового механизма с коромыслом

Абсолютное нормальное ускорение точки B2 коромысла равно:

anB2C = ω22 = 4,82 0,08 =1,84 м/ с2 .

Абсолютное тангенциальное ускорение точки B2 коромысла равно:

aτB2C = ε2 =377,5 0,08 =30,2 м/ с2 .

Отрезки, изображающие эти ускорения на плане ускорений, соответственно, равны:

πn

an

1,84

=3,68 мм;

2

=

B2C

=

0,5

µa

n

2

b

2

=

aB2Cτ

=

30,2

= 60,4 мм.

µa

0,5

37

Вектор аBn 2C направлен параллельно B1C1 к центру вращения точки C1 , вектор аBτ 2C направлен перпендикулярно B1C в сторону скорости VB2 , так как

коромысло в данный момент вращается ускоренно.

Изобразим найденные ускорения на плане ускорений соответствующими отрезками. Для определения составляющих относительных ускорений аBn 2B1 и

aBτ 2B1 , которые направлены параллельно, соответственно, нормали и касательной к центровому профилю в точке B1 . Из точки b2 плана ускорений опустим

перпендикуляр на направление ускорения Кориолиса (направление нормали n − n ). Точка пересечения перпендикуляра с данным направлением (точка n0 )

определит отрезки, изображающие ускорения аBn 2B1 и aBτ 2B1 (отрезки kn0 и n0b2 ). Эти отрезки равны:

kn0 = 2,5 мм; n0b2 = 45,5 мм.

Тогда величины ускорений составят:

anB2B1 = kn0 µa = 2,5 0,5 =1,25 м/ с2 ; aτB2B1 = n0b2 = 45,5 0,5 = 22,75 м/ с2 .

Направление вектора аBn 2Bк1 указывает на положение центра кривизны центрового профиля, то есть в точке B1 центровой профиль вогнутый. Его радиус кривизны определится как

	V2		0,846	2
ρц =	B2B1	=	1,25	= 0,572м.
	anB2B1

Радиус кривизны конструктивного профиля равен:

ρк = ρц + r = 0,572 + 0,01 = 0,582м.

Относительная угловая скорость вращения ролика равна:

ωo = VBr2B1 = 00,846,01 =84,6 рад/ с.

Абсолютная угловая скорость вращения ролика находится по формуле:

ωa = ω1 −ωo = 26,2 −84,6 = −58,4 рад/ с.

Угловое ускорение вращающегося ролика равно:

εa = aτBr2B1 = 220,,0175 = 2275 рад/ с2 .

Вращение ролика ускоренное, так как направления относительной скорости и относительного тангенциального ускорения одинаковые, вращение ролика направлено против хода часовой стрелки.

38

1.4 Синтез и кинематический анализ кулачкового механизма аналитическим методом.

1.4.1Синтез и кинематический анализ кулачкового механизма

столкателем аналитическим методом

Синтез кулачкового механизма выполняем по заданному закону движения толкателя S(ϕ) и допускаемым углам давления [ϑ]. Основные размеры ме-

ханизма - минимальный радиус-вектор r0 кулачка и эксцентриситет е должны

быть такими, чтобы во всех положениях механизма углы давления ϑ не превышали допускаемого значения ϑ≤[ϑ](рис. 24).

Рис. 24 Схема кулачкового механизма с толкателем

В кулачковых механизмах с поступательно движущимся толкателем максимальное значение угла давления приближенно соответствует положению ме-

ханизма, при котором аналог скорости S' (ϕ) имеет максимальное значение. Для определения основных размеров кулачкового механизма используем упрощенный график перемещения толкателя в функции его аналога скорости S(S' ). На этом графике (рис. 25) показаны только максимальные значения аналога скорости на фазах подъема S'п и опускания S'оп . По оси х в соответствии с направлением вращения кулачка откладываются максимальные аналоги скорости S'п на фазе подъема и S'oп на фазе опускания, а по оси у – перемещение толкате-

39

ля. Максимальные значения аналогов скорости возникают в тех положениях механизма, при которых толкатель находится на половине хода Sm . Через точ-

ки С и D под допустимыми углами давления проведены линии, точка A пересечения которых дает положение центра вращения кулачка. При этом получаем механизм с углами давления не превышающими допустимое значение ϑ≤[ϑ].

Рис. 25 Расчетная схема синтеза кулачкового механизма с толкателем по допустимым углам давления

Координаты xA , yA точки A определяются в результате пересечения двух прямых, проходящих через точки C и D (рис.25). Уравнения прямых

	kпx − y = kпxС − yС,	(45)
	kопx − y = kопxD − yD .

Решением системы линейных уравнений являются координаты xA , yA точки A центра вращения кулачка. В этом уравнении kп = tg(90o +[ϑ]) , koп = tg(90o −[ϑ]) – угловые коэффициенты прямых линий xС =S'п , xD =S'oп

координаты точек C и D yС = yD = S2m .

В результате решения системы линейных уравнений (45) получим координаты xA , yA точки А центра вращения кулачка:

xA =		(kп xC − yC ) − (koп xD − yD ) ,	(46)
		kп − koп
yA =	− kп kоп xD + kп yD + kп xС kоп − yС kоп .		(47)
		kп − koп

40

Минимальный радиус-вектор центрового профиля кулачка и эксцентриситет определяются по формулам

r =	x2	+ y2	,	e = x	A	.	(48)
0	A	A

1.4.2 Синтез и кинематический анализ кулачкового механизма с толкателем аналитическим методом с применением программы

MathCАD

При решении системы линейных уравнений в системе MathCAD Pro можно использовать функцию lsolve(A,B). В работе рассмотрим символьное

решение системы линейных уравнений (рис.27).

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующие действия [5]:

•напечатать слово Given , это слово сообщающее программе MathCAD, что далее следует система уравнений;

•напечатать ниже слова Given уравнения системы в любом порядке. Знак равенства в уравнениях является знаком логического равенства. Для его ввода используется палитра символов или сочетание клавиш (Ctrl)(=);

•напечатать функциюFind(x, y). Аргументами функции являются переменные, относительно которых система решается;

•напечатать символьный знак равенства (→), для этого используется палитра символов или сочетание клавиш (Ctrl)(). .

•щёлкнуть мышью на функции Find(x, y).

Рис. 26 Символьное решение системы линейных уравнений с использованием функции Find

Система MathCAD отображает решение уравнений справа от стрелки в виде вектора результатов. Верхняя формула предназначена для вычисления координаты по оси x, нижняя по оси y.

41

На рис.27 показан фрагмент программы по расчету профиля кулачка для синусоидального закона движения толкателя с использованием функций пользователя.

Рис. 27 Функции определения параметров кулачкового механизма

Вэтом фрагменте использованы следующие имена функций для расчета:

•S(ϕ,ϕp) – положения толкателя,

•V(ϕ,ϕp) – скорости толкателя,

•a(ϕ,ϕp) – ускорения толкателя,

•αd(ϕ,Sp,Vp,R0,E) – углов давления,

•θW(ϕ,R,R0,E) – углов профиля кулачка,

•RW(Sp,R0,E) – радиус-вектора кулачка.

Вскобках после имени функции указываются параметры, являющиеся входными в функцию.

Далее на рис. 28 показан расчетный блок с именем KUL, с помощью которого вычисляются закон движения толкателя и профиль кулачка. В составе расчетного блока KUL используется оператор цикла for, условный оператор if и оператор иного выбора otherwise, а также функции пользователя, показанные выше на рис. 27.

По результатам расчета в полярной системе координат построен центровой профиль кулачка (рис.29). Команда PolarPlot (полярный график) или нажатие комбинации Ctrl+7 выводит на экран монитора шаблон таких графиков. Этот шаблон имеет форму окружности и содержит места ввода данных. Слева от шаблона указывается имя радиус-вектора профиля кулачка, а снизу углов профиля.

42

Рис. 28 Расчетный блок вычисления параметров кулачкового механизма

Рис. 29 Профиль кулачка

43

1.4.3Синтез и кинематический анализ кулачкового механизма

скоромыслом аналитическим методом

Синтез кулачкового механизма выполняем по заданному закону движения коромысла ψ(ϕ) и допускаемым углам давления [ϑ]. Основные размеры

механизма – минимальный радиус-вектор r0 кулачка, межцентровое расстояние

d и начальный угол поворота коромысла ψ0 должны быть такими, чтобы во

всех положениях механизма углы давления ϑ не превышали допускаемого значения ϑ≤[ϑ](рис.30).

Рис. 30 Схема кулачкового механизма с коромыслом

В кулачковых механизмах с вращающимся движением толкателя (коромыслом) максимальное значение угла давления приближенно соответствует

положению механизма, при котором аналог скорости S' (ϕ) имеет максимальное

значение. Для определения основных размеров кулачкового механизма используем упрощенный график угла поворота коромысла в функции его аналога

скорости ψ(S' ) . На этом графике (рис. 31) показаны только максимальные значения аналога скорости на фазах подъемаS'п и опускания S'оп . Из точки С проводим луч под углом поворота ψ равным половине максимального угла поворота коромысла ψm . На данном луче откладываем максимальные значения аналогов скоростей, считая что они возникают на половине максимального угла поворота коромысла ψm . Через точки D и E под допустимыми углами давления

проведены линии, точка A пересечения которых дает положение центра вращения кулачка. При этом получаем механизм с углами давления не превышающими допустимое значение ϑ≤[ϑ].

44

Рис. 31 Расчетная схема синтеза кулачкового механизма с коромыслом по допустимым углам давления

Координаты точек D и Е определяются по следующим уравнениям (рис. 31):

			x		D		= ( −S'	sgn ω ) cosψ;	(49)
							п	1
			y			D	= ( −S'	sgn ω ) sin ψ;	(50)
							п	1
			x		E		= ( +S'	sgn ω ) cosψ;	(51)
							оп	1
			y	E			= ( +S'	sgn ω ) sin ψ;	(52)
							оп	1
где – длина коромысла;
	−1	при	ω1 < 0,
sgn ω1		при	ω1 = 0, – функция знака угловой скорости кулачка ω1 .
	= 0
		при	ω1 > 0
	1

Через точки D и E под углами (90o +[ϑ]+ ψ) и (90o −[ϑ]+ ψ) соответ-

ственно проводим линии, пересечение которых дает точку A – положение центра вращения кулачка. При этом получаем механизм с углами давления не превышающими допустимое значение ϑ≤[ϑ].

Координаты xA , yA точки А определяются в результате пересечения двух прямых, проходящих через точки D и E (рис.26). Уравнения прямых:

		kпx − y = kпxD − yD ,			(53)
		koпx − y = koпxE − yE ,			+ψ −[ϑ] sgn ω ) .
где k	п	= tg(90o +ψ +[ϑ] sgn ω ), k	oп	= tg(90o
		1			1

45

В результате решения системы линейных уравнений (2) получим координаты xA , yA точки А центра вращения кулачка:

xA =	(kоп xE − yE ) − (kп xD − yD )	,	(54)
	koп − kп
yA = kп (kоп xE − yE ) − kоп (kп xD − yD ).			(55)
	koп − kп

Минимальный радиус-вектор центрового профиля кулачка r0 , межцентровое расстояние d и начальный угол поворота коромысла ψ0 определяются по формулам:

r =

(x

B0

− x

A

)2

+ (y

B0

− y

A

)2

=

(x

B0

− x

A

)2

+ y2

;

(56)

0

A

(xA − xC )2 + (yA − yC )2

d0 =

=

xA2

+ yA2 ;

(57)

yA

(58)

ψ0 = arctg

,

xA

где xB0 = , yB0 = 0, xC = 0, yC = 0.

1.4.4 Синтез и кинематический анализ кулачкового механизма с коромыслом аналитическим методом с применением программы

MathCАD

При решении системы линейных уравнений в системе MathCAD Pro можно использовать функцию lsolve(A,B). В работе рассмотрим символьное

решение системы линейных уравнений (рис.32).

Чтобы решить систему уравнений в символьном виде, необходимо выполнить следующие действия [5]:

•напечатать слово Given , это слово сообщающее программе MathCAD, что далее следует система уравнений;

•напечатать ниже слова Given уравнения системы в любом порядке. Знак равенства в уравнениях является знаком логического равенства. Для его ввода используется палитра символов или сочетание клавиш (Ctrl)(=);

•напечатать функциюFind(x, y). Аргументами функции являются переменные, относительно которых система решается;

•напечатать символьный знак равенства (→), для этого используется палитра символов или сочетание клавиш (Ctrl)(). .

•щёлкнуть мышью на функции Find(x, y).

46

Рис. 32 Символьное решение системы линейных уравнений с использованием функции Find

Система MathСAD отображает решение уравнений справа от стрелки в виде вектора результатов. Верхняя формула предназначена для вычисления координаты по оси x, нижняя по оси y.

На рис.33 показан фрагмент программы по расчету профиля кулачка для синусоидального закона движения коромысла с использованием функций пользователя.

Рис. 33 Функции определения параметров кулачкового механизма

Вэтом фрагменте использованы следующие имена функций для расчета:

•ψ(ϕ,ϕp) – угла поворота коромысла,

• ω(ϕ,ϕp) – угловой скорости коромысла,

•ε(ϕ,ϕp) – углового ускорения коромысла,

•αd(ϕ,ωp,ω,hm,d,ψ0,ψp) – углов давления,

•θW(ϕ,hm,R,ψ0,ψp,R0) – углов профиля кулачка,

47

•RW(d,hm,ψ0,ψp) – радиус-вектора кулачка.

Вскобках после имени функции указываются параметры, являющиеся входными в функцию.

Вычислительный блок для расчёта кинематических параметров кулачкового механизма с коромыслом и профиль кулачка создаются аналогичным об-

разом (рис. 34, 35).

Рис. 34 Расчетный блок вычисления параметров кулачкового механизма с коромыслом

48

Рис. 35 Профиль кулачка

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Фролов К.В. и др. Теория механизмов и механика машин. М., Высшая школа, 2001

2.Левитский Н.И. Теория механизмов и машин. М., Наука, 1990

3.Артоболевский И.И. Теория механизмов. М., Наука, 1998

4.Попов С.А. Курсовое проектирование по теории механизмов и машин. М., Высшая школа, 1986

5.Дьяконов В. MathCAD 2001. Учебный курс. – СПб.: Питер, 2001