Лабораторная работа № 6 определение моментов инерции твердых тел с помощью крутильных колебаний цель работы

Экспериментальное измерение моментов инерции твердых тел с помощью крутильных колебаний.

Описание экспериментальной установки

Предварительно необходимо изучить теоретические основы работы №5. Экспериментальная установка (рис.17), называемая крутильным маятником, представляет собой платформу 1, подвешенную на тонком упругом стальном стержне 2 к горизонтальной раме 3. Платформа может совершать крутильные колебания относительно вертикальной оси, проходящей вдоль тонкого стержня 2. На платформе для крепления испытуемых тел имеется 8 пар отверстий 4, расположенных симметрично относительно оси вращения. Номера отверстий увеличиваются по мере удаления от оси вращения. В таблице 1 показаны расстояния отверстий до оси. Испытуемые тела имеют штыри, которые вставляются в отверстия. Таким образом тела закрепляются на платформе. Экспериментальная установка располагается на массивном основании 5.

Таблица 1

Номер отверстия	1	2	3	4	5	6	7	8
Расстояние d от оси вращения до центра отверстия, см	2	3	4	5	6	7	8	9

При повороте платформы 1 на угол относительно вертикальной оси происходит закручивание стального стержня 2 на этот угол. В стержне возникают упругие силы, момент которых

действует на платформу. Коэффициент kназывается коэффициентом упругости. Уравнение динамики вращательного движения

пустой платформы с моментом инерции I₀относительно вертикальной оси принимает вид:

или . (1)

Уравнение (1) является уравнением гармонических колебаний с круговой частотой и периодом колебаний.

Итак, пустая платформа совершает гармонические крутильные колебания с периодом

(2)

Располагая на платформе на одинаковых расстояниях d_iот оси вращения два одинаковых грузика с массами m, получают момент инерции системы

,

где момент инерции I_iодного грузика определяется теоремой Штейнера (см. лаб. работу № 5):

. (3)

В формуле (3) I_с- момент инерции грузика относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс грузика. Тогда период крутильных колебаний равен

. (4)

Помещая эти же грузики на другом расстоянии d_jот оси вращения, получим формулы

,

где . (5)

В этом случае период колебаний T_jравен

. (6)

Возводя в квадрат формулы (2), (4), (6), получим систему уравнений:

, (7)

, (8)

. (9)

Вычитая уравнение (8) из уравнения (9), найдем уравнение

. (10)

Подставляя в уравнение (10) формулы (3) и (5), получим коэффициент упругости

. (11)

Подставляя формулу (11) в уравнение (7), найдем момент инерции I₀пустой платформы:

, (12)

Вычитая уравнение (7) из уравнения (8) и подставляя в результат формулу (11), получим момент инерции I_iгрузика, центр масс которого находится на расстоянии d_iот вертикальной оси:

. (13)

Период Т или время одного полного колебания экспериментально определяют, измеряя время t для n полных колебаний:

. (14)

Подставляя формулу (14) в формулы (12) и (13), найдем расчетные формулы для определения момента инерции I₀пустой платформы

. (15)

и момента инерции I_iгрузика

. (16)

Сравнивая формулы (15) и (16) можно величину I_iвыразить через момент инерцииI₀пустой платформы:

. (17)

При вычислении момента инерции I₀пустой платформы по формуле (15) полуширину доверительного интервалаI₀находят с помощью формулы:

. (18)

Анализ формулы (18) показывает, что относительная погрешность уменьшается с увеличением величины. Поэтому для уменьшения погрешности измерения целесообразно величинувыбирать минимальной (i= 1 илиi= 2), а величинумаксимальной (j = 7 или j = 8).

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

Упражнение 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ПЛАТФОРМЫ

1. Измерьте время t₀десяти (n= 10) полных колебаний пустой платформы, наблюдая величинуt₀не менее 5 раз. Результаты наблюдений занесите в таблицу 2.

2. Поместите на платформу на минимальных расстояниях d_iот оси вращения (i= 1 илиi= 2) два одинаковых грузика и измерьте время t_i. Наблюдайте величину t_iне менее 5 раз. Результаты наблюдений запишите в таблицу 2.

3. Расположите грузики на платформе на максимальных расстояниях от оси вращения (j = 8 или j = 7) и измерьте время t_jдесяти полных колебаний платформы с грузиками. Наблюдайте величинуне менее 5 раз. Результаты наблюдений запишите в таблицу 2.

4. Найдите средние значения величин ,,, их выборочные оценки средних квадратичных отклоненийS(t) и полуширину доверительных интерваловt. Результаты вычислений запишите в таблицу 2.

5. Подставляя средние значения в формулу (15), определите момент инерции I₀пустой платформы. Учитывая, чтосм, по формуле (24) найдите относительную погрешностьрезультата измерения. Полуширину доверительного интервалаI₀определите по формуле:

.

Запишите результат измерения в виде доверительного интервала:.

Таблица 2

Результаты наблюдений	Номер наблюдения
	1 2 3 4 5
Среднее значение t
Полуширина доверительного интервала t

Упражнение 2. ИЗМЕРЕНИЕ МОМЕНТОВ ИНЕРЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ

6. Располагая на платформе два одинаковых тела (грузика) на равных расстояниях d_i(i = 1, 2, 3, … , n) от оси вращения, измерьте время t_iдесяти полных колебаний нагруженной платформы для всех возможных расстоянийd_i. Результаты измерений запишите в таблицу 3 (n- максимальный номер отверстия).

Таблица 3

Номер отверстия	1	2	…	n
Расстояние до оси di
Время 10 колебаний ti
Момент инерции Ii

7. Используя найденные в упражнении №1 численные значения времени 10 полных колебаний t₀и момента инерции I₀пустой платформы, по формуле (17) найдите моменты инерции I_iодного тела на разных расстоянияхd_iот оси вращения. Результаты вычислений I_iзапишите в таблицу 2.

8. Откладывая по осям координат и I_i, постройте на диаграмме (рис.18) экспериментальные точки. В соответствии с теоремой Штейнера

экспериментальные точки должны лежать на одной прямой, которая пересекает ось координат в точке I_с.I_с- момент инерции тела относительно вертикальной оси, проходящей через центр масс тела.

9. Определите с помощью графика, показанного на рис.18, величину I_си полуширину доверительного интервалаI_с. Для этого через экспериментальные точки нужно провести прямую и найти точку пересечения этой прямой и оси координат. Применяя при проведении прямой метод наименьших квадратов [8], получим расчетные формулы для I_си выборочной оценки среднего квадратичного отклоненияS(I_с):

,

,

где ,,.

Запишите результат измерения в виде доверительного интервала: .

10. Повторите пункты 6 - 9 для другой пары тел.

11. Измерьте размеры изучаемых тел и по формулам (4) и (5) лаб. работы 5 теоретически найдите моменты инерции I_сэтих тел. Сравните теоретические результаты с экспериментальными.