Тема 6. Лекция

Предположим, что мы имеем две независимые друг от друга выборки испытуемых х и у. Независимыми выборки считаются тогда, когда один и тот же субъект (испытуемый) фигурирует только в одной выборке. Задача состоит в том, чтобы сравнить между собой эти выборки (два ряда переменных) на предмет их различий. Естественно, что как бы ни были близки между собой значения переменных в первой и второй выборке, какие-то, пусть даже незначительные, различия между ними будут обнаруживаться. С точки же зрения математической статистики нас интересует вопрос, являются ли различия между этими выборками статистически достоверными (статистически значимыми) или недостоверными (случайными).

Наиболее распространенными критериями достоверности различий между выборками являются параметрические меры различий – критерий Стьюдента и критерий Фишера. В ряде случаев используются непараметрические критерии – критерий Q Розенбаума, U-критерий Манна- Уитни и др. Особое место занимает угловое преобразование Фишера φ*, позволяющие сравнивать друг с другом значения, выраженные в процентах (процентных долях). И, наконец, как частный случай, для сравнения выборок могут быть использованы критерии, характеризующие форму распределений выборок – критерий χ² Пирсона и критерий λ Колмогорова – Смирнова.

В целях наилучшего усвоения данной темы мы поступим следующим образом. Одну и ту же задачу мы решим четырьмя методами с использованием четырех различных критериев – Розенбаума, Манна-Уитни, Стьюдента и Фишера.

Условие задачи

30 студентов (14 юношей и 16 девушек) во время экзаменационной сессии протестированы по тесту Спилбергера на уровень реактивной тревожности. Получены следующие результаты (табл. 7.1):

Таблица 7.1

Испытуемые	Уровень реактивной тревожности
Юноши	32	34	28	43	35	26	41	32	40	39	42	38	44	33
Девушки	34	30	37	43	42	44	46	36	45	28	34	41	40	35	42	39

Задание

Определить, являются ли статистически достоверными различия уровня реактивной тревожности у юношей и девушек.

Задача представляется вполне типичной для психолога, специализирующегося в области педагогической психологии: кто более остро переживает экзаменационный стресс – юноши или девушки? Если различия между выборками статистически достоверны, то существуют значимые половые различия в данном аспекте; если различия случайны (статистически недостоверны), от данного предположения следует отказаться.

Непараметрический критерий q Розенбаума

Q-критерий Розенбаума основан на сравнении «наложенных» друг на друга ранжированных рядов значений двух независимых переменных. При этом не анализируется характер распределения признака внутри каждого ряда – в данном случае имеет значение лишь ширина неперекрывающихся участков двух ранжированных рядов. При сравнении между собой двух ранжированных рядов переменных возможны 3 варианта:

1.     Ранжированные ряды x и y не имеют области перекрытия, т. е. все значения первого ранжированного ряда (x) больше всех значений второго ранжированного ряда (y):

В данном случае различия между выборками, определяемые по любому статистическому критерию, безусловно достоверны, и использование критерия Розенбаума не требуется. Тем не менее на практике такой вариант встречается исключительно редко.

2.     Ранжированные ряды полностью накладываются друг на друга (как правило, один из рядов находится внутри другого), неперекрывающиеся зоны отсутствуют. В данном случае критерий Розенбаума неприменим.

3. Имеется зона перекрытия рядов, а также две неперекрывающиеся области (N₁ и N₂), относящиеся к разным ранжированным рядам (обозначим х – ряд, сдвинутый в сторону больших, y – в сторону меньших значений):

Данный случай является типичным для использования критерия Розенбаума, при использовании которого следует соблюдать следующие условия:

1.     Объем каждой выборки должен быть не менее 11.

2.     Объемы выборок не должны существенно отличаться друг от друга.

Критерий Q Розенбаума соответствует числу неперекры­вающихся значений: Q = N₁ + N₂. Вывод о достоверности различий между выборками делается в случае, если Q > Q_кр. При этом значения Q_кр находятся в специальных таблицах.

Вернемся к нашей задаче. Введем обозначения: х – выборка девушек, y – выборка юношей. Для каждой выборки строим ранжированный ряд:

х: 28 30 34 34 35 36 37 39 40 41 42 42 43 44 45 46

y: 26 28 32 32 33 34 35 38 39 40 41 42 43 44

Подсчитываем число значений в неперекрывающихся областях ранжированных рядов. В ряду х неперекрывающимися являются значения 45 и 46, т. е. N₁ = 2; в ряду y только 1 неперекрывающееся значение 26, т. е. N₂ = 1. Отсюда, Q = N₁ + N₂ = 1 + 2 = 3.

В табл. VIII Приложения находим, что Q_кр.= 7 (для уровня значимости 0,95) и Q_кр = 9 (для уровня значимости 0,99).

Вывод

Поскольку Q < Q_кр, то по критерию Розенбаума различия между выборками не являются статистически достоверными.

Примечание

Критерий Розенбаума может использоваться независимо от характера распределения переменных, т. е. в данном случае отпадает необходимость использования критериев χ² Пирсона и λ Колмогорова для определения типа распределений в обеих выборках.