1.3. Множества и перечень базовых операций над множествами

Множества по Г. Кантору есть совокупность однородных сущностей, называемых элементами. Например, если множество A состоит из элементов, в которомА,А,А, то А =.

Число элементов множества называется мощностью или кардинальным числом и обозначается#А. Например, если А = , то#А = 3, т.е. обладающих совокупностью однородных сущностей (мощность множества, или любой объект в предметной области).

Подмножества множества - любое множество, каждый элемент которого принадлежит. Например, если А =, то подмножествамиА являются

{}, {}, {}, {}, {}, {} и. Каждое из них вложено в множество А, например, {} вложено в А, или {}.

Аксиома 1: пустое множество, обозначаемое { } или Ø, имеет свойства:

1. { } А ≠ Ø (пустое множество есть подмножество всякого не пустого множества);

2. {Ø} ≠ Ø, (множество, состоящее хотя бы из одного элемента Ø, не является пустым).

Пространство – это множество всех элементов, которые могут встретиться в нашем исследовании.

Универсальное множество (полное пространство) будем записывать следующим образом: гдеi - есть подмножество элементов, .

Множество действительных чисел будем обозначать как .

Характеристическая функция множества А:

(1.2)

Степенное множество: 2^X, есть множество всех подмножеств универсального множества X. Например, если X = {x₁, x₂, x₃}, то

2^X= {{x₁}, {x₂}, {x₃}, {x₁,x₂}, {x₁, x₃}, {x₂,x₃}, {x₁,x₂,x₃}}.

Множества типизированы как счетные и несчетные, конечные и бесконечные.

Аксиома 2: множество натуральных чисел является счетным и называется аксиоматическим эталоном.

Счетность некоторого множества определяется путем установления его взаимного и однозначного соответствия с эталоном, а при нарушении этого соответствия – множество будет несчетным.

Конечность некоторого множества определяется по его конечной мощности. Установление бесконечности требует привлечения теории Г. Кантора [1].

Перечень базовых операций над множествами

1. Дополнение ¬А. Если X={x₁, x₂, x₃} и A={x₁, x₂}, то ¬А={x₃};

2. Разность А\В. Если A={x₁, x₂} и B={x₂, x₃}, то А\В = {x₁};

3. Пересечение (произведение) если и, то;

4. Объединение (сумма) если и, то.

На универсальном множестве X= {} любое множествоА можно записать так:

, (1.3)

где принимает все значения из подмножествамножества натуральных чиселили- множество номеров элементов.

Например: X = {}, приi от 1 до 10 и А = {x₁, x₄, x₆}, можно записать:, гдепринимает значения 1, 4, 6.

Пусть задано универсальное множество, а в нем определено некоторое пространство, в котором имеется класс множеств.

Аксиома 3: класс множества пространства называется аддитивным, если:

1. всё пространство принадлежит классу;

2. все последовательности вложенных множеств из этого класса, их сумма и произведение принадлежат классу;

3. для множества и его подмножества из этого класса, и их разность - принадлежат классу.

Таким ообразом, признак аддитивности класса: счетное число операций сложения, умножения и вычитания над элементами этого класса, дают результат в том же классе. Например, если пространство равно {x₁,x₂}, то класс всех его возможных подмножеств есть множество подмножеств {{x₁}, {x₂}, {x₁,x₂}} или степенное множество в данном пространстве.

Проверим аддитивность этого класса. В соответствии с аксиомой 3, проверяем условия:

1. в классе множества {{x1}, {x2}, {x1, x2}}имеется элемент {x1, x2} равный пространству {x₁,x₂}, поэтому оно принадлежит классу {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}};

б) в классе {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} имеются две последовательности вложенных множеств: {x₁}{x₁, x₂}, {x₂}{x₁, x₂}, в каждой из них сумма и произведение множеств дают результат в том же классе;

в) в классе {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} имеются пары: множество и его подмножество из того же класса -{x₁, x₂}{x₁}, {x₁, x₂}{x₂}; в каждой паре разность множества и подмножества дают результат в том же классе.

Таким образом, условия а), б) и в) справедливы и класс {{x₁}, {x₂}, {x₁, x₂}} является аддитивным.

На множестве действительных чисел R определим интервалы как подмножество , гдеr_i и r_j – точная и неточная границы интервала соответственно:

r_ir_j R

Класс всех интервалов на множествене является аддитивным, т.к. для вложенной последовательности множеств, либо множества и его подмножества, результат суммы, либо разности, не будут принадлежать исходному классу (не выполняется условие б) или в) аксиомы 3.

Например, класс I₁, I₂, I₃ является аддитивным, так как его элементы не образуют вложенной последовательности R множеств, сумма которых даст результат в том же классе {}:

I₁ I₂ I₃

не является аддитивным, так как его элементы не образуют вложенной последовательности множеств, сумма которых даст результат в том же классе .

Выполним процедуру расширения класса интервалов путём счётного повторения операций сложения, вычитания и умножения над элементами класса до тех пор, пока расширенный класс не будет удовлетворять условиям аддитивности, в соответствии с аксиомой 3. Тогда вся совокупность, полученных при расширении множеств, называется классом борелевских множеств [18]. Такой класс ещё называется борелевским полем множеств, множествами, измеримыми по Борелю или минимальной алгеброй множеств. Будем обозначать этот класс.

Рассмотрим, на примере, получение борелевского класса. Пусть на множестве R задан исходный класс интервалов {}:

I₁ I₂ I₃ R

Выполним процедуру расширения класса {} в класс {R₁, R₂, R₃, R₄, R₅, R₆, R₇} следующим образом:

R₁ = I₁

R₂ = I₂

R₃ = I₃

R₄ =

R₅ =

R₆ =

R₇ =

Теперь проверим аддитивность полученного класса.

По аксиоме 3 условия аддитивности следующие:

1. в классе {R₁÷R₇} элементы R₁, R₂ и R₃ равны элементам пространства I₁, I₂, I₃ соответственно. Поэтому всё пространство принадлежит классу

{R₁R₇};

2. в классе {R₁÷R₇} имеются шесть последовательностей вложенных множеств, каждое из которых сумма и произведение множеств дают результат в том же классе:

R₁R₆R₇; R₃R₆R₇;

R₁R₄R₇; R₂R₄R₇;

R₃R₅ R₇; R₂R₅R₇.

Например, R₁R₆ = R₆.

3. в классе {R₁÷R₇} имеются пары: множество и его подмножество из того же класса, в каждой паре разность между множеством и подмножеством дает результат в том же классе: R₄R₁; R₄R₂; R₅R₂; R₅R₃; R₆R₃; R₇R₆; R₇R₄; R₇R₅; R₇R₁; R₇R₂; R₇R3. Например, R₄ \ R₁ = R_2.

Таким образом, условия аддитивности выполняются и полученный класс – борелевский: В = {R₁÷R₇}.