Сравнение точности квадратурных формул.

Выше были приведены оценки абсолютной погрешности квадратурных формул:

для формул прямоугольников: |r|;

для обобщенной формулы трапеции: |r|;

для обобщенной формулы Симпсона: |r|,

где М_i= |f⁽ⁱ⁾(x)| .

Сопоставление этих оценок позволяет сделать следующие выводы:

1. Т.к. производная порядка n+1 от многочлена степени n равна нулю, то получаем точно значение интеграла: по формуле трапеций, если подынтегральная функция линейна,

по формуле парабол, если подынтегральная функция – многочлен не выше третьей степени.

2. Погрешность вычислений по формулам прямоугольников обратно пропорциональна n; при использовании формулы трапеций – n²; при использовании формулы Симпсона – n⁴.

Так, например, при увеличении числа частичных отрезков в два раза погрешность вычислений по формуле прямоугольников уменьшается примерно в два раза, по формуле трапеций в 4 раза, по формуле Симпсона в 16 раз.

Для иллюстрации сделанных выводов обратимся к сравнению результатов вычисления интеграла

по различным квадратурным формулам. Для оценки погрешностей вычислим производные функции .

На отрезке [0; 1] все производные являются монотонными функциями. Абсолютная величина каждой из них достигает своего наибольшего значения при x=0, поэтому М₁=1, М₂ =2, М₄=24.

Это позволяет получить при вычислении соответствующие оценки погрешностей:

по формуле прямоугольников r ≤ 0,05;

по формуле трапеций r ≤ 0,0017;

по формуле Симпсона r ≤ 0,000033.

Сравним полученные результаты, полученные по разным квадратурным формулам со значением ln20,6931472:

по формуле прямоугольников 0,71877;

по формуле трапеций 0,69377;

по формуле Симпсона 0,69315

Видно, что оценки погрешности, как и следовало, ожидать, оказались несколько завышенными.

Итак, из рассмотренных квадратурных формул наибольшую точность дает формула Симпсона, наименьшую — формула прямоугольников.

Практические приемы оценки погрешности вычислений по квадратурным формулам.

Практическое применение полученных выше оценок погрешностей квадратурных формул связано с нахождением производных второго или даже четвертого порядка, что приводит к трудоемким вычислениям в тех случаях, когда подынтегральная функция f(х) задается сложным аналитическим выражением. Если же функция f(х) задана таблицей и ее аналитическое выражение неизвестно, то непосредственное использование этих оценок становится невозможным. С такими случаями обычно и приходится иметь дело при решении практических вычислительных задач.

Если таблица, которой задается подынтегральная функция f(х), содержит практически постоянные первые разности, т. е. f(х) ведет себя примерно как многочлен первой степени, то можно воспользоваться формулой трапеций.

Если же таблица функции f(х) содержит практически постоянные вторые или третьи разности, т. е. если f(х) ведет себя примерно как многочлен второй или третьей степени, то целесообразно использовать формулу Симпсона. Это, как уже отмечалось, связано с тем, что вычисление по формуле трапеций позволяет получить точное значение интеграла при условии линейности подынтегральной функции, а формула Симпсона в том случае, если подынтегральная функция является многочленом не выше третьей степени.

При табличном задании функции f(х) приближенное значение погрешности, получаемой при вычислении интеграла по той или иной квадратурной формуле, находится следующим образом:

1. Вычисление интеграла выполняется два раза с шагами h и 2h. Полученные значения интеграла обозначаются соответственно S_h и S_2h.

2. Если предположить, что на рассматриваемом отрезке [а; b] вторая производная f"(x) изменяется медленно, то при вычислении интеграла по формуле трапеций можно воспользоваться следующим приближенным выражением для погрешности:

(18)

3. В качестве исправленного (приближенного) значения интеграла можно взять следующее значение:

(19)

4. Если предположить, что на рассматриваемом отрезке [а; b] четвертая производная f⁽⁴⁾(х) изменяется медленно, то при вычислении интеграла по формуле Симпсона можно считать, что погрешность приближенно равна

(20)

В качестве исправленного (приближенного) значения интеграла в этом случае можно взять:

(21)

В вычислительной практике часто пользуются также следующим правилом подсчета верных знаков в полученном результате: считают практически верными все совпадающие цифры значений S_h и S_2h.