физика механика

промежуток времени между событиями 1 и 2 по часам в системе Σ. Из преобразований Лоренца следует, что

(4.24) τ = t		− t =	t2′ +	ux2′	t1′ +	ux1′	t2′ − t1′ =
	2			c2 −		c2 =
		1	1 − u2 c2		1 − u2 c2		1 − u2 c2
=		τ0	c2 .
		1 − u2

Таким образом, промежуток времени между двумя событиями минимален в той инерциальной системе отсчета, относительно которой события совершаются в одной и той же точке пространства. Время, измеренное по часам, движущимся вместе с данным объектом, называется собственным временем этого объекта.

Формула (4.10) свидетельствует о существовании релятивистского эффекта замедления времени в движущейся инерциальной системе отсчета по сравнению с неподвижной. Часы, движущиеся со скоростью u относительно данной

инерциальной системы отсчета, идут медленнее в 1 − u2 c2 раз,

чем неподвижные. Следовательно, в соответствии с принципом относительности все физические процессы в движущейся системе отсчета протекают медленнее, чем в неподвижной.

Эффект замедления хода времени становится заметным только при очень больших скоростях движения. Так, в опытах с хорошо изученными элементарными частицами, называемыми мюонами36, эффект замедления времени подтверждается экспериментально. Дело в том, что мюоны рождаются в верхних слоях атмосферы под действием первичных космических лучей и движутся относительно Земли со скоростями, близкими к скорости света в вакууме. Если бы релятивистского эффекта замедления хода времени не существовало, то по отношению к земному наблюдателю мюон мог бы пройти за время своей жизни путь в атмосфере, не превышающий в среднем τ0c = 660 м.

36 Мюон – нестабильная элементарная частица, имеющая среднее собственное время жизни ~ τ0 = 2,2 10−6 с

- 91 -

Иными словами, мюоны не могли бы достигать поверхности Земли. В действительности, они регистрируются приборами, установленными на поверхности Земли, так как среднее время жизни движущегося мюона по часам земного наблюдателя

	τ =	τ0		>>τ0 , и путь, проходимый мюоном за это время
		1 − u2	c2

много больше 660 м.

§6.2. Интервал между двумя событиями

Как уже отмечалось в § 4, из преобразований Лоренца следует, что интервал между двумя событиями 1 и 2 инвариантен по отношению к выбору инерциальной системы отсчета

(4.7) s12′ = s12 = inv ,

где	s	= c2t2 − l2	,	l	=	(x	2	− x )2	+ (y	2	− y )2	+ (z	2	− z )2	−
	12	12		12				1			1			1

расстояние между точками, в которых совершаются события 1 и 2, измеренное в системе отсчета Σ.

Если

s2 > 0, то есть s

− действительное число, то интервал

12

12

s12 называется времениподобным интервалом.

Интервал s12

называется пространственноподобным, если

s2 < 0 , то есть s

− мнимое число.

12

12

Из инвариантности интервала по отношению к выбору

инерциальной системы отсчета Σ′

следует, что во всех системах

отсчета Σ

′

значения

′

и

′

для данных двух событий 1 и 2

t12

l12

удовлетворяют уравнению гиперболы:

(4.25)

c

2

′

′

′

2

2

2

(t12 ) − (l12 )

= s12 .

Если

,

то

связь

между

′

и

′

в различных

s12 > 0

t12

l12

инерциальных системах отсчета Σ′, движущихся относительно неподвижной системы отсчета Σ со всевозможными скоростями (0 ≤ u < c ), изображается графически в виде двух ветвей гиперболы I и II (см. рис. ниже). Следовательно, знак промежутка времени между двумя событиями 1 и 2, связанными времениподобным интервалом, абсолютен. Он не зависит от выбора инерциальной системы отсчета: во всех системах отсчета Σ′ второе событие происходит либо всегда позже первого, то есть t12′ > 0 (ветвь I), либо всегда раньше первого t12′ < 0 (ветвь II).

Расстояние l12′ относительно, причем можно указать такую

′	, в которой	′	= 0 , то есть
инерциальную систему отсчета Σ		l12
- 92 -

события 1 и 2 совершаются в одном и том же месте (точки А и В
на ветвях гипербол I и II).
Двум событиям, связанным причинно-следственной связью,
ct'					всегда		должен
						соответствовать
12
		I			времениподобный
A .					интервал		или,	в
		III			крайнем		случае,
					интервал,		равный
0 .		.C
				l'12	нулю.			Это
B.					обусловлено			тем,
					что		сигнал,
		II				посредством
Графическое представление					которого событие 1
					(причина)		вызывает
времениподобного и пространственноподобного интервалов
					появление		событие
2 (следствие), не может распространяться со скоростью,
превышающей скорость света в вакууме.
В	случае	событий,	связанных пространственноподобным
	2	< 0 ), знак	′		′
интервалом ( s12			t12 относителен:		t12 > 0 (верхняя часть
гиперболы III) в одних инерциальных системах отсчета Σ′, а в
других	′	(нижняя	часть	гиперболы		III).	Точка	С
	t12 < 0
			′	, в которой		′		есть
соответствует системе отсчета Σ						t12 = 0, то
события 1 и 2 происходят одновременно.

***** Глава4. §6 *****

§7. Парадокс близнецов или парадокс часов

Релятивистский эффект замедления хода времени в космическом корабле, движущемся относительно Земли, открывает возможность осуществления сколь угодно дальних космических полетов и путешествий «в будущее». Согласно принципу относительности все процессы на корабле, включая и процесс старения космонавтов, идут по тем же законам, что и на Земле. Однако время на корабле в этом случае надо измерять по часам, движущимся вместе с ним со скоростью u относительно Земли. Если ur близко к c , то часы на корабле идут значительно

медленнее земных (на космодроме): в 1 1 −υ2c2 раз.

- 93 -

Например, при υc = 0,9999 ход часов на корабле замедляется в

224 раза. Следовательно, на таком корабле за промежуток времени τ0 = 10 лет по корабельным часам можно совершить космический

полет, который по земным часам будет продолжаться τ =2240 лет! Космонавт за это время постареет всего на 10 лет! При этом корабль удалится от Земли на огромное расстояние l = uτ ≈ 2240 световых лет.

Если космонавт, совершив космический полет со скоростью, близкой к скорости c , возвратится на Землю, то он обнаружит, что люди здесь постарели за время полета больше, чем он. Более того, космонавт за время полета может пережить всех своих сверстников.

Может показаться, что, основываясь на принципе относительности, все предыдущие рассуждения неверны. Действительно, часы на Земле, движущейся со скоростью − u относительно космического корабля, должны отставать от часов на корабле. Поэтому длительность полета должна быть большей для космонавта, а не для жителей Земли. Значит, за время полета должен сильнее постареть тот из двух близнецов, который летел на корабле.

Таким образом, разность показаний часов на космодроме и на корабле после приземления последнего должна быть, с одной стороны, положительной, а с другой, − отрицательной. Этот абсурдный результат получил название парадокса часов, или парадокса близнецов. В действительности никакого парадокса часов нет. Он возник вследствие неправильного применения принципа относительности. Этот принцип говорит о полном равноправии не любых систем отсчета, а только инерциальных систем. Между тем, система отсчет, связанная с кораблем в отличие от земной, не все время является инерциальной, так как во время набора скорости при старте, облета цели и торможения при спуске на Землю корабль движется с ускорением. Поэтому задача о ходе часов на космодроме, который все время покоится относительно одной и той же инерциальной системы отсчета, и часов, находящихся на корабле, принципиально несимметрична. Земная и корабельная системы отсчеты, таким образом, неравноправны. Правильны наши первоначальные рассуждения,

так как	они использованы на использовании инерциальной
(земной)	системы отсчета. Кроме того, правомерность такого
	- 94 -

подхода подкреплена выводами общей теории относительности.

***** Глава4. §7 *****

§8. Основной закон релятивистской динамики

В релятивистской механике масса материальной точки не постоянна, как в классической физике, а зависит от скорости υ этой точки. Ее значение m различно в двух движущихся относительно друг друга инерциальных системах отсчета. Зависимость массы от скорости выражается формулой:

(4.26)	m =	m0	,
		1 −υ2 c2

где m0 − масса покоя материальной точки (частицы), то есть ее

масса, измеренная в той инерциальной системе отсчета, относительно которой частица находится в покое. Очевидно, частица не может обладать меньшей массой, чем ее масса покоя m0 . Массу же m часто называют релятивистской массой.

Импульс релятивистской материальной точки p = mυ является нелинейной функцией ее скорости:

(4.27)	r	m0υ
	p =	1 −υ2 c2 .

Очевидно, при υ << c p = mυ ≈ m0υ .

В силу однородности пространства (см. §1 этой главы) в релятивистской механике справедлив закон сохранения релятивистского импульса: импульс замкнутой системы не изменяется с течением времени37. Из этого закона следует закон сохранения релятивистской массы: при любых процессах,

происходящих в замкнутой системе, ее полная релятивистская масса не изменяется.

Используя понятия релятивистского импульса и релятивистской массы, можно сформулировать основной закон релятивистской динамики: скорость изменения импульса

материальной точки38 равна силе F , действующей на эту точку:

37Справедлив также закон сохранения момента релятивистского импульса (см. §8 главы

2)

38Основные понятия в релятивистской динамике вводятся так же последовательно, как и

вклассической физике (см. главу 2)

-95 -

	dp	r		d		m υr		r
(4.28)		= F ,	или			0		= F .
	dt			dt 1 −υ2 c2

Ускорение, сообщаемое материальной точке силой F , имеет

вид39

r

dυr

F

υdm

1

r

υr

r r

(4.29)

a

=

=

−

=

F −

(Fυ) ,

dt

m

mdt

c2

m

Следовательно, как следует из (4.29), в релятивистской механике в отличие от ньютоновской ускорение материальной точки, вообще говоря, не совпадает по направлению с силой, вызывающей это ускорение.

***** Глава4. §8 *****

§9. Закон взаимосвязи массы и энергии

Применим понятие работы силы (см. §2 главы 3) в релятивистскойr механике. По определению, элементарная

работа силы F на малом перемещении dr точки ее приложения равна

δA = (F ,drr)= (F ,υr)dt .

Из основного закона релятивистской динамики (4.24) и формулы (4.22) релятивистской массы следует, что

(4.30)

r

dp

d(mυ)

dm r

dυ

F =

=

=

υ

+ m

,

dt

dt

dt

dt

(4.31)

dm

dm dυ

m0υ dυ

mυ dυ

dt

= dυ dt

=

c2

1 −

υ

2

dt

= c2 −υ2 dt .

c2

Поэтому выражение для элементарной работы в релятивистской динамике приобретает совсем иное выражение:

(4.32) δA = (Fr,υr)dt =υ2dm + m(υr,dυr)=υ2dm + m(υ,dυ)=

= (→ 4.26)=υ2dm + (c2 −υ2 )dm = c2dm ,

где dm − приращение релятивистской массы материальной точки.

39См. преобразования в начале §9 этой главы

-96 -

Следовательно, приращение dWk кинетической энергии

материальной точки равно работе δA, совершаемой действующей на эту точку силой F :

(4.33) dWk = δA = c2dm .

Увеличение кинетической энергии материальной точки, а следовательно, и любого тела, состоящего из множества материальных точек, должно сопровождаться соответствующим увеличением его релятивистской массы:

(4.33′) dm = c12 dWk .

Изменение других видов энергии тела также связано с увеличением его массы. Например, если при нагревании покоящегося тела его внутренняя энергия (см. главу 5) увеличивается на dU , то масса m этого тела, равная его массе покоя, увеличивается на величину

(4.34) dm = dm0 = c12 dU .

В общем случае, изменение полной энергии W тела на dW сопровождается изменением его релятивистской массы m на величину

(4.35) dm =				1		dW .
				c2
Следовательно, между W и m существует универсальное
соотношение:						m0c2
(4.36)	W = mc	2	=
					1 −υ2 c2 ,

которое выражает закон взаимосвязи массы и энергии: полная энергия тела или системы равна произведению релятивистской массы этого тела или системы на квадрат скорости света в вакууме.

В силу однородности времени в релятивистской механике (см. §1 этой главы), как и в классической, выполняется закон сохранения энергии: полная энергия замкнутой системы не изменяется с течением времени.

Из закона взаимосвязи массы и энергии следует, что законы сохранения релятивистской массы и полной энергии не являются независимыми законами, то есть по отдельности эти законы не

- 97 -

выполняются. Другими словами, невозможно охарактеризовать количество материи, не принимая во внимание ее движение. С появлением специальной теории относительности оказалось, что масса, определяемая по инерционным свойствам тела, зависит от его скорости и, следовательно, характеризует не только количество материи, но и ее движение.

Полная энергия покоящейся частицы или системы частиц (например, атомного ядра, атома, молекулы, тела), называемая энергией покоя W0 , равна

(4.37) W0 = m0c2 ,

где m0 − масса покоя. Значения W0 и m0 не зависят от выбора

инерциальной системы отсчета. Для бесструктурной (элементарной) частицы они являются неизменными ее характеристиками, подобно, например, электрическому заряду. Масса и энергия покоя системы частиц зависят от состава системы и ее внутреннего состояния. Например. Масса покоя «возбужденного» ядра или атома больше, чем масса покоя того же ядра или атома в нормальном состоянии.

Пример 2. Записать выражение для кинетической энергии в релятивистской механике и осуществить предельный переход к классической механике.

aПользуясь законом взаимосвязи массы и энергии (4.36) можно утверждать, что кинетическая энергия тела как энергия механического движения (см. главу 3) представляет разность полной энергии движущегося тела и энергии его покоя:

(4.38) W = mc2	− m				c2	= m						1				−1
									c2				2		2			=
k				0				0				1 −υ		c
																		.
			1		υ	2		3		υ	4
= m0c	2						+
			2					8				+ ... .
				c						c

В (4.38) мы воспользовались разложением степенной функции

1 1 −υ2 c2 = (1 −υ2 c2 )−1 2 в ряд Маклорена по параметру

- 98 -

(υc)2 . При υc << 1 формула (4.38) приводит к обычному выражению кинетической энергии в классической механике:

(4.39)			m υ2			mυ2
		W =	0		=			. .
		k	2			2
		***** Глава4. §9			*****

- 99 -

Глава5.

Основы молекулярной физики 40

§1. Введение

§1.1. Предметмолекулярнойфизики

В разделе физики, называемом молекулярной физикой, изучаются физические свойства тел в различных агрегатных состояниях (газообразном, жидком, твердом и особом – в состоянии плазмы41) на основе рассмотрения их микроскопического (молекулярного) строения. Главная задача молекулярной физики связана с изучением зависимости физических свойств тел от характера движения и взаимодействия частиц (атомов, молекул, ионов), составляющих физические тела. Эту задачу молекулярная физика решает методами физической статистики, термодинамики и кинетики.

Первым сформировавшимся разделом молекулярной физики была кинетическая теория газов. В процессе ее развития работами английского физика Дж. Максвелла (1858-60), австрийского физика Л. Больцмана (1868) и американского физика Дж. У. Гиббса (1871-1902) была создана классическая статистическая физика. Позднее из нее выделилась физическая кинетика – микроскопическая теория процессов в статистически неравновесных системах. Она изучает методами квантовой или классической статистической физики процессы переноса энергии, импульса и вещества в различных физических системах (газах, плазме, жидкостях, твердых телах), а также влияние на эти процессы внешних полей.

40Раздел молекулярной физики

41Особое состояние вещества, плазма, в рамках данного курса не затрагивается

-100 -