физика механика

главы). Наконец, аналогом массы является момент инерции, который представляет собой меру инертности во вращательном движении.

Пример 1. Маховики в двигателях или машинах имеют большие моменты инерции и с трудом разгоняются или

останавливаются, сохраняя «по инерции» свое состояние покоя или равномерного вращения вокруг свободной оси.

Пример 2. Вокруг неподвижных свободных осей вращаются два тела одинаковых массы m и радиуса R: кольцо и сплошной диск. У какого из тел больше момент инерции. Ответ: у кольца, так в соответствии с формулой (2.38) масса его тела распределена дальше от оси вращения.

Пример 3. Вычислить момент инерции однородного тонкого

		Z				длинного18				стержня
						массы m и длины L
			площадь поперечного			относительно					оси,
элемент длины dy			сечения	Y	2	проходящей				через	его
		.				центр инерции.
					Y	Расположим стержень
-L/2		O	L/2			вдоль оси OY (см. рис.).
X								Воспользуемся
К вычислению момента инерции тонкого						формулой				(2.39).
длинного стержня относиительно оси,						Элемент				массы:
проходящей через			его центр масс			dm = ρdV = ρY 2dy
						( ρ −				плотность
стержня). Тогда момент инерции JC стержня относительно оси,
проходящей через его центр масс (относительно оси OZ):
		L 2		L 2			3 L 2			3
(2.40)	JC =	∫ y2dm = ρY 2			∫ y2dy =ρY 2 y				=	ρY 2 L	=
		−L 2		−L 2		3		−L 2		12

= ρY 2L L2 = m L2 .

12 12

Момент инерции данного тела относительно какой-либо оси зависит не только от массы, формы и размеров тела, но также от

18Длина такого стержня много больше его ширины и высоты

-51 -

положения тела по отношению к этой оси, то есть от распределения массы относительно оси вращения. Согласно теореме Штейнера (теореме о переносе осей инерции) момент инерции тела J относительно произвольной неподвижной оси равен сумме момента инерции этого тела JC относительно оси,

проходящей через центр инерции тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела m на квадрат расстояния d между осями:

(2.41) J = JC + md 2 .

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно осей, проходящих через их центры масс приведены в следующей таблице:

Наименование тела	Момент
	инерции
полый тонкостенный цилиндр радиуса R, массы m		mR2
сплошной цилиндр (диск) радиуса R, массы m	1	2		mR2
сплошной шар радиуса R, массы m	2	5		mR2
тонкостенная сфера радиуса R, массы m	2		3	mR2
прямой тонкий стержень длины L, массы m	112 mL2
тонкая пластина со стороной L, массы m	1		6	mL2
куб со стороной L, массы m	1		4	mL2

В предыдущих параграфах данной главы были сформулированы законы динамики поступательного и вращательного движений. Подведем итоги: основные количественные соотношения устанавливаются вторым законом Ньютона; первый закон позволяет выделить инерциальные системы, к которым можно применять второй закон; с помощью третьего закона можно перейти от динамики материальной точки и динамике поступательно и вращательного движений тела.

***** Глава2. §6 *****

- 52 -

§7. Статика как частный случай динамики. Характер равновесия тел

● Статика

Раздел динамики, в которой изучаются условия равновесия тел.

Как мы уже установили, действии силы приводит к появлению ускорения, а момента сил – к появлению углового ускорения у тел.

● Равновесие тела

Такое его положение, которое сохраняется без каких-либо дополнительных воздействий. Значит, неподвижное тело в положении равновесия должно оставаться достаточно долго без воздействий извне.

В соответствии с основными уравнениями динамики поступательного и вращательного движений покоящееся тело не

начнет двигаться поступательно, если главный вектор F внешн внешних сил, действующих на него, равен нулю. Аналогично, неподвижное тело не будет вращаться, если главный момент M внешн внешних сил (относительно каких-либо точек или осей), действующих на тело, равен нулю. Таким образом, необходимое и достаточное условия равновесия покоящегося тела описывается системой двух уравнений:

(2.42)	Frвнешн = 0,
	r	внешн
	M		= 0.
(2.43)

Однако, в реальных условиях надо уметь еще оценить характер равновесия. Для этого надо немного (в пределе – бесконечно мало) вывести тело из равновесия. При этом, возможно, появятся силы или моменты сил, и условия равновесия будут нарушены. Если

возникшие силы или моменты сил возвращают тело к положению равновесия, то это равновесие устойчиво; если уводят дальше – равновесие неустойчиво; если, наконец, главные векторы внешних сил и моментов остаются равными нулю – равновесие

безразличное.

- 53 -

Из приведенного рисунка видно, что устойчивое равновесие связано с минимумом потенциальной энергии рассматриваемого тела по отношению ко всем близким соседним положениям этого тела. Неустойчивое равновесие отвечает максимуму потенциальной энергии по отношению к таким же положениям. Безразличное равновесие связано с неизменной потенциальной энергией всех близких состояний.

Тело на горизонтальной плоскости находится в равновесии, если вертикальная проекция центра тяжести располагается в площади его опоры. Но и в этом случае характер устойчивости может сильно различаться. Приведенный рисунок демонстрирует тот факт, что устойчивость тела возрастает

при увеличении площади опоры и уменьшении высоты центра тяжести.

***** Глава2. §7 *****

§8. Законы сохранения импульса и момента импульса

Законы сохранения импульса и момента импульса далеко выходят за рамки классической механики. Они принадлежат к числу самых фундаментальных физических законов, так как связаны с определенными свойствами симметрии пространства – его однородностью и изотропностью соответственно.

Законсохраненияимпульса			Законсохранениямоментаимпульса
1.	Импульс замкнутой		1.	Момент импульса замкнутой
системы не изменяется с			системы		относительно	любой
течением времени:			неподвижной точки не изменяется с
	(2.44)	dp ≡ 0 и	течением времени:
		dt	(2.45)		dL
	p = const .				dt ≡ 0 и L = const .
			Соответственно, момент			импульса
			замкнутой системы относительно ее
			центра	инерции не изменяется с
			- 54 -

течением времени:

(2.46)

dLC

≡ 0

и L

= const .

dt

C

2.

Проявление

2.

Проявление изотропности

однородности

пространства

пространства

3.

Однородность19

3.

Изотропность20

пространства проявляется

пространства проявляется в том,

в том, что физические

что физические свойства замкнутой

свойства

замкнутой

системы и законы ее движения не

системы

и

законы

ее

зависят от выбора направления осей

движения

не

зависят

от

координат инерциальной системы

выбора положения начала

отсчета, то есть не изменяются при

координат

инерциальной

повороте в пространстве замкнутой

системы отсчета, то есть

системы как целого на любой угол.

не

изменяются

при

параллельном

переносе в

пространстве

замкнутой

системы как целого.

4.

Следствие второго

4.

Следствие второго закона

закона

Ньютона

для

Ньютона для случая вращательного

случая

поступательного

движения тела: для замкнутой

движения

тела:

для

системы

главный

вектор момента

замкнутой

системы

внешних сил М = Мвнешн ≡ 0.

главный вектор

внешних

сил Fr

= Fr

внешн ≡ 0.

5.

Если система не

5.

Если система не замкнутая, но

замкнутая, но

внешние

внешние силы таковы, что вектор

силы

таковы,

что

момента внешних сил

F = F внешн ≡ 0,

то

М = Мвнешн ≡ 0, то Lr

= const .

p = const .

Пример

2:

Уравновешенный

Пример 1: Пуля массы

гироскоп

с

тремя

степенями

m , летящая горизонтально

свободы, момент сил трения в

со

скоростью

υ

и

подвесе

которого

достаточно мал.

19Однородность вообще в физике связана с инвариантностью (неизменностью) свойств относительно пространственных сдвигов

20Изотропность вообще в физике связана с инвариантностью (неизменностью) свойств относительно пространственных поворотов

-55 -

застревающая в массивном

При

любых

поворотах

подставки

теле массы M .

такого гироскопа, удерживающей в

покое его центр подвеса, ось

гироскопа

сохраняет

свою

ориентацию

относительно

неподвижной

инерциальной

системы отсчета.

Пример 3: Пуля вылетевшая из

ствола нарезного

огнестрельного

оружия,

сохраняет

свою

ориентацию

относительно

оси

симметрии, совпадающей с линией

прицела (траекторией пули при

этом является спиральная линия).

6.

Обычно F внешн

≠ 0 и

6.

Обычно M внешн ≠ 0 и, однако

r

Mzвнешн ≡ 0,

p ≠ const ,

однако одна из

одна

из

проекций

проекций

Fxвнешн ≡ 0,

тогда Ошибка! Объект не может быть создан из

тогда

px = const , то

есть

кодов полей редактирования.,

то есть

работает закон сохранения

работает

закон

сохранения

проекции

импульса

на

проекции

момента

импульса

на

какую-либо координатную

какую-либо координатную ось.

ось.

Пример

5: Человек на скамье

Жуковского:

Пример 4: Абсолютно

упругий центральный удар

Z

Z

двух шаров массами m1 и

1)

.

Ù.

2)

m2 , движущимися до

.Ù..

удара со скоростями υ1 и

O.

O.

υ2 соответственно.

ω1

ω2

Человек с гантелями на скамье Жуковского

(2.47)

J1ω1 = J2ω2 ,

)−

где J1,ω1

и J2 ,ω2

(ω2 > ω1

момент инерции и угловая скорость

вращения

относительно

вертикальной

оси

OZ

человека

соответственно в положениях 1 и 2.

- 56 -

Аналогичные закономерности можно усмотреть в действиях фигуриста, выполняющего сложный пируэт, например, «тройной тулуп».

Импульсом и моментом импульса обладают не только частицы и тела, но и поля. Например, свет, представляющий собой поперечную электромагнитную волну, оказывает давление на поверхность отражающего или поглощающего

его тела именно потому, что электромагнитное поле световой волны обладает импульсом21. Другой пример: элементарные частицы и построенные из них системы

(атомные ядра) могут иметь момент импульса, не связанный с их движением в пространстве и называемый спином22.

***** Глава2. §8 *****

21См. курс «Оптика + для студентов инженерных специальностей». Бурмистров В.В.

22См. курс «Оптика + для студентов инженерных специальностей». Бурмистров В.В.

-57 -

Глава3.

Работа и механическая энергия23

§1. Введение

Описание различных явлений природы не сводится к применению лишь законов Ньютона, когда речь идет о механике. В соответствии с различными формами движения материи рассматривают различные формы энергии: механической, внутренней, электромагнитной, ядерной и т.д. Таким образом, понятие энергии связывает воедино все явления природы. Однако вначале в науку из человеческой деятельности пришло понятие работы. Понятия энергии и работы позволяют дополнить описание картины механического движения, установив количественные соотношения «новых» физических величин с уже известными нам физическими величинами силы, скорости, радиуса-вектора и др. Использование понятий «работа» и «энергия» очень часто позволяет значительно уменьшить усилия по нахождению той или иной искомой величины. Это особенно важно в тех случаях, когда нас интересует только конечное состояние изучаемой системы, а ее промежуточные состояния не являются предметом нашего рассмотрения.

***** Глава3. §1 *****

§2. Основные энергетические понятия

● Энергия системы

Скалярная физическая величина, являющаяся общей мерой различных форм движения материи, рассматриваемых в физике. Энергия количественно характеризует систему (тело) в отношении возможных в ней превращений движения из одних видов в другие. Эти превращения происходят благодаря взаимодействию частей системы как друг с другом, так и с внешними системами (телами).

23РАЗДЕЛ КЛАССИЧЕСКОЙ МЕХАНИКИ (см. главу 0)

-58 -

● Работа силы

Пространственная характеристика действия силы на рассматриваемую систему24 (тело).

Элементарной работой силы F 25 на малом перемещении dr называется скалярная величина

(3.1) δA = Fdrr = Fυr dt ,

r

где r и υr = ddrt − радиус-вектор и скорость точки приложения

силы;

dt − малый промежуток времени, за который сила F совершает работу δA*

Величина A = A(x, y, z) в общем случае не является

функцией состояния системы, то есть ее значение будет изменяться в зависимости от вида процесса, от траектории движения точки приложения силы и т.п., а не от начального и конечного положений состояния рассматриваемой системы (точки приложения силы). Поэтому элементарную работу обозначают δA, а не dA.

Выражение для элементарной работы можно представить также в виде

(3.2) δA = Fds cosα = Fτds ,

где ds = drv − элементарная длина пути точки приложения силы за малый промежуток времени dt ;

α − угол между векторами F и dr ;

Fτ = F cosα −проекция силы на направление перемещения dr .

Сила, нормальная к траектории точки ее приложения, работы не совершает.

24Используется в физике наряду с временной характеристикой действия силы – ее импульсом

25Под силой понимается равнодействующая всех сил, действующих на систему

-59 -

Силу F называют движущей силой,									если	Fτ > 0 , так что
δA > 0 .	Если	же	Fτ	< 0	(δA < 0 ),			то	силу	F	называют
тормозящей (силой сопротивления).
Для материальной точки и для случая поступательного
движения абсолютно твердого тела (все его точки движутся с
одинаковыми ускорениями и скоростями!) можно получить еще
одно полезное выражение для элементарной работы δA силы F ,
применив второй закон Ньютона:
		(3.3)			r	r			r	r
				δA = Fdr =		Fυ	dt =υ dp,
r
где p − импульс точки или тела, движущегося поступательно со
	скоростью υr		=υrC (υrC − скорость центра инерции тела).
Выражение (3.3) устанавливает связь пространственной и
временной характеристик действия силы на систему (тело) –
работы и импульса.
Работа A, совершаемой силой F								на конечном участке
траектории L точки ее приложения,						равна алгебраической сумме
Вычисление работы, совершаемой силой F на участке траектории L
					Траектория L						.
	Проекция силы на направление
		перемещения dr
Элементарная длина пути ds=IdrI					Fτ				Конец участка пути L=s
Начало участка пути L=0 .					.
					F
	.
работ на всех малых частях этого участка, то есть выражается
криволинейным интегралом:								s
			(3.4)		r r
					A = ∫Fdr		= ∫Fτds ,
					(L)			0
					- 60 -