физика механика

среды, формы и размеров тела.

***** Глава2. §2 *****

§3. Первый закон Ньютона

В качестве первого закона динамики Ньютон использовал закон, установленный еще Галилеем в 1636 году: материальная

точка сохраняет состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения до тех пор, пока воздействие со стороны других тел не выведет ее из этого состояния.

Первый закон Ньютона показывает, что состояние покоя или равномерного и прямолинейного движения не требует для своего поддержания каких-либо внешних воздействий. В этом проявляется особое динамическое свойство тел, называемое их инертностью. Соответственно первый закон Ньютона называют законом инерции, а движение тела в отсутствие воздействий со стороны других тел − движением по инерции.

Первый закон Ньютона справедлив не во всякой системе отсчета, так как от выбора этой системы в значительной степени зависит характер механического движения одного и того же тела. Так, космонавт, находящийся на борту искусственного спутника Земли, неподвижен в системе отсчета, связанной со спутником. В то же время по отношению к Земле он движется со спутником по эллиптической орбите, то есть не равномерно и не прямолинейно. В другом примере шар, который лежит на полу яхты, движущейся равномерно и прямолинейно, может прийти в движение по полу безо всякого воздействия на него со стороны каких-либо сил. Для этого достаточно, чтобы скорость яхты начала изменяться.

Система отсчета, по отношению к которой материальная точка, свободная от внешних воздействий, покоится или движется прямолинейно и равномерно, называется инерциальной системой отсчета. Содержание первого закона Ньютона, таким образом. Сводится к двум утверждениям:

o все тела обладают свойством инертности; o существуют инерциальные системы отсчета.

Любые две инерциальные системы отсчета могут двигаться друг относительно друга только поступательно и притом равномерно и прямолинейно. Экспериментально установлено, что практически инерциальна гелиоцентрическая система отсчета, начало координат которой находится приближенно в центре

- 41 -

Солнца, а оси декартовой системы координат проведены в направлении трех удаленных звезд.

Лабораторная система отсчета, связанная с Землей, неинерциальна главным образом из-за суточного вращения Земли. Однако Земля вращается столь медленно, что максимальное нормальное ускорение точек ее поверхности в суточном вращении не превосходит величины 0,034 м/c2. Поэтому в большинстве практических задач лабораторную систему отсчета можно приближенно считать инерциальной.

***** Глава2. §3 *****

§4. Второй закон Ньютона

Основным законом динамики материальной точки (МТ)

является второй закон Ньютона: скорость изменения импульса
r					r
p материальной точки равна действующей на нее силе F :
	(2.12)	dpr	r	d(mυ)	r
		dt	= F или	dt	= F ,
где m и υr
	− масса и скорость материальной точки.
Если	на материальную		точку	одновременно действует

несколько сил, то под силой F в формуле (2.12) следует понимать геометрическую сумму всех действующих сил (активных и реакций связей), то есть равнодействующую силу.

Векторная величина Fdt называется элементарным

импульсом силы F за малое время dt ее действия. Согласно второму закону Ньютона изменение импульса материальной точки равно импульсу действующей на нее силы:

(2.13) dpr = Fdt и		pr	t		Frdt ,
			= pr2 − pr1 = ∫2
где p2 = p(t2 ) и	p1 = p(t1 )−		t1
			значения	импульса материальной
точки в конце	(t = t2 )	и	начале (t	= t1 )		рассматриваемого

промежутка времени. Заметим, что в общем случае сила F зависит от времени и не может быть вынесена из-под знака

интеграла.		m не зависит от	состояния
В механике Ньютона	масса
движения материальной	точки,	следовательно,	dm dt = 0.

Поэтому математически второй закон можно представить в

- 42 -

форме:
(2.14) ar = F m ,
где ar = dυr dt = d2rr dt2 − ускорение материальной точки,	r −

ее радиус-вектор. Второй закон Ньютона тогда гласит: ускорение

материальной точки совпадает по направлению с действующей на нее силой, прямо пропорционально этой силе по величине и обратно пропорционально ее массе.

Тангенциальное и нормальное ускорения материальной точки (см. §3 главы 1) определяются соответствующими

составляющими силы F :	r				r	r
(2.15)			= F	m и
	a	τ			a	= F m .
Сила Frn , сообщающая			τ		n	n
			материальной			точке нормальное

ускорение, направлена к центру кривизны траектории точки и потому называется центростремительной силой.

Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил F1,F2, ..., Fn, то ее ускорение равно

(2.16)	r		1	n	r	n r
	a	=		∑F		= ∑a .
			m k =1		k	k =1 k

Следовательно, каждая из сил, одновременно действующая на материальную точку, сообщает ей такое же ускорение, как если бы других сил не было (принцип независимости действия сил).

Дифференциальным ускорением материальной точки называется уравнение:

(2.17)	m	d2rr		r	n	r
		dt		= F	= ∑F .
			2		k =1	k

Для однозначного разрешения уравнения (2.17) (нахождения радиуса-вектора точки в любой момент времени) необходимо и

	достаточно	dr	задать	начальные	условия:
	rr(t = 0)= const1,		(t = 0)= const2. Другими словами, надо знать
		dt

положение и скорость материальной точки в начальный момент времени.

***** Глава2. §4 *****

- 43 -

§5. Третий закон Ньютона. Основное уравнение динамики поступательного движения

Механическое воздействие тел друг на друга носит характер их взаимодействия. Об этом гласит третий закон Ньютона: две

материальные точки действуют друг на друга с силами, которые численно равны и направлены в противоположные стороны вдоль прямой, соединяющей эти точки15.

Если Fik − сила, действующая на i −ую материальную точку со стороны k −й, а Frki − сила, действующая на k −ую

материальную точку со стороны i −й, то, в соответствии с третьим законом Ньютона:

(r2.18) Fki = −Fik .

Заметим, что силы Fik и Fki приложены к разным материальным

точкам и могут взаимно уравновешиваться только в тех случаях,

когда эти точки принадлежат одному и тому же твердому телу16.

Третий закон Ньютона является существенным дополнением к первому и второму законам. Он позволяет перейти от динамики отдельной материальной точки к динамике произвольной механической системы (системы материальных точек).

Действительно, из третьего закона Ньютона следует, что в любой механической системе геометрическая сумма всех

внутренних сил равна нулю:

(2.19)	n n	r	= 0 ,
	∑ ∑F
	i=1k=1	ik

где n − число материальных точек, входящих в состав системы, и Fii = 0 (точка сама на себя не действует).

Вектор F внешн, равный геометрической сумме всех внешних сил, действующих на систему, называется главным вектором внешних сил:

	(2.20)	r	n	r
		F внешн = ∑Fiвнешн ,
	F внешн − результирующая		i=1
где			внешних	сил, приложенных к
	i

i −ой материальной точке.

15Во все трех законах Ньютона основным действующим лицом является МТ!

16Примеры применения третьего закона Ньютона см. в приложении №2 книги

-44 -

Далее, из второго и третьего законов Ньютона следует, что первая производная по времени t от импульса p механической

системы равна главному вектору всех внешних сил, приложенных к системе:

		(2.21)	dp	r	внешн.
			dt	= F
Так как	r	r
	p = mυC , где m −		масса системы, υC − скорость ее

центра инерции, то закон движения центра инерции механической системы имеет вид:

(2.22)	d	(mυr	)= Frвнешн	или mar	= F внешн,
	dt	C		C

где aC = dυC dt − ускорение центра инерции системы.

Таким образом, центр инерции механической системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и на которую действует сила, равная главному вектору внешних сил, приложенных к системе.

Если рассматриваемая система – абсолютно твердое тело, которое движется поступательно (см. §1 главы 1), то скорости υi

всех точек тела и его центра инерции υC одинаковы и равны скорости υ тела. Соответственно ускорение тела a = aC , и

основное уравнение ньютоновской динамики поступательного движения твердого тела имеет вид:

(2.23) mar = F внешн.

***** Глава2. §5 *****

§6. Основное уравнение динамики вращательного движения

§6.1. Моментсилыотносительнонеподвижныхточкииоси

Для характеристики внешнего механического действия на тело, приводящего к изменению вращательного движения тела, вводят понятие момента силы. Различают моменты силы относительно неподвижной точки и неподвижной оси.

● Момент силы F относительно неподвижной точки О

Векторная величина MO , равная векторному произведению радиуса-вектора r , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на вектор силы F :

- 45 -

(2.24)

MO = [rr, F ].

Модуль момента

силы

MO = Fr sinα = FL, где

α −

угол

между векторами rr

и

Fr , а

L = r sinα − длина перпендикуляра

(см. рис.), опущенного из

Z

точки

О

на

линию

действия

силы.

Величина

Mo = r,F

L называется плечом силы

α

относительно

точки

О.

.

.

При

переносе

r

точки

F

приложения силы F

вдоль

линии ее действия момент

A

этой

силы

MO

плечо силы L

M o= r*F*sin α = L*F

k

r

относительно одной и той

же неподвижной точки О

i O

j

Y

не изменяется. Если линия

X

Mo

действия

силы

проходит

через точку О, то момент

Момент

силы

относительно

силы

относительно

этой

неподвижной точки (полюса) O

точки равен нулю.

● Главный момент системы сил относительно неподвижной

точки О (полюса )

Векторная величина MrOвнешн , равная геометрической сумме моментов относительно точки О всех сил системы:

(2.25)	r	n	r
	MOвнешн =	∑[rri ,Fi ],
где r − радиус-вектор,		i=1	из точки О в точку
	проведенного

приложения силы Fi .

Из третьего закона Ньютона следует, что моменты относительно полюса О внутренних сил взаимодействия

материальных		r	точек системы	попарно компенсируются:
r r	r			при вычислении главного
[ri , Fik ] = −[rk , Fki ]. Следовательно,

момента сил нужно учитывать только внешние силы, действующие на рассматриваемую механическую систему.

● Момент силы F относительно неподвижной оcи ОZ

Векторная величина	MZ , равная произведению единичного
орта k оси ОZ	на проекцию вектора момента силы
	- 46 -

относительно

полюса О на рассматриваемую ось

ОZ (см.

Z

рис.).

M z= r,F *k = ρ,Fτ

Как видно из рисунка, силу

z

F

удобно

разложить

на

три

.K

. Fz.

взаимно

перпендикулярные

составляющие:

осевую

FZ ,

Fτ

.

F

.

параллельную r

оси

ОZ,

O1

ρ

F

радиальную

Fn ,

направленную

.

A

n

вдоль

вектора

ρr = O1A,

и

Mz

r

k.

касательную

Fτ ,

направленную

перпендикулярно к оси ОZ и

O

Момент

силы

относительно

вектору

ρ .

Тогда момент силы

неподвижной оси OZ

относительно оси ОZ равен:

(2.26)

M

Z

= [ρr, F ].

Так как векторы ρ и Fτ

τ

взаимно

перпендикулярны,

то

абсолютная величина рассматриваемого момента силы равна:

(2.27)

MZ = ρ Fτ .

Таким образом, если линия действия силы пересекает ось

или параллельна ей, то момент силы относительно этой оси равен

нулю.

Главный момент MZвнешн относительно неподвижной оси

ОZ системы равен алгебраической

сумме моментов

относительно

этой

оси всех сил системы.

§6.2. Моменты импульса и инерции относительно неподвижных точки и оси. Второй закон Ньютона при вращение тела относительноточкиилиоси

Наиболее общим непоступательным движение абсолютно твердого тела является движение тела с закрепленной точкой, которую удобно

принять за начало координат (см. рис.: вращение волчка относительно мгновенной оси OZ′ и так называемую прецессую

- 47 -

относительно оси OZ). Рассмотрим движение некоторой

материальной точки, находящейся на некотором расстоянии от начала координат. Для такой точки справедлив второй закон Ньютона (см. § этой главы):

	(2.28)	r	dp
		F =		,
			dt

где под силой F следует понимать геометрическую сумму всех действующих на точку сил (активных и реакций связей).

Умножим (2.28) почленно векторно слева на радиус-вектор данной точки (относительно начала координат):

(2.29)	r r	r	dp
	[r , F ] = r ,		.
			dt

Аналогично моменту силы относительно точки введем определение момента импульса относительно начала

координат

как векторное

произведение

радиуса-вектора

данной точки на ее импульс:

r

r

(2.30)

′

LO

=[r , p].

Производная момента импульса по времени:

dpr

(2.31)

dL′

drr r

r

dpr

r

O

=

, p

+ r ,

dt

= r ,

,

dt

dt

dt

так как

dr

r

r

r

dr

r

= 0 .

dt

=υ,

υ ↑↑ p,

, p

r

dt

Учитывая, что

′

получили

основной

закон

[r , F ] = MO ,

динамики вращательного движения материальной точки:

r

′

(2.32)

′

dLO

MO

=

−

dt

скорость изменения момента импульса материальной

точки

относительно

полюса

равна

векторной

сумме

моментов

сил

′

действующих

на

эту

точку,

MO ,

относительно того же полюса.

Рассмотрим теперь всю систему (все твердое тело), состоящую из n материальных точек. Для каждой i -ой точки можно написать основной закон динамики вращательного движения (2.32):

(2.33) MrOi + NrOi = ddLOit ,

- 48 -

где LOi − момент импульса i -ой точки относительно начала

координат,

MOi , NOi −

результирующие

моменты

соответственно внешних и внутренних сил, действующих на данную точку относительно того же полюса. Таких уравнений можно написать n штук (по числу точек). Складывая почленно все эти уравнения, получим:

(2.34)	n	r	n	r	n
	∑MOi + ∑NOi = ∑dLOi .
	i=1		i=1		i=1	dt

Моменты внутренних сил, действующих между любой парой материальных точек, равны нулю (см. §6.1). Следовательно,

(2.35)	n	r		n	dL	d	n	r		dL
	∑M			= ∑	Oi =		∑L		=	O ,
	i=1		Oi	i=1	dt	dt i=1		Oi		dt

где LO − момент импульса системы материальных точек (тела).

Уравнение (2.35) показывает, что момент импульса системы материальных точек относительно полюса изменяется только под действием внешних сил, и скорость изменения этого момента равна векторной сумме моментов внешних сил, действующих на все точки данной системы относительно того же полюса.

Очень часто имеют дело с вращением тела относительно неподвижной оси. Рассмотрим момент импульса некоторой материальной точки A относительно

начала координат, точки О (см. рис.):
(2.36)	LA	= [rr, pr]= [(h + R), pr]=
	O	r	r	r	r
		= [h, pr]+ [R, pr]= LA			+ LA .
		LA	= [R, pr]	h		Z
Величина				называется
моментом		Z		точки		A
		импульса
относительно			неподвижной		оси
OZ.	Соответственно			момент

импульса всего тела относительно точки O будет иметь составляющие вдоль и перпендикулярно оси. Вращаясь в подшипниках, такое тел «бьет», а предоставленное самому себе не будет вращаться вокруг

данной оси. И только при вращении вокруг некоторых осей

- 49 -

направления момента импульса тела LO и угловой скорости ω

совпадают. Предоставленное самому себе тело продолжает вращение. Такие оси называют свободными. В однородном симметричном теле ось симметрии обычно является свободной осью. При вращении около такой оси каждой точке A (см. рис.) найдется симметричная точка B , так что суммарный момент импульса тела будет направлен вдоль оси и равен

(2.37)

r

n

r

]=

n

r

m υr ]=

L =

∑[R , pr

∑[R ,

Z

i

i

i=1

i

i i

i=1

m R2 ,

= ∑[R , m

[ωr, R ]]= ωr ∑

n r

r

n

r

i

i

i

i i

i=1

i=1

причем это выражение тем точнее, чем

больше

n

и

меньше

mi

17.

Назовем

величину

n

r

(2.38)

JZ =

lim

∑ mi Ri2 = ∫ R2dm

mi →0 i=1

m

n→∞

моментом

инерции

тела

относительно

неподвижной оси OZ. Тогда

LZ = JZωr,

и

основное уравнение

динамики вращательного движения для тела относительно неподвижной оси имеет вид:

(2.39)	r внеш	=	d(JZω)	,
	MZ		dt

где MZвнеш −главный момент относительно неподвижной оси ОZ.

Итак, скорость изменения во времени момента импульса тела

относительно неподвижной оси равна главному внешнему моменту сил относительно этой же оси.

Между поступательным и вращательным движениями можно установить достаточно глубокую аналогию. Так, соответствуют друг другу линейная и угловая скорости, линейное и угловое ускорения, малые перемещения и углы поворота, основные законы поступательного и вращательного движений; роль силы во вращательном движении играет момент силы, вместо импульса присутствует момент импульса. Закону сохранения импульса соответствует закон сохранения момента импульса (см. §8 этой

17 [R ,[ωr	, R	]]= R2ωr − (ωrR )R , нас интересует только		R2ωr
i	i	i	i i	i
			- 50 -