физика механика

Перейдем к определению третьей космической скорости

υ3 , то есть минимальной скорости, которую нужно сообщить телу

вблизи поверхности Земли, чтобы оно смогло покинуть пределы Солнечной системы.

Будем рассуждать следующим образом. Забудем на время о земном тяготении и найдем минимальную скорость υ , которую нужно сообщить телу, находящемуся от Солнца на расстоянии RC 30, равному радиусу земной орбиты (среднему расстоянию от

Земли до Солнца), чтобы оно смогло преодолеть притяжение Солнца. Эту скорость легко найти из закона сохранения энергии, приводя аналогичные рассуждения тем, которые предшествовали выводу формулы (3.30). Нужно потребовать, чтобы сумма

кинетической энергии тела m2υ2 и его потенциальной энергии в поле тяготения Солнца (земным тяготением мы пока

пренебрегаем!) − γmMC 1 равнялась нулю: тело должно

RC

оставаться на бесконечно большом расстоянии от Солнца, где его потенциальная энергия обращается в нуль. Тогда находим, что эта «промежуточная» скорость υ равна:

(3.31) υ =	2γ	MC ≈ 42,1	км.
		R	с
		C

При этом тело удалится на бесконечность независимо от того, в каком направлении сообщена ему скорость υ .

Очевидно, полученная скорость υ в 2 раз больше скорости υорб орбитального движения Земли вокруг Солнца (Земля может

рассматриваться как спутник Солнца, следовательно, по аналогии могут быть применены формулы, аналогичные выражениям (3.27) и (3.30)). Таким образом, попутно найдена скорость орбитального движения Земли вокруг Солнца:

(3.32) υорб = γ	MC ≈ 29,8	км.
	RC	с

30См. приложение 1 в конце книги

-71 -

Теперь наша задача свелась к тому, чтобы использовать найденную скорость орбитального движения υорб при

определении искомой скорости υ3 . Для этого тело необходимо

запускать в ту же сторону, куда движется Земля по орбите. Тогда нашему телу нужно сообщить добавочную скорость, равную

(3.33) υ −υорб = ( 2 −1) γ	MC .
	RC

Наконец, необходимо сделать последний шаг в наших рассуждениях: сообразить, что скорость (υ −υорб) тело должно

иметь после того, как оно преодолеет притяжение к Земле.

Поэтому

сумма кинетической энергии тела при запуске

mυ32

и

2

1

потенциальной энергии на поверхности Земли

−γmM з

должна

R

з

равняться

его

кинетической энергии движения со

скоростью

(υ −υорб)после преодоления земного тяготения:

(3.34)

mυ32 − mgRз = γ

m( 2 −1)2 MC

,

откуда

2

2RC

2gR + γ ( 2 −1)2 MC

(3.35)

υ

3

=

≈ 16,7 км.

з

RC

с

Ответ получен, но закономерен вопрос: почему рассуждения проводились в два этапа? Другими словами, почему закон сохранения энергии использовался дважды – сначала для процесса выхода тела из поля тяготения Солнца, а затем – из поля тяготения Земли? Нельзя ли применить закон сохранения энергии один раз ко всему процессу в целом, потребовав, чтобы полная энергия тела, то есть сумма его кинетической и потенциальной энергий в полях тяготения Земли и Солнца равнялась нулю? При этом надо учесть, что тело движется по орбите Земли вокруг Солнца с орбитальной скоростью, увеличенной на величину третьей

космической скорости, то есть (υорб +υ3 ):
(3.36)	m(υорб +υ3 )2			mM	C = 0
			− mgRз − γ	RC		,
	2
		- 72 -

откуда после замены второго и третьего слагаемых соответствующими слагаемыми из формул (3.29) и (3.31) получим

(3.37) (υорб +υ3 )2 =υ22 +υ2 .

Прямая подстановка числовых значений соответствующих скоростей обнаруживает небольшое расхождение правой и левой частей в выражении (3.37):

(29,8 +16,7)2 ≠ 11,22 + 42,12 , или

2162,25 ≠ 1897,85 .

Очевидно, это связано с тем, что мы не учитывали изменение кинетической энергии Земли при удалении от нее запущенного тела. Другими словами, присутствие поля тяготения Земли (пока тело не освободилось от ее влияния) требует наличия у тела дополнительной кинетической энергии. Пренебрегая этим влиянием, мы получили бы заниженное значение третьей космической скорости: 13,7 км/с вместо 16,7 км/с.

***** Глава3. §6 *****

§7. Абсолютно упругий и неупругий удары

§7.1. Понятиеомеханическомударетел

Ударом называется столкновение тел, при котором за весьма малый промежуток времени происходит значительное изменение скоростей тел.

Линией удара называется общая нормаль, проведенная к поверхностям двух соударяющихся тел в месте их соприкосновения при ударе. Удар называется центральным, если в момент удара центры инерции сталкивающихся тел находятся на линии удара. Примером такого удара может служить удар двух одинаковых шаров. Удар называется прямым, если скорости центров инерции сталкивающихся тел перед ударом направлены параллельно линии удара. В противном случае удар называется

косым.

При ударе тела деформируются, и в месте их соприкосновения возникают кратковременно действующие, но весьма значительные силы, называемые ударными силами. Для системы соударяющихся тел эти силы являются внутренними, то есть ударные силы не изменяют суммарного импульса системы

- 73 -

(ударные реакции связей при ударе не возникают!). Поэтому, хотя импульсы ударных сил за время τ продолжительности удара соизмеримы с импульсами сталкивающихся тел, результирующий импульс всех постоянно действующих внешних сил за тот же промежуток времени τ мал по сравнению с импульсами рассматриваемых тел. Соответственно и работа внешних сил над системой за время τ мала по сравнению с механической энергией системы. Таким образом, систему тел в процессе их соударения можно приближенно считать замкнутой системой, а при расчете результатов удара пользоваться фундаментальными законами сохранения импульса, момента импульса и энергии. Если при ударе тела деформируются как вполне упругие, то ударные силы потенциальны, и в системе выполняется закон сохранения механической энергии.

Удар двух тел называется абсолютно неупругим, если после удара оба тела движутся как одно целое либо покоятся. При неупругом ударе в соударяющихся телах происходят различного рода процессы такие, как пластическая деформация, трение и другие, в результате которых кинетическая энергия системы частично преобразуется во внутреннюю энергию соударяющихся тел. В этом случае выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения суммарной энергии различных видов.

Удар двух тел называется абсолютно упругим, если при этом ударе механическая энергия системы не изменяется, то есть тела являются абсолютно упругими. При таком ударе кинетическая энергия переходит полностью или частично в потенциальную энергию упругой деформации. Потенциальная энергия деформации переходит затем в кинетическую энергию движения. Данный процесс перехода одного вида энергии в другой осуществляется до тех пор, пока тела контактируют друг с другом. Идеально упругому удару соответствует полное восстановление формы соударяющихся тел. Время соударения зависит от упругих констант материала, их относительной скорости в момент, непосредственно предшествующий удару, и от их масс. Величины и направления скоростей тел после удара определяется на основе двух законов сохранения: полной механической энергии и полного импульса системы тел.

§7.2. Абсолютноупругийпрямойцентральныйудардвухтел

Рассмотрим абсолютно упругий центральный удар двух

- 74 -

шаров с массами m1 и m2 , которые перед ударом движутся
поступательно со скоростями υ1 и υ2 вдоль проходящей через их
центры инерции оси OX (см. рис. ниже). Скорости шаров после
удара	можно	найти		из		замкнутой	системы		уравнений
(относительно скоростей				u1	и	u2 ), которые выражают				законы
сохранения
	а) До удара					б) После удара
		m1		m2		m1	m2
	.	υ			O
			υ			u	u	X
		1		2 .		1	2
	O			X
	Абсолютно упругий прямой цетральный удар

импульса и механической энергии:
(3.38)	m υ	+ m υ
	1 1	2 2
	r2	r2
(3.39)	m1υ1	+ m2υ2

=m1u1 + m2u2 ,

=m1ur12 + m2ur12 ,

или в проекциях на ось ОХ:
(3.40)	m υ	+ m υ		= m u	+ m	u	2 x	,
	1 1x	2 2 x		1 1x	2
	2		2	2			2
		+ m2υ
(3.41)	m1υ1x		2 x	= m1u1x	+ m2u1x .

Скорости u1 и u2 направлены вдоль оси ОХ (знаки скоростей определяются соотношениями масс шаров и исходных

	скоростей):			= (m1 − m2 )υ1x + 2m2υ2 x ,
	(3.42)	u
		1x			m1 + m2
					(m2 − m1 )υ2 x + 2m1υ1x
	(3.43)	u	2 x	=		.
					m1 + m2

В частности, если массы шаров одинаковы, то при ударе тела обмениваются скоростями: u1x =υ2 x и u2 x =υ1x .

Другой важный частный случай: если масса второго шара намного больше массы первого шара, то u1x ≈ 2υ2 x −υ1x и

u2 x ≈υ2 x .

§7.3. Абсолютноупругийкосойцентральныйудардвухшаров

Если шары гладкие, то импульсом сил трения при ударе можно пренебречь. В таком случае не изменяются касательные

- 75 -

составляющие скоростей шаров (см. рис. ниже), то есть

составляющие,

перпендикулярные

к линии удара:

u1τ =υ1τ

и

u2τ =υ2τ . Нормальные составляющие, направленные вдоль линии

удара, изменяются также, как при прямом ударе:

(3.44)

u

= (m1 − m2 )υ1n + 2m2υ2n ,

1n

m1

+ m2

= (m2 − m1 )υ2n + 2m1υ1n .

(3.45)

u

2n

m1

+ m2

В частности, при абсолютно упругом косом ударе гладкого

шара

о неподвижную

Абсолютно упругий косой центральный удар:

плоскую

стену

положение шаров до удара

(

υ1τ

m2 >> m1 , u2 =υ2 = 0

υ1n

)

u1τ =υ1τ

и

m1 .

υ

u1n = −υ1n ,

то

есть

.

шар

отскакивает

от

стены

по

закону

υ2

.

m

2

зеркального

υ2n

отражения:

угол

линия действия удара

падения

равен

углу

υ2τ

отражения. Численное

значение

скорости

p

сохраняется.

Вектор

изменения

импульса

шара

в процессе удара

направлен

перпендикулярно стене:

(3.46)

p = m1 (u1n −υ1n )= −2m1υ1n .

***** Глава3. §7 *****

- 76 -

Глава4.

Специальная теория относительности31

§1. Введение. Основные понятия

Специальная теория относительности (ее часто называют также частной теорией относительности) представляет собой современную физическую теорию пространства и времени. Специальная теория относительности и квантовая механика служат теоретической базой современной физики и техники (например, ядерной физики, физики элементарных частиц, современной космологии и т.д.), а также основой современного мировоззрения.

Специальную теорию относительности (СТО) часто называют релятивистской теорией, а специфические явления, описываемые этой теорией, − релятивистскими эффектами. Как правило, релятивистские эффекты проявляются при движении тел со скоростями, близкими по величине к скорости света в вакууме

с = 3 108 м/с и называемыми релятивистскими скоростями. Релятивистской механикой называется механика движений с релятивистскими скоростями, основанная на специальной теории относительности.

В специальной теории относительности так же, как и в классической ньютоновской механике, предполагается, что время однородно32, а пространство однородно и изотропно.

СТО была создана А.Эйнштейном в 1905 году. Основу его теории составляют два постулата33. Один из них − принцип относительности Галилея, установленный итальянским ученым Г.

31РАЗДЕЛ РЕЛЯТИВИСТКОЙ МЕХАНИКИ (см. главу 0)

32Понятие однородности и изотропности в физике см. в§8 главы 2

33Постулат – исходное положение, допущение, принимаемое без доказательств

-77 -

Галлием еще в 1636 году для тел, движущихся со скоростями,

много меньшими скорости света в вакууме. Однако Эйнштейн

обобщил этот принцип на любые физические процессы.

Прежде чем заняться изучением СТО, вспомним некоторые

важные понятия, касающиеся принципа относительности.

●

Инерциальная система отсчета

Система

отсчета,

относительно

которой

любое

невзаимодействующее с другими телами тело сохраняет

свое состояние движения (покоя), то есть не меняет

направление и величину своей скорости.

●

Преобразования Галилея

(x′, y′, z′)

Преобразования,

связывающие координаты

и

(x, y, z), скорости υr′

и υ , ускорения a′

и a произвольной

материальной точки, определенные относительно двух

инерциальных систем отсчета,

и дополненные принципом

постоянства течения времени в подвижной Σ′ и

неподвижной

Σ

системах

координат.

При

этом

Σ′

движется со скоростью u относительно Σ,

как показано на

рисунке:

Σ

Σ

Y

Y

u*t

O

.

u

X

O

.

.

X

Z

Z

ДВИЖЕНИЕ ИНЕРЦИАЛЬНОЙ СИСТЕМЫ Σ

ОТНОСИТЕЛЬНОЙ НЕПОДВИЖНОЙ СИСТЕМЫ Σ

(в момент времени t=0 оси координат в обеих системах совпадают)

(4.1)

x′ = x − u

t;

y′ = y;

z′ = z ;

t′ = t;

r

r

r

r

r

υ′

=υ

− u;

a′

= a .

- 78 -

′	x = x′ + u t;		y′ = y;		z′ = z ;	t′ = t;
(4.1 )		r	r	r	r r
		υ	=υ	′ + u;	a′ = a .

●Принцип относительности Галилея

Законы механики имеют одинаковый вид во всех инерциальных системах отсчета; свойства пространства и времени одинаковы. В классической механике движение материальной точки определяется вторым законом Ньютона (см. §4 главы 2).

●Относительное движение 34

Движение тела (материальной точки) по отношению к относительной системе отсчета.

●Относительная скорость υотн

Скорость одной материальной точки относительно другой в
некоторой инерциальной системе отсчета:
(4.2)	υотн =υ21 =υ2 −υ1 или υотн =υ12 =υ1 −υ2 .

●Величина относительной скорости υотн

(4.3) υотн =υ21 =υ12 .

***** Глава4. §1 *****

§2. Постулаты СТО

Первый постулат является обобщением механического принципа относительности Галилея на любые физические процессы. Этот постулат, называемый принципом относительности, или релятивистским принципом относительности Эйнштейна, гласит: в любых инерциальных системах отсчета все физические явления при одних и тех же условиях протекают одинаково. Иначе говоря, принцип относительности утверждает, что физические законы независимы (инвариантны) по отношению к выбору инерциальной системы отсчета: уравнения, выражающие эти законы, имеют одинаковую форму во всех инерциальных системах отсчета. Следовательно, на основе любых физических экспериментов, проведенных в

34 Понятие «абсолютное движение» не имеет смысла, так как не существует абсолютной системы отсчета

- 79 -

замкнутой системе тел, нельзя установить, покоится эта система или движется равномерно и прямолинейно (относительно какойлибо инерциальной системы отсчета). В физике все инерциальные системы отсчета совершенно равноправны. Основываясь на физических экспериментах, нельзя выбрать из множества инерциальных систем отсчета какую-то главную («абсолютную») систему отсчета, обладающую какими-либо качественными отличиями от других инерциальных систем отсчета.

Второй постулат выражает принцип инвариантности скорости света: скорость света в вакууме не зависит от движения источника света. Она одинакова во всех направлениях и во всех инерциальных системах отсчета, являясь одной из важнейших физических постоянных. Опыты показывают, что скорость света в вакууме с − предельная скорость в природе. Скорость любых частиц и тел, а также скорость распространения любых взаимодействий и сигналов не может превосходить с.

Указанные специфические закономерности процесса распространения света в вакууме позволяют использовать этот реальный физический процесс для установления процедуры хронометризации системы отсчета, т.е. синхронизации часов, расположенных в разных точках пространства и перемещающихся вместе с рассматриваемой системой отсчета.

Постулаты специальной теории относительности противоречат тем представлениям о свойствах пространства и времени, которые приняты в классической механике и отражены в преобразованиях Галилея. Прежде всего, это относится к скорости распространении взаимодействий: в преобразованиях Галилея они протекают мгновенно, то есть нет никаких ограничений на скорость их распространения (на это мы будем обращать внимание в конце §4).

Далее, это относится к считающемуся в механике Ньютона «само собой разумеющимся» утверждению об одинаковости хода времени во всех инерциальных системах отсчета и, следовательно, об абсолютности промежутка времени между какими-либо двумя событиями. Например, если два события происходят одновременно по часам в одной инерциальной системе отсчета, то они, согласно классическим представлениям, совершаются также одновременно по часам в любой другой инерциальной системе отсчета.

- 80 -