физика механика

	Оно равно отношению пройденного за время								t пути к числу
	соударений за это время.
	Тогда имеем57:				1				kT .
	(5.92) l =υ t z		t =υ z =				=
				π	2d 2n			π
									2d 2 p
		*****	Глава5. §14 *****

57Средняя длина свободного пробега l для большинства газов при нормальных условиях составляет ~10-7 м

-151 -

Глава6.

Основы теории колебаний и волн

§1. Введение

§1.1. Понятие о колебательном процессе и гармонических колебаниях

Колебаниями называются процессы движения либо изменения состояния, в той или иной степени повторяющиеся во времени. Система, совершающая колебания, называется колебательной системой. В зависимости от физической природы колебательного процесса различают три типа колебаний:

механические колебания – колебания маятников, струн, частей машин и механизмов, различных зданий и сооружений, давления воздуха при распространении в нем звука, и т.п.;

электромагнитные колебания – колебания переменного

электрического тока в цепи, колебания заряда в замкнутом колебательном контуре и т.д.;

электромеханические колебания – колебания диффузора

электродинамического громкоговорителя, колебания мембраны телефона и т.п.

В зависимости от «механизма» возбуждения колебательного процесса колебания бывают свободными (собственными) или вынужденными. Свободными называют колебания, которые происходят в отсутствие переменных внешних воздействий на колебательную систему и возникают вследствие какого-либо начального отклонения этой системы от положения ее устойчивого равновесия (например, колебания шарика, подвешенного в поле земного тяготения на длинной нерастяжимой нити). Вынужденными считают колебания, которые возникают в какой-либо системе под влиянием переменного внешнего воздействия (например, колебания силы тока в электрической цепи, вызываемой переменной электродвижущей силой).

Колебания называются периодическими, если значения всех

изменяющихся	физических	величин,	характеризующих
		- 152 -

колебательную систему, повторяются через равные промежутки времени. Наименьший промежуток времени T , удовлетворяющий этому условию, называется периодом колебаний. За период колебаний T система совершает одно полное колебание. Частотой периодических колебаний называют величину ν = 1T ,

равную числу полных колебаний, совершающихся в единицу времени (такое число может быть дробным!). Циклической, или круговой, частотой периодических колебаний называется величина ω = 2πν = 2πT , равная числу полных колебаний,

совершающихся за 2π единиц времени.

При периодических колебаниях зависимость колеблющейся физической величины s (угла отклонения от положения

равновесия, смещения от равновесного состояния,		величины
заряда или тока в цепи и т.д.) от времени	t удовлетворяют
условию s(t +T )= s(t ).	s(t)
Периодические колебания величины		называют

гармоническими, если эта величина изменяется во времени по закону синуса или косинуса:

(6.1)	s(t)= Asin(ωt +α0 ) или	s(t)= Acos(ωt +α1 ),
где ω − циклическая частота колебаний,		t − текущее время,

A = smax = const > 0 −амплитуда колебаний, максимальное

значение колеблющейся величины,

(ωt +α0 ) или (ωt +α1 )− фаза колебаний, α0 или α1 − начальная фаза колебаний.

Гармонически колеблющаяся величина s удовлетворяет дифференциальному уравнению

(6.2)	d2s	+ω2s = 0 .
	dt2

В этом нетрудно убедиться прямой подстановкой в уравнение (6.2) соответствующих величин, если предварительно найти вторую производную величины s по времени t .

Общее решение, как было уже отмечено, приводится к стандартному виду (6.1), где величины A и α0 находятся из

начальных условий (системы двух уравнений с двумя неизвестными величинами):

- 153 -

(6.3)	A1 = s(0)= Asinα0 ,
		ds
	A2				= ωAcosα0 .
(6.4)		=
		dt		t =o

Таким образом, величина s совершает гармонические колебания в том и только в том случае, если она удовлетворяет уравнению (2), называемому дифференциальным уравнением гармонических колебаний.

§1.2. Механическиегармоническиеколебания

Если

материальная

точка

(МТ) совершает прямолинейные

периодические колебания МТ

гармонические

колебания

вдоль

около положения равновесия

декартовой

оси координат ОХ

.

.

.

около

положения

равновесия,

Fx

υ

X

O i

x

принятого

за

начало

координат

(см. рис.), то зависимость координаты x точки от времени t

имеет

вид ( s = x )58:

(6.5)

x = Asin(ωt +α0 ).

Проекции скорости υr и ускорения a точки на ось ОХ равны:

(6.6)

υx =υ0 cos(ωt +α0 ),

′

(6.6 ) ax = −a0 sin(ωt +α0 ),

где υ0 = Aω и a0 = Aω2 = ωυ0 −амплитуды скорости и ускорения

соответственно.

Согласно второму закону Ньютона сила, действующая на материальную точку, равна

(6.7)	r		′	Fx = −mω	2	x,
	F = ma,		(6.7 )

где m −масса материальной точки.

Следовательно, в общем случае сила F пропорциональна смещению материальной точки из положения равновесия и направлена в противоположную сторону:

где ir	(6.8) F = −mω2 xi ,
	−единичный орт оси ОХ.

58 Такие колебания совершает гармонический осциллятор (груз массы m, прикрепленный к абсолютно упругой пружине и находящийся на гладком горизонтальном столе)

- 154 -

§1.3. Энергияколебаний

Кинетическая энергия материальной точки, совершающей

прямолинейные гармонические колебания, равна с учетом (6.6):

(6.9)

W

= mυ2 = mυ02 cos2 (ωt +ϕ

0

)

= mω2 A2 cos2 (ωt +ϕ

0

)

,

к

2

2

2

или

= mω2 A2 [1 + cos(2ωt + 2ϕ

(6.10)

W

0

)].

к

4

Кинетическая энергия материальной точки периодически

изменяется от 0 до mω2 A2

2, совершая гармонические колебания

с циклической частотой 2ω

и

амплитудой

mω2 A2 4

около

среднего значения, равного mω2 A2

4.

Потенциальная энергия материальной точки, гармонически

колеблющейся под действием квазиупругой силы59, равна

(6.11)

W = −

x

F

dx = mω

2

x

2

2

A

2

(ωt +ϕ

),

∫

x

= mω

sin2

0

п

2

2

или

0

= mω2 A2

(6.12)

W

[1 − cos(2ωt + 2ϕ

0

)]=

п

4

= mω2 A2

[1 + cos(2ωt + 2ϕ0 + π )].

4

Потенциальная

энергия материальной точки

периодически

изменяется

от

0

до

mω2 A2

2,

Графики зависимости кинетической Wк,

совершая

потенциальнойWп

и полной энерги W от времени

гармонические

Wк , Wп , W (ϕ0 =0)

колебания

с

W

циклической

Wк

частотой

2ω

и

m ω2A 2

амплитудой

2

mω2 A2 4

около

.

.

.

.

Wп

среднего значения,

t

равного

0

T/2

T

3T/2

mω2 A2

4.

59 Квазиупругая сила подчиняется закону Гука (см. §2.2 главы 2)

- 155 -

Колебания потенциальной и кинетической энергии совершаются со сдвигом по фазе на π , так что полная механическая энергия материальной точки в соответствии с законом сохранения энергии (см. §5 главы 3) не изменяется при колебаниях (см. рис.):

(6.13) W =W	+W = mω2 A2		= const.
к	п	2
Пример 1. Линейный гармонический			осциллятор	–

материальная точка массы m , совершающая прямолинейные

гармонические	колебания под действием упругой силы
Frупр = −kxir.	Примером такой системы может служить

пружинный маятник – груз массы m , подвешенный на абсолютно упругой пружине (k – коэффициент, характеризующий упругие свойства пружины). Уравнения движения:

	d 2 x		′	d 2 x		k
(6.14)	m dt2	= −kx, или	(6.14 )	dt2	+		x = 0.
						m
Из решения уравнения (6.14)			в соответствии с уравнением

(6.2) следует, что осциллятор (пружинный маятник) совершает
гармонические	колебания		по	закону	x = Asin(ωt +ϕ0 )		с
циклической частотой ω и периодом T , равными:
(6.15)	ω =	k	и	(6.16)	T = 2π	m .
		m				k

Потенциальная энергия линейного гармонического осциллятора согласно (6.11) в любой момент времени вычисляется по формуле

(6.17)	W =	kx2	.
	п	2
*****	Глава6. §1 *****

§2. Гармонические колебания физического маятника

● Физический маятник

Твердое тело произвольной формы, имеющее возможность качаться под действием его силы тяжести mg (m −масса

маятника, g −ускорение свободного падения) вокруг

- 156 -

неподвижной горизонтальной оси OZ (см. рис.), не проходящей через центр тяжести тела. Эта ось перпендикулярна плоскости рисунка («смотрит на нас») и называется осью качания маятника. Точка O пересечения оси качания маятника с вертикальной плоскостью (плоскостью рисунка), проходящей через центр тяжести маятника (центр инерции), называется точкой подвеса маятника.

В отсутствие сил трения в подвесе движение физического маятника описывается основным уравнением динамики

вращательного

движения (§6.3 главы

.

2):

r

r

M

.

Z

(6.18)

Jε = M ,

ω

ϕ

.O

L

где

J −момент

d l

δ

инерции

маятника

.

п

Z

ϕ

.

р

относительно

оси

ОZ,

C

.

εr = d2ϕr

− угловое

dt2

O

ускорение, t −время,

mg

r

колебания физического маятника:

dϕ −элементарный

L - длина стержня,

вектор

поворота,

lпр - приведенная длина маятника,

d - расстояние от центра масс до точки подвеса,

ϕ −угол

поворота

ω - проекция вектора угловой скорости на ось OZ,

вокруг оси качания,

M - проекция вектора момента сил на ось OZ,

z

O -

точка подвеса маятника,

отсчитываемый

от

C -

центр масс маятника,

положения

O'-

центр качания маятника,

δϕ - проекция вектора поворота на ось OZ.

равновесия,

M −момент силы mg ,

M= −mgd sinϕ − проекция момента силы тяжести на ось ОZ60.

Впроекциях на ось ОZ уравнение (9) имеет вид:

(6.19) J d2ϕ2 = −mgd sinϕ, dt

60 Знак «-» показывает, что проекция векторов M и dϕ на ось OZ всегда имеют противоположные знаки (за положительное направление угла ϕ принято движение вправо)

- 157 -

где d = OC −расстояние от центра инерции до оси качания. При малых колебаниях sinϕ ≈ϕ , и уравнение движения маятника

удовлетворяет дифференциальному уравнению гармонических колебаний (2):

	(6.20)	d2ϕ	+ mgd	ϕ = 0.
		dt2
			J

Таким образом, в отсутствие трения малые колебания физического маятника являются гармоническими, и угол ϕ

изменяется по закону косинуса:

(6.21) ϕ = ϕ0 cos(ωt +α0 ),

где ϕ0 − амплитуда колебаний угла ϕ , а циклическая частота ω и период малых колебаний T равны соответственно:

(6.22) ω =	mgd	и (6.23) T = 2π		J .
	J			mgd
	*****	Глава6. §2 *****

§3. Гармонические колебания математического маятника

● Математический маятник

Материальная точка, подвешенная на невесомой нерастяжимой нити и совершающая колебания в вертикальной плоскости под действием силы тяжести. Математический маятник представляет собой предельный случай физического маятника, вся масса которого сосредоточена в его центре инерции, так что d = l −длина математического маятника. Момент инерции такого маятника относительно оси качания

равен, очевидно, J = ml 2 . Тогда его циклическая частота ωм и период малых колебаний Tм равны соответственно:

(6.24) ω	м	= g	и	(6.25) T	= 2π l .
		l		м		g

Заметим, что малые колебания физического и математического маятников являются примером изохронных колебаний, то есть колебаний, частоты и периоды которых не зависят от их амплитуд.

- 158 -

Приведенной длиной физического маятника lпр называется

длина математического маятника, имеющего такой же период колебаний:

	(6.26) lпр =	J	= md 2 + JC = d +	JC	> d ,
		md		md
			md

где JC −момент инерции физического маятника относительно

оси, проходящей через центр инерции С маятника и параллельной его оси качания. Точка О1, лежащая на прямой ОС на расстоянии lпр от точки подвеса маятника О (см. рис. «колебания

физического маятника»), называется центром качания физического маятника. Центр качания О1 и точка подвеса О обладают свойством взаимности: если физический маятник подвесить так, чтобы его ось качаний проходила через точку О1, то точка О будет совпадать с его новым положением центра качания маятника, то есть приведенная длина и период колебаний маятника останутся прежними.

***** Глава6. §3 *****

§4. Затухающие колебания

● Затухание колебаний

Постепенное ослабление колебаний с течением времени, обусловленное потерей энергии колебательной системой. Свободные колебания реальных систем всегда затухают. Затухание свободных механических колебаний вызывается главным образом трением возбуждением в окружающей среде упругих волн. Затухание в электрических колебательных системах вызывается тепловыми потерями в проводниках, образующих систему или находящихся в ее переменном электрическом поле, потерями энергии на излучение электромагнитных волн, а также тепловыми потерями в диэлектриках и ферромагнетиках вследствие электрического и магнитного гистерезиса.

Закон затухания колебаний зависит от свойств колебательной системы. Система называется линейной, если параметры, характеризующие существенные в рассматриваемом процессе физические свойства системы, не изменяются в ходе процесса. Линейные системы описываются линейными

- 159 -

дифференциальными уравнениями. Например, пружинный маятник, движущийся в вязкой среде, представляет собой линейную систему, если коэффициент сопротивления среды и упругость пружины не зависят от скорости и смещения маятника. Электрический колебательный контур можно считать колебательной системой, если его электрическое сопротивление R, электроемкость C и индуктивность L не зависят ни от тока в контуре, ни от напряжения. В большинстве случаев реальные колебательные системы достаточно близки по своим свойствам к линейным.

Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний линейной системы имеет вид:

(6.27)	d 2s	+ 2β ds	+ ω02s = 0.
	dt2	dt

Здесь s – изменяющаяся при колебаниях физическая характеристика системы,

β = const > 0 – коэффициент затухания,

ω0 – циклическая частота свободных незатухающих

колебаний той же системы, то есть в отсутствие потерь энергии (при β = 0).

Пример 2. Свободные затухающие колебания пружинного маятника. На маятник массы m , совершающий прямолинейные колебания вдоль оси OX под влиянием силы упругости пружины, действует также сила сопротивления Fсопр = −bυ , где υ –

скорость маятника, а b = const > 0 – коэффициент сопротивления. Дифференциальное уравнение свободных затухающих колебаний маятника

(6.28)	m	d 2 x		= −b	dx	′	d 2 x	+ 2β	dx	2
		dt	2		dt	− kx, или (6.28 )	dt2		dt	+ ω0 x = 0,

где β = b2m и ω0 = k m .

Решение уравнения (6.27) имеет два случая.

Случай 1: затухание не слишком велико (β < ω0 )61.

Тогда зависимость s от t , удовлетворяющая уравнению затухающих колебаний, имеет вид:

(6.28) s = A0e−β t sin(ωt +ψ0 ),

61 Наиболее часто рассматриваемый случай

- 160 -