3. Примеры задач, предлагаемых в контрольных работах, на экзамене.

Раздел 1

1. Дать формальное (с использованием таблицы истинности посылок и заключения) доказательство теоремы:

Дано: Если не готовиться к экзамену – получишь двойку.

Если получишь двойку – не будет стипендии.

Доказать: Если не готовиться к экзамену – не будет стипендии.

2. Используя метод математической индукции, доказать, что для геометрической прогрессии (т.е. последовательности ) сумма первыхn членов равна .

3. 60% студентов читают журнал «Огонек», 50% ‑ «Урал», 50% ‑ «Юность», 30% ‑ журналы «Огонек» и «Урал», 20% ‑ «Урал» и «Юность», 30% ‑ «Огонек» и «Юность», 10% ‑ все три журнала. Сколько студентов читают какие-нибудь два журнала? Сколько не читают ни одного?

4. Построить отображение отрезка [-1, 1] в отрезок [0, 1], так, чтобы это отображение: а) было взаимно однозначным соответствием; б) не было взаимно однозначным соответствием.

5. Доказать, что множество всех правильных многоугольников является бесконечным.

6. Исследуйте бинарное отношение (x,y) , x+y=8 , на множестве X={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Является ли данное отношение рефлексивным, симметричным, транзитивным, антисимметричным?

7. Дано множество X={-4,-3,-2,1,2,3}. Доказать, что следующее отношение (x,y), ‑ есть отношение эквивалентности, и построить соответствующее разбиение множества X на классы эквивалентности.

8. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность сходятся к числу 0.

9. Показать, используя определение предела последовательности, что последовательность сходится к 1.

10. Найти предел последовательности .

11. Найти предел последовательности .

12. Найти предел .

13. Пусть последовательность - ограничена,- бесконечно большая. Доказать, что последовательностьбесконечно малая.

14. Дана f(x) = 2x² + x - 3. Построить графики y = f(x) , y = |f(x)|. При каких значениях параметра а уравнение |f(x)| = a имеет четыре корня?

15. Дана функция Построить ее график; решить неравенство y<0; решить уравнение |y-1| = 1.

16. Построить график функции .

17. Используя определение предела функции (на языке последовательностей) найти .

18. Найти предел .

19. Найти предел .

20. Пусть

При каком выборе числа функция будет непрерывной в точке?

21. Доказать, что уравнение имеет точно один корень на отрезке [1, 2].

22. Доказать, что уравнение имеет один положительный корень, меньший 1.

23. Пусть . Найти приращение функциии отношениев точкеесли а), б), в), г), д), е). Объяснить результаты.

24. Используя определение производной найти производную функции .

25. В каких точках угловой коэффициент касательной к кубической параболе равен 12 ?

26. На параболе взяты две точке с абсциссамии. Через эти точки проведена секущая. В какой точке параболы касательная к ней будет параллельна проведенной секущей?

27. Найти производную для функции . Найти третью производную для функции.

28. Функции спроса q и предложения s от цены p имеют вид q=7-p, s=p+1. Найти равновесную цену, эластичности спроса и предложения для этой цены, изменение спроса, предложения и дохода (в %) при увеличении цены на 5% от равновесной.

29. На сколько процентов изменится (приближенно) площадь круга, если его радиус изменится на 1% ?

30. Из трех досок одинаковой ширины сколачивается желоб для подачи воды. При каком угле наклона боковых стенок к днищу желоба площадь поперечного сечения желоба будет наибольшей?

31. В треугольник с основанием a и высотой h вписан прямоугольник, основание которого лежит на основании треугольника, а две вершины – на боковых сторонах. Найти наибольшую площадь вписанного прямоугольника.

32. Исследовать функцию и построить ее график: .

33. Исследовать функцию и построить ее график: .

34. Исследовать функцию и построить ее график: .

35. Исследовать функцию и построить ее график: .

36. Исследовать функцию и построить ее график: .

37. Вычислить неопределенный интеграл .

38. Используя метод замены переменной, вычислить неопределенные интегралы: а) ; б).

39. Используя метод интегрирования по частям, вычислить неопределенные интегралы: а) ; б).

40. Вычислить определенные интегралы: а) ; б); в).

41. Найти область определения функции двух переменных .

42. Построить линии уровня для функции .

43. Построить линии уровня для функции .

44. Найти предел функции в точке М(0,0).

45. Доказать, что функция не имеет предела в точке М(0,0).

46. Найти частные производные функций: а) ; б).

47. Для функции найти частные производные второго порядка.

48. Зависимость объема производства от капитальных затрати затрат трудаописывается функцией Кобба-Дугласа. Найти дифференциал и частные эластичности этой функции. Пусть; на сколько процентов изменится объем производства, если капитальные затраты увеличить на 4%, а затраты труда снизить на 2%?.

49. Пусть . Найти.

50. При условии постоянства объема производства неявная зависимость затрат труда от капитальных затратописывается соотношением. Рассчитать производную. Какой она имеет смысл?

51. Найти экстремумы функции .

52. Найти экстремумы функции .

53. Найти экстремумы функции .

54. Найти экстремумы функции .

55. Найти максимум функции Кобба-Дугласа при условии.

56. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области.

57. Найти наибольшее и наименьшее значения функции в области.

58. Рассчитать двойной интеграл , если область.

59. Рассчитать двойной интеграл , если областьD ограничена линиями .

60. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

61. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

62. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальному условию.

63. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

64. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.

65. Найти общее решение дифференциального уравнения , а также его частное решение, удовлетворяющее начальным условиям.