- •Е.А. Калиберда е.П. Яхина анализ эффективности информационных систем
- •Предисловие
- •Введение
- •Экономические методы оценки эффективности ис
- •1.1. Финансовые методы оценки эффективности
- •Статические методы оценки Метод окупаемости
- •Метод «затраты - прибыль»
- •Динамические методы оценки Метод чистой текущей стоимости (npv)
- •Метод индекса рентабельности (pi)
- •Метод внутренней нормы доходности (irr)
- •1.2. Затратные методы оценки эффективности ис
- •Совокупная стоимость владения
- •Невидимые затраты
- •Неконтролируемые затраты
- •Первоначальные затраты
- •1.3. Комплексные методы оценки эффективности ис Система сбалансированных показателей (Balanced Scorecard)
- •1.4. Пример расчета затрат на информационную систему
- •2. Элементы теории вероятности
- •2.1. Формулы комбинаторики
- •2.2. Случайная величина
- •Свойства математического ожидания
- •Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях
- •2.3. Биноминальное распределение
- •2.4. Распределение Пуассона
- •2.5. Экспоненциальное распределение
- •2.6. Простейший поток событий
- •3. Качество и эффективность информационных систем Методы оценки качества
- •3.1. Показатели качества программного изделия
- •Количественные показатели функциональных возможностей программного изделия
- •Количественные показатели эффективности программного изделия
- •Количественная оценка безопасности информационной системы
- •3. 2. Основные понятия теории надёжности
- •Определение надёжности программного изделия
- •Основные количественные показатели надёжности
- •3.3. Примеры оценки основных показателей качества
- •4. Тестировапние программных проодуктов Понятие тестирования
- •Роль тестирования в процессе разработки программ
- •4.1. Различные подходы к тестированию (черный ящик, белый ящик)
- •4.2. Смежные вопросы тестирования
- •Заключение
- •Библиографический список
- •ПриложенИя
- •Работы, выполняемые разработчиками постановки задачи
- •Работы, выполняемые разработчиками постановки задачи
- •Работы, выполняемые разработчиками постановки задачи
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной
(2.10)
2. Постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания:
(2.11)
3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
(2.12)
Пример 3
Независимые случайные величины Х и У заданы следующими законами распределения:
Х 5 2 3 У 7 9
Р 0.6 0.1 0.3 р 0.8 0.2
Найти математическое ожидание величины ХУ.
Решение:
Найдём математическое ожидание каждой из данных величин:
Математическое ожидание числа появления события в независимых испытаниях
Пусть производится n независимых испытаний в каждом из которых вероятность появления события А постоянна и равна p. Чему равно среднее число появлений события А в этих испытаниях?
Теорема
Математическое ожидание М(Х) числа появления события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании:
. (2.13)
Пример 4
Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия . Найти математическое ожидание общего числа попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.
Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание
.
Если - случайная величина, то функция
(2.14)
называется функцией распределения случайной величины . Здесь -- вероятность того, что случайная величинапринимает значения, не превосходящие числа.
Функция распределения любой случайной величины обладает следующими свойствами:
определена на всей числовой прямой R;
не убывает, т.е. если, то;
,,т.е. и
непрерывна справа, т.е.
Функция распределения содержит всю информация об этой случайной величине и поэтому изучение случайной величины заключается в исследовании ее функции распределения, которую часто называют просто распределением. Так что, когда говорят о нормальном распределении, то подразумевают случайную величину, имеющую нормальную функцию распределения.
У дискретной случайной величины функция распределения ступенчатая.
Пример 5
Случайная величина принимает значение числа очков, выпавшее при однократном бросании кости. Определим ее функцию распределения :
Если - дискретная случайная величина, принимающая значенияс вероятностями, то таблица вида
|
|
|
... |
|
... |
|
|
|
... |
|
... |
называется распределением дискретной случайной величины.
Вероятность того, что значение случайной величины попадает в интервалвычисляется для дискретной случайной величины по формуле:
(2.15)
2.3. Биноминальное распределение
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Вероятность наступления события во всех испытаниях постоянна и равна p (следовательно, вероятность непоявления ). Рассмотрим в качестве дискретной случайной величиныХ число появлений события А в этих испытаниях.
Поставим перед собой задачу: найти закон распределения величины Х. Для её решения требуется определить возможные значения Х и их вероятности. Очевидно, событие А в n испытаниях либо появится 1 раз, либо 2 раза, …, либо n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: . Остаётся найти вероятности этих возможных значений, для чего достаточно воспользоваться формулой Бернулли:
, (2.16)
где k=0, 1, 2, …, n.
Данная формула и является аналитическим выражением искомого закона распределения.
Распределение, определяемое формулой Бернулли называют биноминальным. Потому что правую часть равенства можно рассматривать как общий член разложения бинома Ньютона.
. (2.17)
Таким образом, первый член разложения определяет вероятность наступления рассматриваемого события n раз в n независимых испытаниях; второй членопределяет вероятность наступления событияраз; …; последний членопределяет вероятность того, что событие не появится ни разу.
Напишем биноминальный закон в виде таблицы:
X n n-1 … k … 0
Р ……
Математическое ожидание для биноминального распределения имеет вид:
, (2.18)
Пример 6
Монета брошена 2 раза. Написать в виде таблицы закон распределения случайной величины Х – числа выпадений «герба».
Решение:
Вероятность появления герба в каждом бросании монеты , следовательно вероятность непоявления герба.
При бросании монеты «герб» может появиться либо 2 раза, либо 1 раз, либо совсем не появиться. Таким образом, возможные значения Х таковы: . Найдём вероятности этих возможных значений по формуле Бернулли:
Напишем искомый закон распределения:
Х 2 1 0
Р 0.25 0.5 0.25.