Поверхностная электромагнитная волна

Здесь также рассматривается граница раздела двух сред с различающимися вещественными диэлектрическими проницаемостями и. Однако, теперь мы интересуемся не отражением однородной плоской волны, а возможностью распространения излучения вдоль границы раздела сред, так что поле убывает при удалении от этой границы. Такие поверхностные волны возможны только дляp-поляризации излучения, поэтому решению подлежит уравнение (6). В первой среде соответствующее решение (6)

(13.30)

Во второй среде

(13.31)

На границе раздела сред () непрерывными должны бытьH (что при записи (30) и (31) выполняется автоматически) и величина . Поэтому

, (13.32)

так что диэлектрические проницаемости идолжны быть разных знаков (). Считаем, тогда. При этом

откуда следует еще одно условие для диэлектрических проницаемостей сред

. (13.33)

Наконец, подставляя в (32) вид величин q_1,2, найдем дисперсионное соотношение – связь с частотой постоянное распространения :

(13.34)

В данном случае граница раздела сред выступает в роли направляющей (волноведущей) поверхности. Далее мы рассмотрим другие варианты волноводов.

Задача Френеля для импульсов

В общем случае для описания отражения на границе раздела сред импульса излучения следует разлагать импульс в интеграл Фурье по монохроматическим волнам и далее использовать формуры Френеля для каждой составляющей монохроматической волны. Однако в пренебрежении частотной дисперсией задача существенно упрощается, что позволяет дать ее более простое решение.

Рассмотрим случай нормального падения (тогда поляризация излучения несущественна) и выпишем волновые уравнения для напряженности поля u в первой и второй прозрачных недиспергирующих средах:

(13.35)

(13.36)

Общее решение волнового уравнения (35) имеет вид

. (13.37)

Здесь f и g - произвольные функции. Их можно интерпретировать как импульс падающего на границу (f) и отраженного от него (g) излучения. Соответственно, во второй среде может распространяться только импульс уходящего от границы излучения:

. (13.38)

Из требования непрерывности u и приz = 0 получаем (штрих означает производную)

(13.39)

Продифференцировав первое из этих уравнений, найдем

.

Отсюда

. (13.40)

Для постоянных h₀ и g₀ из (39) следует h₀ = g₀. Эти постоянные отвечают статическому полю, возможному даже в отсутствие падающего излучения; поэтому будем полагать h₀ = g₀ =0. Тогда находим, что в соответствии с формулой Френеля импульс характеризуется единым амплитудным коэффициентом отражения (26).

Замечание. В начальный момент времени должно выполняться условиепри. Иначенельзя интерпретировать как импульс падающего излучения.

Отражение пучка от границы

Для простоты рассмотрим щелевой пучок, для которого поле не зависит от координаты y. Пусть ненулевая компонента напряженности на плоскости раздела сред z = 0 характеризуется величиной . Для пучка падающего излучения используем разложение Фурье в спектр плоских волн:

. (13.41)

Здесь k_x - x-компонента волнового вектора. Пучок предполагается широким и, соответственно, обладающим малой угловой расходимостью. Поэтому для основных (содержащих основную долю энергии) компонент поля величина k_x близка к ее осевому значению k_x0, то есть волновому числу для плоской волны, отвечающей осевому лучу. Это означает, что в последнем интеграле (41) наиболее существенна область малых .

Поле пучка отраженного излучения в той же плоскости z = 0 получается из (41) домножением амплитуды каждой парциальной плоской волны на соответствующий коэффициент френелевского отражения:

Введем вещественные амплитуду и фазу коэффициента отражения: . Наиболее существенна угловая зависимость фазывблизи критического угла полного внутреннего отражения. Тогда

Здесь - близкий к единице коэффициент отражения для центрального (осевого) луча пучка. Разложим фазув ряд Тейлора, ограничившись двумя членами:Производнаявычисляется при, что отвечает осевому лучу. Теперь

По свойствам Фурье-преобразования отсюда следует

(13.42)

Отсюда следует, что профиль пучка отраженного излучения сдвигается в направлении x по сравнению с профилем пучка падающего излучения на величину . Привлекая формулы Френеля дляs- и p-поляризаций найдем величину этого (продольного) сдвига

(13.43)

Здесь - длина волны излучения иn -относительный показатель преломления. Характерная величина сдвига – длина волны . При приближениик критическому углу полного внутреннего отражения подкоренное ввыражение в (43) стремится к нулю и соответственно продольный сдвиг стремится к бесконечности.

Аналогично, для ограниченных по обеим поперечным координатам пучков имеется и поперечный сдвиг отраженнного пучка («сдвиг Федорова»), но он имеет место только при эллиптической поляризации излучения и обращается в ноль для «чистых» состояний поляризации (s- и p-поляризаций).