PGS_4_prilozhenie

82

83

§6 Построение гиперболических сеток в проекции Гаусса по координатам точек гипербол

1. По схеме расположения планшета на район работ, на которую по координатам наносят места наземных станций РНС, углы рамки планшета и главные оси гипербол х' и у' (см. рисунок 5), определяют интервал изменения

84

разности расстояний 2а, с тем чтобы гиперболы проходили на планшете на расстоянии не более 6-10 см друг от друга.

Рисунок 5 - Схема расположения планшета на район работ относительно опорных геодезических пунктов для выбора параметров построения гиперболических сеток в проекции Гаусса по координатам точек гипербол

Для этого на схеме проводят с наземных станций A и B прямые R1,R2 ,R1,R2 на углы планшета, разности расстояний от которых до станций

наибольшие и наименьшие.

Вычисляют крайние значения разности расстояний

2amin R1 R2;		2amin R1 R2		(20)
По этим данным находят интервал изменения разности расстояний по
приближенной формуле
2 a	2amax	2amin	n	(21)
		l

где l - среднее расстояние между крайними гиперболами на планшете, см; Δn - установленное расстояние между гиперболами на планшете

(6-10 см);

Полученную величину 2∆a округляют до сотен метров или целых фазовых циклов.

85

2. Определяют интервал изменения параметра t, с тем, чтобы расстояния между точками по гиперболе на планшете были порядка 5 см.

Для этого примерно в средней части планшета наносят гиперболу путем проведения концентрических окружностей, центрами которых являются фокусы гипербол (наземные станции РНС). На проведенной гиперболе выбирают две точки М1 и М2, находящиеся за рамкой планшета, и

		(см. рисунок 5).
снимают их ординаты yM1	и yM2
Вычисляют крайние значения параметра t
	tgtmax		yM		tgtmin		yM	1	,
			2	;						(22)
			b				b

где b c2 a2 .

Из таблиц натуральных значений тригонометрических функций по аргументу tg t выбирают углы tmax, tmin (с точностью до 1') и вычисляют интервал изменения параметра t по приближенной формуле

t s	tmax tmin	,	(23)
	l

где l´- расстояние между точками М1 и М2 на планшете, см;

s - среднее расстояние между точками гиперболы на планшете

(s=5 см).

Полученное значение Δt округляют до десятков минут. 3. Производят вспомогательные вычисления:

а) величин, постоянных для данного семейства гипербол, - длины базы SAB , дирекционного угла базы ТАВ и координат середины базы X0, Y0;

б) величин, постоянных для данной гиперболы, - а, b и

произведений аcos Т, asin T, bcos T, bsin T.

4. Вычисляют координаты х и у точек гипербол, выраженные в отрезках от южной и западной рамки планшета (юго-западного угла рамки планшета):

x = acosT sect + bsinT tgt + (X0 - XS);

(24)

y = asinT sect + bcosT tgt + (Y0 – YW).

5. Точки гипербол по координатам наносят на планшет и соединяют их по лекалам или гибкой линейке плавными кривыми. Для нанесения точек гипербол целесообразно применять координатограф.

Пример вычислений

Исходные данные

Координаты сторон рамки планшета:

XN = 5600000,0; YW = 4300000,0;

86

XS = 5530000,0;

YE = 4400000,0.

Масштаб планшета 1:100000

Координаты наземных станций:

XA = 5470000,0;

YA = 4280000,0;

XB = 5390000,0;

YB = 4410000,0.

Расчет предельных

значений и

интервалов разностей расстояний

2а и параметра t

2amax R1 R2 215км;

2amin

R1 R2 17км;

2 a 6

215 17

9,9 10км;

120

yM2

tgtmax

b

2,27068;

tmax

66 14;

tgt

min

yM1

1,229042;

t

min

50 52;

b

t

66 14

50 52

5 61,47

1 .

75

Вспомогательные вычисления

Расчёт дирекционного угла TAB и длины базы SAB:

			∆X = XB – XA = -80000,0;							∆Y = YB – YA = +130000,0;
			tgT		Y	1,625;					T = 121 36'27″;
			AB		X						AB
			SAB = ∆XsecTAB = 152643,4;								SAB = 152643,4;
			SAB = ∆YcosecTAB = 152643,4;								c = 76321,7 м;
c=76,322 см (в масштабе планшета)
Расчёт координат середины базы AB
X	0		XA XB	5430000,0;			Y	YA YB			4345000,0.
		2					0		2

Расчёт величин, постоянных для данной гиперболы:

cos TAB= − 0,524097;

sin TAB =+ 0,851658

87

2a=(R1 –

а, см (на

b c2 a2 ,

a cos T

a sin T

b cos T

b sin T

R2),км

планшете)

см (на

планшете)

-50…

- 25

+ 72,111

+ 13,102

- 21,291

- 37,793

+ 61,414

-60

- 30

+70,179

+ 15,723

- 25,550

- 36,781

+ 59,769

Вычисление координат точек гипербол

Обозначение

2a= R1 +R2 = 50 км

t

50 50'

51 50'

…

65°50'

sec t

1,583335

1,618251

2,44264

tg t

1,227579

1,272296

2,22857

a cos T sec t

+ 20,745

+ 21,202

+ 32,003

b sin T tg t

+ 75,391

+78,137

+ 136,865

X0 - ∆XS

- 100,0

…

x, см (на планшете)

- 3,86

- 0,66

+68,87

y, см (на планшете)

+ 57,68

+ 58,63

…

+ 77,22

Y0 – YW

+45,0

a sin T sec t

- 33,711

- 34,454

- 52,006

- b cos T tg t

+ 46,394

+ 48,084

+ 84,224

Аналогично производят вычисления координат точек всех остальных гипербол, наносимых на планшет.

6. Координаты точек гипербол на удалениях от наземных станций не более 3-4 длин баз можно определять с помощью Таблиц для построения сеток гипербол (УНГС ВМФ, 1960). В объяснениях к Таблицам дан порядок работы и пример построения сетки гипербол.

§7 Построение гиперболических сеток в проекции Гаусса по точкам пересечения гипербол с прямыми, параллельными одной из главных осей

1. На схеме положения планшета на район работ, на которую по координатам наносят места наземных станций РНС, углы рамки планшета и главные оси гипербол х' и у', проводят с помощью концентрических окружностей, центрами которых являются опорные геодезические пункты, в которых установлены наземные станции РНС, несколько гипербол (см. рисунок 6).

88

Рисунок 6 - Схема положения планшета на район работ относительно наземных станций РНС для определения параметров построения гиперболических сеток в проекции Гаусса по точкам пересечения гипербол с прямыми, параллельными одной из главных осей

По схеме устанавливают, с какой системой прямых х'=const (или y'=const), параллельных главным осям, гиперболы пересекаются под углом, более близким к прямому.

Намечают крайние лучи С1С"1 и СnС"n, проходящие через планшет так, чтобы величины yC1 , yCn (или хC1 , хCn ) имели круглые значения. Проводят

прямые 1, 2, 3, ..., п y'=const (или х'=const) с таким расчетом, чтобы расстояния ∆y' (или ∆х') между ними на планшете были порядка 4-5 см.

2. Определяют интервал изменения разности расстояний 2а, с тем чтобы расстояния между смежными гиперболами на планшете не превышали 6-10 см. Расчет ведут аналогично изложенному в пункте 1 §6 данного Приложения, по формулам (20) и (21).

3.Производят вспомогательные вычисления:

а) величин, постоянных для данного семейства гипербол, - длины базы SAB, дирекционного угла базы TAB и координат середины базы Х0 ,Y0;

б) отрезков на сторонах рамки для нанесений на планшет системы параллельных прямых y'=const (или х'=const), по точкам пересечения с которыми строят гиперболы;

89

в) отрезков на рамках для нанесения на планшет одной или двух прямых y'=const (или х'=const), служащих началом счета при нанесении точек гипербол.

4. Вычисление отрезков на сторонах рамки для нанесения на планшет системы параллельных прямых y'=const (или х'=const) производят следующим образом:

а) вычисляют координаты Хс., Yс. точек С1, Сп (см. рисунок 6) двух крайних лучей по формулам:

для прямых y' = const

	XC	X0		yC sinTAB	(25)
	i			i
	YC	Y0	yC cosTAB
	i			i

для прямых х' = const

XC	X0 xC			cosTAB
i			i	(26)
YC	Y0	xC
			sinTAB
i		i

где Х0, Y0 - координаты середины базы АВ; ТАВ - дирекционный угол базы АВ;

xCi , yCi - абсциссы и ординаты точек Сi;

б) вычисляют отрезки на сторонах рамки планшета, определяющих положение двух крайних лучей С1С"1 и СnС"n, по формулам:

yN = (YCi - YW) + (XN – XCi)tgT;

yS = (YCi - YW) + (XS – XCi)tgT;

(27)

xW = (XCi – XS) + (YW – YCi)ctgT;

xE = (XCi – XS) + (YE – YCi)ctgT,

где yN, yS - отрезки на северной и южной сторонах рамки от западной; xW, xE - отрезки на западной и восточной сторонах рамки от южной; XN, XS, YW, YE - абсциссы и ординаты сторон рамки планшета;

ХСi ,YСi - координаты точек Сi;

Т- дирекционный угол луча.

Какие именно формулы требуются для каждого луча, выясняют по схеме, устанавливая, с какими из сторон рамки планшета данный луч пересекается;

в) вычисляют отрезки на сторонах рамки планшета, определяющих положение относительно крайних всех остальных параллельных лучей

1, 2, 3, ..., п по формулам:

для лучей y'=const

Yi – YCi = k∆y'secTAB

(28)

90

	Xi – XCi = k∆y'cosecTAB
для лучей х' = const
	Yi – YCi = k∆x'cosecTAB
	(29)
	Xi – XCi = k∆x'secTAB
где Yi YС -	отрезки на северной и южной сторонах рамки, считаемые от
i
точки С′1 или С′′п;
Xi XС	- отрезки на западной и восточной сторонах рамки, считаемые
i
от точки С′′1	или С′п;
∆y´, ∆x´ - расстояния между смежными лучами;
k - порядковые номера лучей, считая от крайних.

По вычисленным отрезкам на планшете проводят карандашом систему параллельных прямых y' = const (или х' = const).

5. Отрезки на сторонах рамки для проведения на планшете одногодвух лучей D1D1, D2D2 , служащих началом счета при нанесении точек гипербол, вычисляются так же, как и отрезки на рамках для нанесения крайних лучей С1С"1 и СnС"n (см. п. 4а и 4б).

6. Вычисляют абсциссы (ординаты) точек пересечения гипербол с прямыми y' = const (или х' = const).

Для этого, задаваясь одной координатой у' (или х'), вычисляют вторую координату х' = а sec t (или у' = b tg t). При этом удобно для всех гипербол,

пересекающих

данную

прямую,

вычислять tgt

y

(или

sect

x

)

b

следующим образом.

a

y

y

Поскольку

tgt

yi

y1

i 1

и так как величина

для одной и

b

b

b

b

той же гиперболы (всей строки таблицы 2) постоянна, то каждый последующий tgt вдоль строки получают путем прибавления к предыдущему

tgt величины y . Аналогично вычисляется и sес t. b

Пользуясь полученными величинами, по таблицам тригонометрических функций находят sесt (или tgt) и умножением на а (или b) получают х' (или у').

По вычисленным абсциссам (ординатам) точки пересечения гипербол с

прямыми y '= const	(или х' = const) наносят на планшет. Для этого образуют
разности xi xD	(или	yi yD ), полученные отрезки	откладывают от
1		1
начальной прямой D1D1		(или D2D2 ) по лучам y' = const	(или х' = const) и,

соединяя точки плавными кривыми, проводят гиперболы.

Пример вычислений

Исходные данные

91