Raschetnye_metody_otsenki_prochnosti(1)

Министерство образования и науки Российской Федерации

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Сибирский государственный индустриальный университет»

Кафедра сопротивления материалов и строительной механики

РАСЧЕТНЫЕ МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ПРОЧНОСТИ

Методическиеуказанияквыполнениюрасчетно-графическихработ покурсу«Сопротивлениематериалов»

Новокузнецк

2013

УДК 620.17 Р24

Рецензент:

кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой инженерных конструкций Н.Н. Алешин

Р24 Расчетные методы оценки прочности : метод. указ. / Сиб. гос. индустр. ун-т ; сост. Ю.А. Епифанцев, А.В. Витушкин.– Новокузнецк : Изд. центр СибГИУ, 2012. – 53 с.

Представлены задания к выполнению расчетнографических работ по разделам статически-неопределимых систем, геометрических характеристик плоских сечений, внутренних усилий и напряжений при поперечном изгибе по курсу «Сопротивление материалов». Приведены примеры решения задач и вопросы по выполненным темам.

Предназначены для студентов направления подготовки 270800.62 Строительство.

Предисловие

Сопротивление материалов – наука о прочности, жесткости и устойчивости отдельных элементов конструкций.

Инженеру строительной специальности часто приходится проводить расчеты элементов конструкций на прочность, то есть на их способность сопротивляться разрушению под действием приложенных к ним внешних нагрузок. Для успешного освоения данного раздела необходимо иметь твердые навыки в решении конкретных задач.

В методические указания включены задания по разделам статиче- ски-неопределимых систем, геометрических характеристик плоских сечений, внутренних усилий и напряжений при поперечном изгибе.

Каждый студент, согласно учебному плану, в третьем семестре выполняет четыре расчетно-графические работы (РГР). Работы выполняются на бумаге формата А3 (297×420). Штамп вычерчивается по форме, приведенной в таблице 1.

Таблица 1 – Форма штампа

	Название темы				Номер схемы _________
					Вариант _____________
Кафедра сопротивления материалов и
строительной механики					СибГИУ
Выполнил		(подпись)		Ф.И.О.
					гр.
Принял		(подпись)		Ф.И.О.
				3

РГР № 1 – Расчет статически неопределимой системы

Задание. Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирнонеподвижную опору и прикреплен к двум стержням с помощью шарниров (расчетные схемы приведены на рисунке 1). Расстояние от бруса до опор в вертикальном направлении l= 2 м, a = 1 м. Проверить стержни на прочность при[σ ] = 160 МПаиразличныхсостояниях системы.

Задача1. Расчетсистемыпридействии внешнейсилы

Вертикальная сила F = 120 кН, направленная вниз, приложена в правом крайнем шарнире бруса (на схеме не показана). Площади по-

перечного сечения стальных стержней соответственно равны А1 =

12·10–4 м2, А2 = 2·10–3 м2.

Рисунок 1 – Расчетные схемы шарнирно-стержневых систем

4

Рисунок 1 – Расчетные схемы шарнирно – стержневых систем

5

Рисунок 1 – Расчетные схемы шарнирно – стержневых систем

6

Пример решения. Рассмотрим шарнирно-стержневую систему, представленную на рисунке 2.

Рисунок 2 – Схема шарнирно-стержневой системы

Данные для расчета:

а = 4 м; в = 3 м; с = 2 м; A = 10 −3 м2; α = 45˚; [σ]= 160 МПа.

Решение

Для определения напряжений от действия внешней нагрузки в деформируемых стержнях 1 и 2 необходимо знать внутренние усилия в этих стержнях N1 и N2 , которые направлены вдоль стержней (рисунок 3).

При этом их направления выбираем по правилу: если стержень получает удлинение, то усилие в нем направляем от бруса, и, наоборот, если стержень укорачивается, то к брусу.

От действия заданной нагрузки F в неподвижном шарнире А возникают реактивные силы V A и НA . Для определения усилий в стержнях

рассмотрим условия статического равновесия данной системы.

Рисунок 3 – Схема к определению усилий в стержнях

7

Статическая сторона задачи

Приведем уравнения статического равновесия стержня ВАС. Поскольку система плоская, составим три уравнения:

∑X = 0;	НA +N 2 cos45 = 0;	(1)
∑Υ = 0;	V A + N1 – N2 sin45 −F = 0;	(2)
∑M A = 0;	N1 в + N2 a sin45 – F(c+в) = 0.	(3)

В этих трех уравнениях имеется четыре неизвестных усилия. Поскольку величины опорных реакций V А и НА по условию задачи опре-

делять не требуется, то для дальнейшего решения задачи пользуемся уравнением (3). В этом уравнении два неизвестных, таким образом, задача один раз статически неопределима. Дополнительное уравнение составляем из условия совместности перемещений, т.е. геометрической зависимости между деформациями стержней.

Геометрическая сторона задачи

Под действием силы F брус ВАС повернется и займет положение

В1 АС1 (рисунок 3), при этом точка С перейдет в положение С1 , а точка

В– в положение В1 , перемещаясь по нормали к первоначальному по-

ложению бруса ВАС вследствие малости угла поворота. Тогда отрезок СС1 является удлинением стержня 1. Чтобы найти величину удлинения

стержня 2, необходимо на направление стержня 2 из точки В опустить перпендикуляр. Отрезок В1D представляет собой удлинение стержня 2.

Таким образом,

СС1 = ∆l1,

В1D = ∆l2 .

Установим зависимость между величинами ∆l1 и ∆l2 . Из подобия треугольников АВВ1 и АСС1 можно записать:

CC1

=

AC

,

BB

AB

B1 D

1

где BB1 =

(из ∆ BB1 D).

sin 45

Тогда

CC1

sin 45

AC

∆l1 sin 45

b

=

,

или

=

.

B D

AB

∆l

2

a

1

Следовательно,

∆l1 sin 45 a = ∆l2 b .

(4)

8

Уравнение (4) представляет зависимость между удлинениями стержней системы.

Физическая сторона задачи

Удлинения стержней 1 и 2 выражаем через усилия N1 и N2 по закону Гука:

∆l1 =

Ν1l1

;

∆l2 =

Ν2 l2

.

EA

E2A

Тогда выражение (4) запишем так:

Ν1l1

sin 45

a =

Ν2 l2

в.

E 2A

EA

Зная, что

l1 = в и l2

=

в

,

sin 45

получаем

Ν

в2

Ν1 sin 45 ва =

2

и затем

2 sin 45

2 Ν1 (sin 45)2 a = Ν2 в.

(5)

Решивсовместноуравнение(3) и(5), выразимусилияN1 и Ν2

черезF:

Ν

1в + Ν2 sin 45 а − F(в + с)= 0;

в = 0.

2Ν1 sin 2 45 а − Ν2

Из второго уравнения выразим N 2 :

Ν2 =

2Ν

1

sin 2

45 а

.

в

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

					Ν1в +		2Ν1 sin 3 45 а2							− F(в + с)= 0 .
								в
Выполним преобразования:
Ν		=			F(в + с) в				=			120 (3 + 2) 3								=88,8 кН.
	1			в2	+ 2 sin 3 45 а2						2					2		3	2
										3		+	2					4
																2
Тогда						2 0.74 120 4						2	2
			Ν2		=										=118,4 кН.
						3						2
											9

Определим напряжения в стержнях и сравним с допустимыми:

σ1	=	Ν	1		=	88,8 10		3		=88,8 МПа < [σ ] = 160 МПа;
		A					10−3
σ2	=	N	2		=	118,4 10				3	= 59,2 МПа <[σ ] = 160 МПа.
		2A					2 10−	3

Значит стержни проходят на прочность.

Задача 2. Расчет системы с учетом неточности изготовления стержней

Первый стержень шарнирно-стержневой системы изготовлен короче проектного размера на величину δ = 2 мм. Площади поперечного сечения стальных стержней равны А1 = 0,8·10–3 м2, А2 = 1,2·10–3 м2, Е = =2·105 МПа.

Пример решения. В шарнирно-стержневой системе (рисунок 4) стержень 2 выполнен короче проектной длины на величину δ = 2 10−3 м

(δ по сравнению с длиной стержня весьма мало). В связи с этим после монтажа в стержнях возникли начальные (монтажные) напряжения. Требуется определить эти напряжения и сравнить с допустимыми.

Рисунок 4 – Схема с монтажной погрешностью

Данные для расчета:

a = 4 м; в = 3 м; А = 10-3 м2; α = 45o ; Е = 2 105 МПа, [σ ] = 160 МПа.

Решение

Направление внутренних усилий в стержнях N1 и N 2 выбираем из условия, что после сборки системы стержень 1 сжимается, а стержень 2

10