kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Однородные системы линейных уравнений

ТЕМА 5. ОДНОРОДНЫЕ СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ.

1.Однородные системы линейных уравнений

Если свободные члены в системе ( ) равны нулю, то система называется однородной:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = 0,

a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = 0, (1)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

am1x1 + am2x2 + . . . + amnxn = 0.

Система (1) всегда совместна, так как имеет, например, тривиальное (нулевое) решение:

x1 = 0, x2 = 0, . . . , xn = 0.

На вопрос, когда однородная система имеет и нетривиальное решение, ответ дает следующая теорема 2.

Теорема 2. Для того чтобы система (1) имела ненулевые решения, необходимо и достаточно, чтобы ранг r ее основной матрицы был меньше n.

Доказательство. Если r = n, то из теоремы Кронекера Капелли вытекает, что система (1) имеет единственное и, значит, только тривиальное решение

x1 = x2 = . . . = xn = 0.

Если же r < n, то система (1) является неопределенной (т. к. несовместной она быть не может) и, значит, имеет бесчисленное множество ненулевых решений. Теорема доказана.

Из теоремы 2 непосредственно вытекает теорема 3.

Теорема 3. Для того чтобы однородная система n линейных уравнений с n неизвестными обладала ненулевыми решениями, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был равен нулю.

Доказательство. Условие = 0 здесь необходимо, так как если =6 0, то r(A) = n и система имеет единственное, a значит, только тривиальное решение. Это условие также и достаточное, так как если = 0, то ранг основной матрицы системы r < n и система имеет бесконечное множество (ненулевых) решений. Теорема доказана.

Для решения системы (1) удобно пользоваться методом Гаусса, придавая свободным

переменным xr+1, . . . , xn	произвольные значения xr+1 = c1, . . . ,					xn = ck . Тогда
решение системы вида:		α21c1		+ . . . + α2k ck ,
			α11c1	+ . . . + α1k ck ,
X (c1	, c2, . . . , ck ) =	. . . . . . . . . . . . . . . . . . .				(2)
			αr1c1	+ . . . + αrk ck ,
				c1,
				. . . . . . . . .
				ck

1

называется общим решением однородной системы (1) линейных уравнений.

Подставляя в общее решение системы (2) следующие значения переменных:

c1 = 1, c2 = 0, . . . , ck = 0; c1 = 0, c2 = 1, . . . , ck = 0;

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

c1 = 0, c2 = 0, . . . , ck = 1,

получим k различных решений:

E1 = X (1, 0, . . . , 0), E2 = X (0, 1, . . . , 0), . . . , Ek = X (0, 0, . . . , 1).

Полученное множество решений называется фундаментальной системой решений однородной системы (1). С помощью фундаментальной системы общее решение X системы (1) может быть записано в виде

				X = c1E1 + c2E2 + . . . + ck Ek .
Пример 1.
Решить систему				x1
					+ x2			+ 2x3 + 3x4			= 0,
				x1	− x2			+ x3	− x4 = 0,
Решение.				2x1 + 4x2 + 5x3 + 10x4 = 0.
	A =		1	1 2 31				0		0			2 1 4		0
			1	−1 1	−			0		1		−1 1		−1	0
			2	4 5 10				0		0			6 3 12		0
						0		2	1	4			.
												0
						1		−1	1	−1		0
						0		0	0	0		0

Ранг матриц r(A) = r(A) = 2 < n = 4, следовательно, система имеет нетривиальные решения. Восстановим систему:

2x2 + x3 + 4x4 = 0

2x2 = −x3

− 4x4.

x1 − x2

+ x3 − x4 = 0,

x1 − x2 =

−x3 + x4

,

Положим для свободных переменных

x3 = c1, x4 = c2

x2

=

−x3 − 4x4

=

−c1 − 4c2

= −

1

c1 − 2c2,

2

2

2

1

3

x1 = x2 − x3 + x4 = −

c1

− 2c2 − c1 + c2 =

−

c1 − c2.

2

2

2

Общее решение

x1 = −23 c1 − c2,

−23 c1 − c2

x2

=

−

1 c1 −

2

c2,

−1 c1 −

2

c2

2

2

или X (c1

, c2) =

.

x3 = c1,

c1

c2

x4 = c2

Пример 2.

Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующей однородной системы уравнений:

3x1 + x2 − 8x3 + 2x4 + x5 = 0,

2x1 − 2x2 − 3x3 − 7x4 + 2x5 = 0,x1 + 11x2 − 12x3 + 34x4 − 5x5 = 0,

x1 − 5x2 + 2x3 − 16x4 + 3x5 = 0.

Решение. Решим систему методом Гаусса. Для этого выпишем расширенную

матрицу системы:
				3			1 −8				2	1			0												1 −5										2 −16				3		0
				2 −2 −3							−7	2			0												2					−2 −3 −7									2		0
	A =			1 11 −12							34 −5				0												1					11 −12							34 −5				0
				1 −5				2			−16	3			0												3					1 −8						2			1		0
					1 −5			2 −16				3				0														1 −5							2 −16				3	0
				0			8 −7				25 −4					0											0						8 −7						25 −4			0
					0 16 −14						50 −8					0											0						0				0	0			0	0		.
					0 16 −14						50 −8					0											0						0				0	0			0	0
Ранг матриц			r(A) = r(A) = 2 < n = 5, следовательно, система имеет нетривиальные
решения. Восстановим по последней матрице систему:
8x2 −57x3							+ 25x4		− 4x5 = 0												8x2 = 7x3																− 25x4			+ 4x5;
		x1	−		x2 + 2x3			−	16x4 + 3x5					= 0,													x1					−	5x2 = −2x3							+ 16x4 − 3x5,
x1 и x2 базисные переменные; x3,															x4, x5									свободные переменные.
Полагая x3 = c1, x4 = c2, x5 = c3, находим
							x2	=		1	(7x3 − 25x4 + 4x5) =															7				c1		−		25		c2	+	1	c3,
									8																								8					2
																								8
	x1 = 5x2 − 2x3 + 16x4 − 3x5 = 5 · (																		7	c1				−	25					c2		+		1	c3) − 2c1 + 16c2 − 3c3 =
																																	2
																		8						8
												19									3						1
												=					c1 +						c2 −								c3.
														8								8						2

3

Общее решение системы

		19 c1 + 3 c2 − 1 c3
		7 c1	− 258 c2	+ 1 c3
		8	8	2
X (c1, c2, c3) =		8	c1	2	.
			c2
			c3

Из общего решения находим фундаментальную систему решений:

			19							3
			8							− 8
			8							8
			7							25
E1	= X (1, 0, 0) =		1		, E2 = X (0, 1, 0) =					0		,
			0							1
			0							0
							−1
							2
							2
							1	.
	E3 = X (0, 0, 1) =						0
							0
							1

С использованием фундаментальной системы, общее решение может быть записано в виде

X (c1, c2, c3) = c1E1 + c2E2 + c3E3.

4