kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Многочлены в комплексной плоскости

ТЕМА 17. МНОГОЧЛЕНЫ В КОМПЛЕКСНОЙ ПЛОСКОСТИ.

1.Многочлены в комплексной плоскости

Целым рациональным выражением, или многочленом называеeтся выражение, составленное из аргументов и из чисел посредством только лишь действий сложения и умножения. Тем же термином “многочлен” называется функция, определяемая целым рациональным выражением. Если значения аргумента и числа, входящие в состав многочлена (его коэффициенты), принадлежат множеству комплексных чисел, то мы будем говорить, что рассматривается многочлен в комплексной плоскости. Примерами многочленов в комплексной плоскости могут служить функции вида

P1(z) = z3 + z2 + 2z + 1, P2(z) = (2 − i) + iz − (4 + i)z2,

где z = x + iy .

Степенью многочлена называется наибольшая из степеней (относительно аргумента) одночленов слагаемых, входящих в состав многочлена. Так рассмотренные выше многочлены P1(z) третьей степени, а P2(z) второй степени.

Рассмотрим два многочлена в комплексной плоскости:

P (z) = a0zn + a1zn−1 + . . . + an−1z + an

и

Q(z) = b0zm + b1zm−1 + . . . + bm−1 z + bm,

причем Q(z) 6≡0 и m ≤ n . Тогда существует единственная пара многочленов в комплексной плоскости F (z) и R(z) , удовлетворяющих следующим условиям:

1)степень R(z) меньше m или R(z) ≡ 0 ,

2)имеет место тождество

P (z) = Q(z)F (z) + R(z).

(1)

Многочлены F (z) и R(z) называются соответственно неполным частным и остатком. Нахождение многочленов F (z) и P (z) называется делением с остатком многочлена

P (z) на многочлен Q(z) .

Деление многочленов обычно осуществляется по известной схеме деления "углом".

Пример 1.	Разделить многочлен P (z) = z5 + 3z3 + 5z2 + 2z + 7 на многочлен Q(z) =
z3 + z + 3 :	Решение.
		z5 + 3z3 + 5z2 + 2z + 7			z3 + z + 3
		z5 + z3 + 3z2			z2 + 2
			2z3 + 2z2 + 2z + 7
			2z3	+ 2z + 6
			2z2	+ 1
В данном случае тождество (1) имеет вид:
	z5 + 3z3 + 5z2 + 2z + 7 = (z3 + z + 3)(z2 + 2) + 2z2 + 1.
Рассмотрим многочлен степени n с комплексными коэффициентами:
	P (z) = a0zn + a1zn−1 + . . . + an−1z + an (a0 6= 0).						(2)

1

a0, . . . , an

Утверждение 1..1 (Э. Безу) Остаток от деления многочлена (2) на двучлен z − a равен значению этого многочлена при z = a .

Доказательство. В результате деления многочлена P (z) на двучлен z − a получим следующее представление

P (z) = (z − a)(b0zn−1 + b1zn−1 + . . . + bn−1) + R,

где R есть некоторое число (одно и то же при всех значениях аргумента z ). Положив z = a , получим P (a) = R .

Пример 2. Доказать, что остаток от деления многочлена P (z) = 2z3 − 3z2 − z + 1 на Q(z) = z − 2 равен 2 · 23 − 3 · 22 − 2 + 1 = 3 . Решение. Действительно, многочлен P (z) можно представить в виде

P (z) = (2z2 + z + 1)(z − 2) + 3.

Определение 1. Число c называется корнем многочлена P (z) вида (2), если значение P (z) в точке z = c равно нулю.

Иными словами, корень многочлена P (z) есть корень уравнения

P (z) = 0.

Краеугольным камнем в теории многочленов является основная теорема алгебры комплексных чисел, которую мы приведем без доказательства.

Утверждение 1..2 Всякий многочлен P (z) положительной степени имеет в комплексной плоскости хотя бы один корень.

В частности, всякий многочлен с действительными коэффициентами имеет хотя бы

один корень, этот корень может быть, а может не быть действительным.
Утверждение 1..3 Если	многочлен	P (z)	положительной	степени	с
действительными коэффициентами имеет		комплексный корень α + iβ ( β 6=			0 ),
то сопряженное комплексное число α − iβ также является корнем P (z) .

Доказательство. Рассмотрим многочлен вида (2), предположив, что коэффициентыдействительные числа. Пусть z = α + iβ некоторое комплексное значение

аргумента,

u + iv = P (α + iβ)

соответствующее значение многочлена. Сопряженному значению аргумента z¯ = α − iβ соответствует сопряженное значение многочлена, так как при замене z сопряженным числом z¯ каждый член ak zn−k многочлена заменится сопряженным числом ak z¯n−k . Следовательно,

P (α − iβ) = u − iv.

Если α + iβ есть корень многочлена, то u + iv = 0 , т. е. u = v = 0 . Но тогда α − iβ также является корнем многочлена, так как

P (α − iβ) = u − iv = 0.

2

Проиллюстрируем утверждение теоремы 1..3 на следующем примере. Пример 3. Дан многочлен второй степени с действительными коэффициентами (хорошо известный из школьного курса квадратный трехчлен):

P (z) = z2 + z + 1.

Найти его корни. Решение. Решая квадратное уравнение z2 + z + 1 = 0 , получим, что дискриминант D = −3 < 0 , следовательно, многочлен не имеет действительных корней. Однако, этот многочлен имеет пару комплексно сопряженных корней:

√√

z1 = −	1	+ i	3		z2 = −	1	− i	3
				,					.
	2		2			2		2

2.Разложение многочлена на множители

Используя сформулированные выше основную теорему алгебры и теорему Безу, докажем ряд утверждений, касающихся разложения многочленов на множители.

Рассмотрим многочлен

P (z) = a0zn + a1zn−1 + . . . + an−1z + an (a0 6= 0)

(3)

степени n с, вообще говоря, комплексными коэффициентами, z = x + iy .

Утверждение 2..1 Число c есть корень многочлена P (z) в том и только в том случае, если P (z) делится на разность z − c .

Доказательство. Если c есть корень многочлена P (z) , то P (c) = 0 , но по теореме Безу P (c) есть остаток от деления P (z) на (z−c) . Обратно, если P (z) делится на (z−c) , то

P (z) = (z − c)Q(z),

откуда P (c) = 0 , т. е. число c есть корень многочлена P (z) , что и требовалось доказать.

Утверждение 2..2 Всякий многочлен P (z) степени n (где n > 1 ) разлагается на множестве комплексных чисел на n линейных множителей.

Доказательство. В силу основной теоремы алгебры, многочлен (3) на множестве комплексных чисел имеет хотя бы один корень z = z1 и, следовательно, делится на

разность z − z1 :

P (z) = (z − z1)Pn−1(z),

здесь Pn−1(z) есть многочлен степени n − 1 .

В силу той же теоремы многочлен Pn−1(z) имеет хотя бы один корень z2 , а поэтому делится на разность z − z2 . Следовательно, имеем

P (z) = (z − z1)(z − z2)Pn−2(z),

здесь Pn−2(z) есть многочлен степени n − 2 . После n –го шага получим

P (z) = (z − z1)(z − z2) . . . (z − zn)P0(z),

(4)

3

где P0 многочлен нулевой степени, т. е. отличное от нуля число, что и требовалось доказать.

Сравнив коэффициенты при старшем члене в обеих частях тождества (4), получим P0 = a0 . Числа z1 , z2 , ..., zn суть корни многочлена (3).

Если корень z1 встречается α1 раз, z2 встречается α2 раз и т. д. zk встречается αk раз, то разложение многочлена на множители имеет вид

P (z) = a0(z − z1)α1 (z − z2)α2 . . . (z − zk )αk ,

(5)

где α1 + α2 + . . . + αk = n ; число αi называется кратностью корня zi , а сам корень zi называется αi –кратным корнем данного многочлена. Если кратность корня равна 1 , то корень называется простым.

Таким образом, всякий многочлен P (z) степени n на комплексной плоскости имеет n корней, при этом каждый корень считается столько раз, какова его кратность.

Далее рассмотрим многочлен вида (3) с вещественными коэффициентами и независимую переменную тоже будем считать вещественной. Всякий многочлен с действительными коэффициентами степени выше второй разлагается в общем случае на множители первой степени и квадратные трехчлены, ведь на множестве действительных чисел неразложимыми являются только двучлены первой степени и квадратные трехчлены с комплексными корнями. Покажем это. Предположим, что квадратный трехчлен с действительными коэффициентами

ax2 + bx + c

имеет комплексные корни. Если бы этот трехчлен разлагался на множители на множестве действительных чисел, то имело бы место разложение

ax2 + bx + c ≡ (kx + l)(mx + n),

где k , l , m и n действительные числа. Но тогда, вопреки предположению, трехчлен имел бы два действительных корня:

x1 = −	l		= −	n
		, x2			.
	k			m

Следовательно, над полем действительных чисел трехчлен неразложим.

Если многочлен P (x) с действительными коэффициентами имеет комплексный корень α = ξ + ηi , то он имеет и сопряженный корень α¯ = ξ − ηi , а потому делится на произведение

(x − α)(x − α¯) = x2 − 2ξx + (ξ2 + η2) = x2 + px + q,

где p = −2ξ , q = ξ2 + η2 , т. е. на квадратный трехчлен с комплексными корнями. Частное от деления многочлена P (x) на трехчлен x2 + px + q есть многочлен Q(x)

с действительными коэффициентами. Имеем

P (x) = (x2 + px + q)Q(x).

Если α1 есть комплексный корень многочлена Q(x) , то α¯1 также есть корень Q(x) и Q(x) делится на трехчлен

(x − α1)(x − α¯1) = x2 + p1x + q1.

4

В этом случае α , α¯ , α1 и α¯1 суть корни многочлена P (x) и он делится на произведение трехчленов

(x2 + px + q)(x2 + p1x + q1).

Имеем

P (x) = (x2 + px + q)(x2 + p1x + q1)Q1(x).

Описанный процесс попарного выделения сопряженных комплексных корней можно продолжать, пока не будут исчерпаны все комплексные корни многочлена P (x) . Из сказанного следует, что комплексные корни многочлена P (x) попарно сопряжены; при этом наличие кратного корня влечет за собой наличие сопряженного корня той же кратности.

Если в разложении многочлена P (x) на множители

P (x) = a0(x − x1)(x − x2) . . . (x − xn )

на множестве комплексных чисел выделить действительные двучлены первой степени, соответствующие действительным корням, и квадратные трехчлены, соответствующие парам комплексных сопряженных корней, то получится следующее разложение P (x) на множители на множестве действительных чисел:

P (x) = a0(x − x1)α1 . . . (x − xr )αr (x2 + p1x + q1)β1 . . .
. . . (x2 + psx + qs)βs .	(6)

В этом разложении каждый неразложимый (на множестве действительных чисел) множитель берется в степени, равной кратности соответствующего корня.

Напомним, что дробно-рациональная функция это отношение двух многочленов:

	f (z) =	Q(z)	=	b0zm + . . . + bm	.	(7)
		P (z)		a0zn + . . . + an

Если m < n , то дробь называется правильной, независимо от значений коэффициентов, в противном случае неправильной. Неправильную дробь всегда можно представить в виде суммы целой части (многочлена) и правильной дроби; это можно сделать, например, посредством деления числителя на знаменатель столбиком. Так,

z3

3z

z2 − 1

1

−7

= z +

,

=

+

2

и т. д.

z2 − 3

2z2

+ 5

z2 − 3 2z2 + 5 2

Важно отметить, что в отличии от числовых дробей сумма правильных дробно– рациональных функций также является правильной дробью. Чтобы это доказать, будем указывать степень многочлена с помощью индекса; тогда

Qm(z)		¯		(z)
	+	Qm¯			=
Pn(z)		¯	(z)
		Pn¯

¯	¯	(z)Pn(z)
Qm(z)Pn¯	(z) + Qm¯
			.
	¯

Pn(z)Pn¯ (z)

Если слева стоят правильные дроби, то m < n и m¯ < n¯ . Но тогда в числителе суммы первое слагаемое имеет степень m + n¯ < n + n¯ , а второе степень m¯ + n < n + n¯ , т. е. и весь числитель имеет степень < n + n¯ , а степень знаменателя = n + n¯ , т. е. сумма правильная дробь. Это, очевидно, верно и для большего числа слагаемых.

5

Пусть дробь (7) правильная, причем знаменатель разложен на линейные множители:

P (z) = a0(z − z1)α1 . . . (z − zk )αk ,

здесь z1, . . . , zk все различные корни многочлена P (z) , а α1, . . . , αk

их кратности.

Тогда эту дробь можно представить в виде (при условии, что a0 = 1 )

Q(z)

=

A11

+

A21

+ . . . +

Aα1 1

+

P (z)

(z

− z1)α1

(z − z1)α1−1

z

− z1

A12

A22

Aα2

2

+

+

+

. . . +

+ . . .

(z − z2)α2

(z − z2)α2−1

z − z2

Ak

Ak

Ak

. . . +

1

+

2

+ . . . +

αk

,

(8)

(z − zk )αk −1

(z − zk )αk

z − zk

где Aji некоторые числовые коэффициенты. Дроби, стоящие в правой части, называются простейшими рациональными дробями первого типа. Итак, всякую правильную рациональную дробь можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей первого типа.

На практике указанное разложение обычно осуществляется по методу неопределенных коэффициентов: выписывают правую часть формулы (8) с буквенными коэффициентами в числителях, после чего находят эти коэффициенты с помощью тех или иных манипуляций, которые мы продемонстрируем на примере.

Пример 4. Разложить на простейшие дроби функцию

x3 − 2x + 3 x(x − 1)(x + 2)2 .

Решение. Так как дробь правильная, то по формуле (8), для простоты обозначая коэффициенты различными буквами, получим:

x3 − 2x + 3	=	A	+	B	+	C	+	D	.
		x		x − 1		(x + 2)2
x(x − 1)(x + 2)2								x + 2

Умножив на общий знаменатель, получим

x3 − 2x + 3 = A(x − 1)(x + 2)2 + Bx(x + 2)2 + Cx(x − 1) + Dx(x − 1)(x + 2).

Это равенство должно быть тождеством. Поэтому раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x ; получим систему уравнений (проверьте!):

x3	: A + B + D = 1,
x2	: 3A + 4B + C + D = 0,
x1	:	4B − C − 2D = −2,
x0	:	−4A = 3,

откуда легко подсчитать

A = −	3	, B =	2	, C = −	1	, D =	55	.
	4		9		6		36

6

Таким образом, искомое разложение имеет вид

x3 − 2x + 3

=

−3

+

2

1

+

55

.

9(x

1) −

6(x + 2)2

x(x

−

1)(x + 2)2

4x

−

36(x + 2)

Если дробь (7) имеет вещественные коэффициенты и независимая переменная считается вещественной, но знаменатель обладает комплексными корнями, то разложение

(8) хотя и возможно, но не всегда удобно. В этом случае часто применяется разложение другого типа.

Пусть знаменатель P (x) разложен на множители:

P (x) = a0(x − x1)α1 . . . (x − xr )αr (x2 + p1x + q1)β1 . . . . . . (x2 + psx + qs)βs ,

тогда для дроби (7) возможно следующее разложение (при условии, что a0 = 1 ):

Q(x)

=

A11

+

A21

+ . . . +

Aα1 1

+ . . .

P (x)

α

(x−x1)α1−

1

x−x1

(x−x1)

1

. . . +

A1r

+

A2r

+ . . . +

Aαr r

+

α

r

(x−xr )αr −

1

(x−xr )

x−xr

B11x+C11

B21x+C21

(9)

+

+

+ . . .

(x2+p1x+q1)β1

(x2+p1x+q1)β1−1

1

1

B1sx+C1s

B2sx+C2s

Bβ1 x+Cβ1

. . . +

+ . . . +

+

+ . . .

x2+p1x+q1

(x2+psx+qs)βs

(x2+psx+qs)βs−1

Bs

x+Cs

. . . +

β

s

β

s

.

2

x

+psx+qs

Дроби в правой части, в знаменателе которых стоит степень квадратного трехчлена, называются простейшими рациональными дробями второго типа. Как и раньше, все коэффициенты, стоящие в числителях, можно определить по методу неопределенных коэффициентов. Однако, так как теперь все манипуляции будут производиться лишь с вещественными числами, то неизвестные коэффициенты будут обязательно вещественными. Итак, всякую правильную рациональную дробь с вещественными коэффициентами можно представить в виде суммы простейших рациональных дробей первого и второго типов с вещественными коэффициентами.

Пример 5. Разложить на простейшие дроби функцию

1

x2(x3 + 1) .

Решение. Знаменатель этой дроби разлагается на множители:

x2(x3 + 1) = x2(x + 1)(x2 − x + 1).

Так как дробь правильная, то по формуле (9), для простоты обозначая коэффициенты различными буквами, получим:

1		=	A1	+	A2	+	B	+	Cx + D	.
x2(x + 1)(x2 − x + 1)			x2		x		x + 1
									x2 − x + 1

7

Умножив на общий знаменатель, получим

1 = A1(x3 + 1) + A2x(x3 + 1) + Bx2(x2 − x + 1) + (Cx + D)x2(x + 1).

Это равенство должно быть тождеством. Поэтому раскроем скобки и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях x ; получим систему уравнений (проверьте!):

x4	: A2 + B + C = 0,
x3	: A1 − B + C + D = 0,
x2	: B + D = 0,
x1	:	A2	= 0,
x0	:	A1	= 1,

откуда легко подсчитать:
A1 = 1, A2 = 0, B =							1		, C = −			1	, D = −	1		.
								3				3		3
Таким образом, искомое разложение имеет вид
1			1				1						x + 1
			=		+					−					.
	x2(x3 + 1)			x		3(x + 1)					3(x2 − x + 1)

Из разложения

P (z) = a0(z − z1)α1 (z − z2)α2 . . . (z − zk )αk

следует, что свободный член равен

(−1)α1+...+αk a0z1α1 · ... · zkαk

и, значит, делится на все корни данного многочлена. Следовательно, если действительный многочлен с целочисленными коэффициентами имеет только целые корни, то они могут быть найдены непосредственной проверкой целых делителей свободного члена.

Пример 6. Разложить на множители P (x) = x3 − 3x2 + 4 . Решение. Здесь свободный член равен 4. Его делители ±1 , ±2 , ±3 , ±4 . Ищем среди них корень.

P (1) =6 0 , 1 не является корнем. P (−1) = 0 , -1 корень.

Делим x3 − 3x2 + 4 на x + 1 , получаем x2 − 4x + 4 . Деление должно выполняться без остатка! Если есть остаток, то это означает, что или неправильно выполнено деление или неправильно найден корень.

Имеем

x3 − 3x2 + 4 = (x + 1)(x2 − 4x + 4) = (x + 1)(x − 2)2.

Замечание 1. Как только найден один корень, сразу выполняется деление, не находя других корней.

Если частным будет многочлен степени больше второй, к нему применяем тот же прием.

Случаи, когда многочлен имеет вид

x2m + pxm + q,

сводятся к решению квадратного уравнения, или многочлен вообще не имеет действительных корней.

Пример 7. Разложить на множители P (x) = x4 + 1 . Решение. В этом случае

√

x = 4 −1 , т. е. все корни комплексные.

√ √

x4 + 1 = (x2 + 1)2 − 2x2 = (x2 + 2x + 1)(x2 − 2x + 1).

8