kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Обратные матрицы

ТЕМА 3. ОБРАТНАЯ МАТРИЦА.

1.Понятие обратной матрицы

Определение 1. Квадратная матрица A−1				называется обратной к данной
квадратной матрице A, если их произведение равно единичной матрице E :
		1	0	. . . 0
A · A−1 = A−1 · A = E =	0. . .1. . ....... . .0 .
		0	0	. . . 1

Определение 2. Вырожденной квадратной матрицей называется такая матрица, определитель которой равен нулю. Невырожденной называется квадратная матрица, определитель которой не равен нулю.

Теорема 1. Для того чтобы матрица A имела обратную матрицу, необходимо и достаточно, чтобы она была невырожденной.

Доказательство. Необходимость. Заметим, без доказательства, что для квадратных матриц A и B справедливо равенство |AB| = |A||B|. Предположим, что у

матрицы A, |A| = 0, существует обратная матрица A−1. Тогда |AA−1|			= |A||A−1| = 0.
С другой стороны,	|AA−1|	= |E| = 1, что легко вытекает из правила 3. Полученное
противоречие показывает, что |A| =6 0.
Достаточность.	Пусть	матрица A невырождена. Cоставим	матрицу A
(присоединенную) из алгебраических дополнений матрицы A :

A11 A12

A = A21 A22

. . . . . . . . .

An1 An2

. . . A1n

. . . A2n

.. . . . . . . . .

. . . Ann

.

Матрицу A транспонируем и каждый ее элемент разделим на определитель |A| (который не равен нулю по условию теоремы). Покажем, что так построенная матрица

	B11	B12	. . .	B1n
B =	B. .21. . .	.B.22. . . .	...... .	.B. .2n.
	Bn1	Bn2	. . .	Bnn

будет обратной к матрице A. Действительно,

	, где Bij =	Aji	, i = 1, . . . , n; j = 1, . . . , n,
		|A|

B11 B12

BA = B21 B22

. . . . . . . . .

Bn1 Bn2

. . . B1n

. . . B2n

.. . . . . . . . .

. . . Bnn

a11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n

. . . . . . . . . . . . . . . . .

an1 an2 . . . ann

=

1

aj1Bnj

P aj1B1j

aj1B2j

n

j=1

n

P

=j=1

. . . .

n

P

j=1

n		n
P	aj2B1j . . .	P	ajnB1j
j=1		j=1
n		n
P	aj2B2j . . .	P	ajnB2j
j=1		j=1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

n	n
P	P
aj2Bnj . . .	ajnBnj
j=1	j=1

. (1)

Из определения детерминанта имеем

	n			|A|
n	P	ajiAji
X ajiBij =	j=1		=		= 1; i = 1, . . . , n.
		|A|		|A|
j=1

А в силу утверждения 1 (из лекции 1), которое справедливо для определителей n -го порядка) получим

	n		0
n	P	ajiAjk
X ajiBkj =	j=1		=		= 0;		i = 1, . . . , n; k = 1, . . . , n, если i =6 k.
		|A|		|A|
j=1
Отсюда и из формулы (1) получим
						0	. . . 0
			1
					0	1	. . . 0
			BA = . . . . . . . . . . .					= E.
					0	0	. . . 1

Аналогично показывается, что AB = E. Следовательно, B = A−1. Теорема доказана.

Пример 1.

Найти матрицу, обратную матрице A, если

12 −1

								A =			3		0	2	.
											4		−2	5
Решение. Вычислим определитель данной матрицы
|A| =		1	2	−1		=		1	2	−1			= −2 ·		3	2		= −2 · (12 − 10) = −4.
		3	0	2				3	0		2				5	4
		4	−2	5				5	0		4

Так как |A| = −4 =6 0, матрица A имеет обратную матрицу. Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A :

A11 =		0	2		= 4, A12		= −		3		2		= −7, A13			=		3		0		= −6,
		−2	5						4		5							4		−2
A21 = −		2	−1			= −8, A22 =				1 −1					= 9, A23 = −					1		2		= 10,
		−2		5						4		5								4	−2

2

A31	=		2 −1		= 4, A32 = −			1 −1			= −5, A33			=		1	2		= −6.
			0 2					3	2							3	0
Присоединённая матрица A имеет вид
								4	−7	−6			.
					A	=	−8		9		10
								4	−5	−6

Транспонируем матрицу A :
	T		4	−8	4		.
(A )		=	−7	9	−5
			−6	10	−6

Обратную матрицу найдём по формуле A−1 =						1		· (A )T :
						|A	|
−1	1		4	−8	4 −1				2	−1
			−7	9	−5		7/4		−9/4	5/4
	4 ·										.
A = −			−6	10	−6 =			3/2	−5/2	3/2

2.Решение систем линейных уравнений с помощью обратной матрицы (матричным методом)

Системой уравнений называют множество уравнений с n неизвестными (n ≥ 2), для которых требуется найти значения неизвестных, удовлетворяющих одновременно всем уравнениям системы.

Системой m линейных уравнений с n неизвестными x1, x2, . . . xn называется система вида:

a11x1 + a12x2 + . . . + a1nxn = b1,
a21x1 + a22x2 + . . . + a2nxn = b2,
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .	(2)
am1x1 + am2 x2 + . . . + amn xn = bm,

где aij ,	bi – числа. Числа aij ( i = 1, . . . , m; j = 1, . . . , n ) называются коэффициентами,
bi ( i =	1, . . . , m )	–	свободными членами. Коэффициенты обозначены буквой a с
двумя индексами i		и	j : первый ( i ) указывает номер уравнения, второй ( j ) – номер

неизвестной, к которой относится данный коэффициент. Число уравнений m может быть больше, равно или меньше числа неизвестных n.

Систему (2) можно записать в матричном виде:

AX = B,

(3)

где

x1

b1

a11

a12

. . . a1n

A =

a21

a22

. . . a2n

, X =

x.2

,

B =

b.2

.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.

.

.

.

am1

am2

. . . amn

xn

bm

3

Ann

|A|

A2n

|A|

A1n

|A|

	Матрица A называется основной матрицей системы, X столбцом неизвестных,
B столбцом свободных членов.
	Определение 3. Совокупность чисел α1, α2, . . . , αn или α =
	α1

α2

. называется решением системы, если она обращает все уравнения системы в

.

.

αn

тождества, т. е. Aα ≡ B .

Рассмотрим случай, когда матрица система (2) квадратная, т. е. m = n и невырожденная. Если матрица A невырожденная, то по теореме 1 существует обратная матрица A−1. Умножим обе части матричного уравнения (3) слева на A−1, получим

A−1(AX ) = A−1B, или (A−1A)X = A−1B,

откуда

EX = A−1B

и, наконец,

X = A−1B.

(4)

При выводе формулы (4) мы воспользовались свойством ассоциативности умножения, определениями обратной и единичной матриц.

Вывод: матрица-столбец X неизвестных равна произведению обратной матрицы системы на столбец свободных членов. Отсюда можно легко найти конкретные значения неизвестных. Этот метод решения систем называется матричным методом.

3.Формулы Крамера

Формула (4) в развернутом виде представляется так:

n

P

bi Ai1

i=1

x1

x2

.. =

.

xn

	A11	A21	. . .	An1
	|A|	|A|		|A|
	A12	A22	. . .	An2
	|A|	|A|		|A|

. . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . .

b1		n		|bi|Ai2
b2		iP		A
.	=
				|A|	,
		=1
..			.
		..
bn		n		bi Ain
		iP
		=1

|A|

то есть		n
		P	biAij		b1A1j + b2A2j + . . . + bnAnj
	xj =	i=1		=			=		j	(j = 1, 2, . . . , n),
		|A|			|A|
где	= |A| главный определитель					системы;		j определитель, полученный
из	главного определителя				заменой	j -го столбца			столбцом свободных членов и

называемый вспомогательным определителем.

4

Итак,

n

P

			biAij
xj =	j	=	i=1	(j = 1, 2, . . . , n).	(5)
			|A|

Формулы (5) называются формулами Крамера.

Пример 2.

Решить систему

x1 + x2 + x3 = 5, x1 − x2 + x3 = 3,

2x1 − x2 − x3 = 1

матричным методом и по формулам Крамера.

Решение.

1. Матричным методом:

x1			1				1		1		5
x2	,	A =			1	−1			1	,	B =	3	.
X = x3					2	−1		−1				1
		|A| =		1		1		1		= 6.
				1 −1				1
				2		−1		−1

A11 = 2;

A21 = 0;

A31 = 2;

A12 = 3;

A22 = −3;

A32 = 0;

A13 = 1;

A23 = 3;

A33 = −2.

−1

1/3

0

1/3

A =

1/2 −1/2

0

1/6

3/6 −2/6 .

x1

1/3

0

1/3 5 2

x2

=

1/2 −1/2

0

3

=

1

X = x3

1/6 3/6 −2/6

1

2

x1 = 2; x2 = 1; x3 = 2.

2. По формулам Крамера:

= |A| = 6;

1 =

5

1

1

= 12;

3

−1

1

1

−1

−1

2

1 5

1

3

=

1

1

5

=

1 3 1

= 6;

1 −1 3

= 12

2 1 −1

2 −1 1

x1 =

12

= 2; x2 =

6

= 1; x3 =

12

= 2.

6

6

6

5