kurs_lekcii_mo_matematicheskomu_analizu / Матрицы

ТЕМА 1. МАТРИЦЫ.

1.Матрицы и действия над ними

1.1.Основные определения

Определение 1. Матрицей называется прямоугольная таблица чисел, состоящая из m строк и n столбцов

	a21	a22	. . . a2n
	a11	a12	. . .	a1n	.
A = (aij ) =	. . . . .	.a.m.2. . .	...... .	.a.mn. .		(1)
	am1

В этом случае говорят, что размерность матрицы A стоящий на пересечении i -й строки и j -го столбца. Числа i, элемента.

(m × n); aij – элемент, j называются индексами

Элементами матрицы, как правило, являются числа, но иногда и другие математические объекты, например, векторы, многочлены, дифференциалы и даже матрицы.

Определение 2. Квадратной матрицей называется матрица, у которой число строк равно числу столбцов (n × n). При этом число n называется порядком матрицы. Элементы a11, a22, . . . , ann называются элементами главной диагонали, или диагональными.

	c2
		c1
Определение 3. Матрица, состоящая из одного столбца	..			, называется
	cm

матрицей-столбцом и обозначается ~c; матрица, состоящая из одной строки (c1, c2, . . . , cn), называется матрицей-строкой и также обозначается ~c.

И матрица-столбец, и матрица-строка имеют еще одно название вектор.

Две матрицы A = (aij ) и B = (bij ) называются равными, если они одинаковой

размерности и aij = bij (i = 1, . . . , m, j = 1, . . . , n), т. е. их соответствующие элементы равны.

Определение 4. Нулевой матрицей называется матрица, у которой все элементы равны нулю: aij = 0. Например, нулевая матрица 2 -го порядка имеет вид

	O =	0	0	.
		0	0

1.2.Линейные операции над матрицами

Линейными операциями над матрицами называются сложение и вычитание матриц, умножение матриц на число. Сложение и вычитание определяются только для матриц одинаковой размерности.

1

Определение 5. Суммой матриц A = (aij ) и B = (bij ) одной и той же размерности (m × n) называется матрица C размерности (m × n), каждый элемент которой представляет собой сумму соответствующих элементов матриц A и B :

C = A + B = (cij ), где cij = aij + bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Определение 6. Разностью матриц A = (aij ) и B = (bij ) одной и той же размерности (m × n) называется матрица D размерности (m × n), каждый элемент которой представляет собой разность соответствующих элементов матриц A и B :

D = A − B = (dij ), где dij = aij − bij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Определение 7. Произведением матрицы A = (aij ) размерности (m × n) на число α называется матрица C размерности (m × n), полученная из данной умножением каждого ее элемента на число α :

C = αA = (cij ), где cij = αaij , 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n.

Матрицу (−1) · A называют матрицей, противоположной матрице A, и обозначают через −A.

Замечание 1. Разность A−B двух матриц можно определить так: A−B = A+(−B). Для матриц одинаковой размерности и для любых действительных чисел α, β

справедливы следующие свойства:

1. A + B = B + A – свойство коммутативности (перестановочности); 2. (A + B) + C = A + (B + C) – свойство ассоциативности;

3. A + O = O + A = A; 4. A + (−A) = O;

5. 1 · A = A;

6. α(βA) = (αβ)A;

7. α(A + B) = αA + αB;

8. (α + β)A = αA + βA.

Все эти свойства легко проверяются по определениям 5–7, т. к. являются следствиями

аналогичных свойств чисел.
Пример 1.	4	3	,	B =	−2		2	.
Даны две матрицы A =
	2	1				3	−1
	6	5				1	−3

Найти 3A − 2B.

Решение.

3A − 2B = 3 ·	4		3		− 2 ·	−2		2	=
		2	1				3	−1
		6	5				1	−3
	(3 × 2)						(3 × 2)

2

=

3 · 4

3 · 3 − 2 · (−2)

2 · 2

=

3

· 2

3

· 1

2

· 3

2 ·

(−1)

3 · 6

3 · 5

2 · 1

2 · (−3)

=

12

9

−

−4

4

=

6

3

6

−2

18

15

2

−6

(3 × 2)

(3 × 2)

=

12 − (−4)

9 − 4

=

16

5

6 − 6

3 − (−2)

0

5

18 − 2

15 − (−6)

16

21

(3 × 2)

Легко проверить, что

0 · A = O,

т. е. при умножении любой матрицы на нуль в результате получается нулевая матрица.

1.3.Умножение матриц

Определение 8. Произведением матрицы A = (aij ) размерности m×n на матрицу B = (bls ) размерности n × k называется матрица C = AB = (cpt) размерности m × k,

где

n

X

cpt = apq bqt = ap1b1t + ap2b2t + . . . + apnbnt, 1 ≤ p ≤ m, 1 ≤ t ≤ k,

q=1

т. е. элемент cpt матрицы C равен сумме произведений элементов p -й строки матрицы A на соответствующие элементы t -го столбца матрицы B.

Замечание 2. Перемножаются только такие матрицы, у которых число столбцов первой равно числу строк второй.

Пример 2.

Найти произведения AB и BA матриц

		A = 3			4 , B =					0 −2 4 .
				1	2
				5	6					1	3	2
Решение.		AB =		3		4		·	0 −2 4					=
					1	2
					5	6			1		3 2
	3 · 0 + 4 · 1			(3 × 2)						(2 × 3)				4 6 20 .
=			3 · (−2) + 4 · 3					3 · 4 + 4 · 2					=
	1	· 0 + 2 · 1	1 · (−2) + 2				· 3	1 · 4 + 2			· 2			2 4 8
	5 · 0 + 6 · 1		5 · (−2) + 6 · 3					5 · 4 + 6 · 2						6 8 32
														(3 × 3)

3

		BA =	0	−2	4	·	3			4		=
								1		2
			1	3	2			5		6
	0 11· 1 + 3 · 3 + 2 · 5		(2 × 3)				(3 × 2)						20	26 .
=				1 · 2 + 3 · 4 + 2 · 6								=
	·	+ (−2) · 3 + 4 · 5 0 · 2 + (−2)					· 4 + 4		· 6				14	16
													(2 × 2)

Замечание 3. Из того, что матрицу A можно умножить на B, не следует, что матрицу B можно умножить на A. В общем случае AB =6 BA (см. пример 2). Если

AB = BA, то матрицы A и B называются перестановочными, или коммутативными.

Определение 9. Единичной матрицей называется квадратная матрица E, диагональные элементы которой равны единице, а остальные равны нулю.

	E =	1	0	– единичная матрица второго порядка.
		0	1

Умножение матриц обладает следующими свойствами. Если имеют смысл соответствующие действия, то выполняются равенства:

1.(AB)C = A(BC) – свойство ассоциативности;

2.α(AB) = (αA)B = A(αB) , где α – любое действительное число;

4.	C(A + B) = CA + CB	относительно сложения.
3.	(A + B)C = AC + BC,	дистрибутивность умножения

Упражнение 1. Проверить на матрицах третьего порядка равенство AE = EA = A. Упражнение 2. Проверить свойство ассоциативности умножения (AB)C = A(BC),

когда A, B, C – квадратные матрицы 2-го порядка.
Пример 3.
Найти значение многочлена f (A) от матрицы A, если
			2		1	−1	.
		f (x) = x − 3x + 5 и A = 2 −3
Решение.
2		+ 5E =	1 −1	1 −1	− 3 ·	1 −1				1 0	=
f (A) = A − 3A			2 −3	· 2 −3		2 −3 + 5 ·				0 1
=	1 · 1 + (−1) · 2		1 · (−1) + (−1) · (−3)				3 · 1 3 · (−1)		+
	2 · 1 + (−3) · 2		2 · (−1) + (−3) · (−3) −				3 · 2 3 · (−3)
	+	5 · 1 5 · 0	=	−1 2	3 −3		5 0	=
		5 · 0 5 · 1		−4 7 − 6 −9			+ 0 5
		−1 − 3 + 5 2 − (−3) + 0			=	1	5
		= −4 − 6 + 0 7 − (−9) + 5				−10 21 .

4

1.4.Транспонирование матрицы

Определение 10. Результатом транспонирования матрицы A = (aij ) размерности (m × n) является матрица B = (bij ) размерности (n × m), где bij = aji. Матрица, транспонированная к A, обозначается AT.

Матрица AT получается из матрицы A заменой каждой ее строки столбцом с тем же номером.

Для операции транспонирования справедливы следующие свойства:

1.(AT)T = A;

2.(A + B)T = AT + BT;

3.(A · B)T = BT · AT;

4.(λA)T = λAT.

	Пример 4.
	Дана матрица A =	1	2	3	.				T
		0	2	−1			Найти A .
	Решение.									2		2 .
		AT =			1 2 3				=
								T			1	0
					0	2	−1				3	−1
	Упражнение 3. Транспонировать матрицу
										.
						0	3	−1	4
						1	2	3	0
						4	1	−2	0

5