gos / Гетманов3

Рис. 6.1.1а. Выход ЦФ первого порядка при действии ступенчатого единичного входного сигнала

Рис. 6.1.1б. Выход ЦФ второго порядка при действии ступенчатого единичного входного сигнала

Возможно дальнейшее обобщение для ЦФ, когда входная y(i) и выходная x(i) последовательности являются векторами размерности q, p а весовые параметры – матрицами Br , As размерности

( p, p), ( p, q) :

176

y (i)

x (i)

b11,r

b12,r

b1 p,r

1

1

y(i)

y2 (i)

,

x(i)

x2 (i)

, B

b21,r

b22,r

b1 p,r

,

...

r

yq (i)

xp (i)

b

p1,r

b

p2,r

b

pp,r

a11,s

a12,s

a1q,s

A

a21,s

a22,s

a1q,s

.

s

aq1,s

aq2,s

aqq,s

Векторно-матричный фильтр записывается с использованием введённых обозначений

m	k
x(i) Br x(i r) As y(i s),		i 0, 1, 2... .
r 1	s 0

Очевидно, любой рекурсивный скалярный фильтр общего вида с помощью новых обозначений для сдвинутых переменных может быть записан в матрично-векторной форме. Действительно, для

примера (6.1.4)	введём	новые	переменные	x1(i) x(i),
x (i) x(i 1) и	вектор	xT (i) (x (i), x (i)), тогда		x (i 1)
2		1	2	2

x(i 2) и ЦФ (6.1.4) может быть переписан в виде дискретной

системы
x1(i) b1x1(i 1) b2 x2 (i 1) a0 y(i),	x2 (i) x1(i 1). (6.1.5)

Система (6.1.5), в свою очередь, может быть представлена в виде матричновекторного ЦФ первого порядка

В	b1	b2	,	А	a0	,	x(i) В x(i 1) А y(i).
1	1	0		0	0		1	0

6.1.2. Импульсно-переходные функции ЦФ

Импульсно-переходные функции ЦФ, зависящие от целочисленных аргументов, позволяют без обратной связи, напрямую, связать значения входного сигнала с выходным. Рассмотрим общий вид ЦФ (6.1.1) в виде РЦ-фильтра. Заметим, что РЦ-фильтр является линейной структурой: если проследить по формулам (6.1.1) образование выходного сигнала для i-го момента, начиная с

177

i 0, 1, 2, ..., то нетрудно понять, что для РЦФ выходной сигнал x(i) представляется в виде некоторой линейной комбинации значений начальных условий x( 1), x( 2),..., x( m) и последовательно-

сти входного сигнала y(i), y(i 1),..., y(0), y( 1), у( 2),..., y( k).

Введём весовые коэффициенты h(i, s), h0 (i, r), которые всегда

можно определить из разностных уравнений в виде громоздких зависимостей от целочисленных переменных i, s, r. Запишем выходной сигнал РЦФ x(i) с использованием взвешенных сумм

m	i
x(i) h0 (i, r)x( r) h(i, s) y(s).		(6.1.6)
r 1	s k

Функции двух переменных h(i, s), определённые в дискретных

точках, обычно называются импульсно-переходными. Необходимо, однако, иметь в виду, что выходной сигнал x(i) зависит от функ-

ции h(i, s) и функции h0 (i, r), учитывающей вклад начальных ус-

ловий. Если начальные условия являются нулевыми, то формула связи (6.1.6) упрощается:

	i
x(i)	h(i, s) y(s).	(6.1.7)

s k

Таким образом, основываясь на (6.1.6), (6.1.7), выходной сигнал ЦФ с помощью импульсно-переходной функции может быть напрямую связан со входным сигналом.

Рассмотрим вычисление импульсно-переходной функции для рекурсивного скалярного фильтра первого порядка

x(i) b1x(i 1) a0 y(i).

Выразим x(0) через x( 1),		y(0),		затем x(1)			через x( 1),	y(0), y(1)
и т.д.:
	x(0) b1x( 1) a0 y(0),
x(1) b1x(0) a0 y(1) b1 ( b1x( 1) a0 y(0)) a0 y(1)
	b2 x( 1) b a y(0) a y(1) ,
	1		1	0		0
x(2) b x(1) a y(2) b			(b2 x( 1) b a y(0) a y(1)) a y(2)
1	0	1	1		1	0	0	0
	b2 x( 1) b2a y(0) b a					y(1) a y(2),
	1	1	0	1	0		0

…

178

Из приведённых выкладок заключаем, что для i-го шага справедливо выражение, позволяющее вычислить значение x(i) через на-

чальное условие x( 1) и входную последовательность y(0), y(1),..., y(i) :

i
x(i) ( 1)i 1b1i 1x( 1) ( 1)i s b1i	s a0 y(s).	(6.1.8)
s 0

Исходя из (6.1.8) можно записать формулу для импульсно-

переходной	функции	h(i, s) ( 1)i s bi	sa	и функции h (i,1)
		1	0	0
( 1)i 1bi 1.	Очевидно, что нахождение			импульсно-переходных
1

функций для ЦФ порядка выше первого сопряжено со сложными выкладками. Для векторно-матричной формы ЦФ первого порядка вывод, аналогичный (6.1.8), не должен измениться:

n
x(i) ( 1)i 1 B1i 1x( 1) ( 1)i s B1i	s A0 y(s).	(6.1.9)

i 0

Из (6.1.8), (6.1.9) следует, что импульсно-переходные функции зависят от разности аргументов

h(i, s) ( 1)i s b1i sa0 h(i s)

и могут быть представлены как функции одного положительного целочисленного аргумента h(m), m 0, 1, 2,... . Выходной сигнал

рекурсивного фильтра представляется в виде свёртки. При нулевом начальном условии справедлива компактная запись для выходного сигнала

i	i
x(i) h(i s) y(s) h(s) y(i s).		(6.1.10)
s 0	s 0

Из (6.1.10) видно, что импульсно-переходная функция фильтра при нулевых начальных условиях тождественно равна реакции фильтра на импульсное единичное входное воздействие:

y(i) 1,

i 0,

y(i) 0, i 0,

x(i) h(i).

Для импульсно-переходных функций НРЦ-фильтров, с учетом формул (6.1.10), нетрудно убедиться, что справедливы следующие равенства:

k
x(i) as y(i s),	h(0) a0 ,	h(1) a1,...,	h(k) ak .
s 0
	179

В данном случае импульсно-переходные функции определены в конечном числе точек. Фильтры, имеющие такие импульснопереходные функции, называются КИХ-фильтрами. РЦ-фильтры имеют импульсно-переходные функции, определённые в бесконечном числе точек; такие фильтры называются БИХ-фильтрами.

6.2. Передаточные функции и условие устойчивости для ЦФ

6.2.1. Передаточные функции для ЦФ

Передаточные функции (ПФ) для ЦФ определяются его выходным сигналом в установившемся режиме при действии на входе фильтра единичного дискретного комплексного синусоидального сигнала

	y(Тi) e j Ti ,	0 i ,
где T –	интервал дискретизации,	частота входного сигнала –
2 f .	В установившемся режиме выходной сигнал ЦФ пред-

ставляет собой комплексную синусоидальную функцию с частотой входной синусоиды и отличающуюся от входной синусоиды амплитудными и фазовыми искажениями, которые зависят от частоты. Проиллюстрируем этот факт с помощью математического моделирования. Рассмотрим ЦФ первого порядка в виде цифрового апериодического звена (6.1.3) со входным сигналом в виде синусоиды

	x(i) b1x(i 1) a0 y(Тi),	y(Ti) Asin(2 fTi ),
	i 0, 1,...,	N 1.		(6.2.1)
Для расчётов брались значения параметров			фильтра	a0 0,15;
b1 0,55, начальное условие x( 1) 2,636;			T 0,01;	N 80;
A 1;	f 5,0 Гц; /2. На рис. 6.2.1 пунктирной линией изо-

бражён вычисленный входной синусоидальный сигнал y(Ti), время наблюдения составляет величину T (N 1) 0,79 c, сплошной линией изображён вычисленный выходной сигнал ЦФ x(i) x(Ti).

Видно, что после непродолжительного переходного процесса наступает установившийся режим – на выходе ЦФ формируется установившийся синусоидальный сигнал x0 (Ti) A0 sin(2 f Ti

0 ) с частотой входного сигнала и с амплитудными и фазовыми искажениями. Из анализа графика выходного сигнала можно

180

сделать приближённые оценки для искажённой амплитуды, которая равняется А0 0, 25 и фазового запаздывания, равного

0 0,55.

Рис. 6.2.1. Моделирование установившегося режима для ЦФ

Введём комплексный коэффициент H ( j T ), не зависящий от дискретного индекса i и позволяющий связать входной y(Ti) и вы-

ходной x(Ti)	комплексные синусоидальные сигналы в устано-
вившемся режиме:
	x(Ti) H ( j T ) y(Ti) H ( j T ) e j Ti .
Коэффициент	H ( j T ) по определению является передаточной

функцией. Отметим, что ПФ является комплексной функцией частоты и может быть представлено в показательной форме

H ( j T ) H ( T ) jH		( T ),	H ( j T )		H ( j T )		e j ( T ) ,
1	2

где H ( j T ) – амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) для ЦФ; ( T ) – его фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Произведём вычисления для сдвинутых комплексных синусоид

y(i s) e j T (i s) e j Tie j Ts ,

x(i r) H ( j T ) y(i r) H ( j T ) e j Tie j Tr .

Подставив эти выражения в разностное уравнение для ЦФ, получим формулу для передаточной функции ЦФ

181

	m				k
	H ( j T )e j Ti br	H ( j T ) e j Tie j Tr as e j Tie j Ts ,
	r 1				s 0
			k
			ase j Ts
	H ( j T )		s 0	.	(6.2.2)
			m
			1 br e j Tr
			r 1

АЧХ и ФЧХ, которые вычисляются на основе ПФ (6.2.2), позволяют определить амплитудные и фазовые искажения для выходного синусоидального сигнала.

Любому разностному уравнению ЦФ вида (6.1.1) может быть поставлена в соответствие передаточная функция вида (6.2.2). К примеру, для разностного уравнения

x(i) 2x(i 1) 3x(i 2) 4x(i 3) 5y(i) 6y(i 1)

передаточная функция для фиксированного значения интервала дискретизации T будет иметь вид

H ( j T ) 5 6e j T .

1 2e j T 3e j 2T 4e j 3T

Приведём выражения передаточных функций для ЦФ первого и второго порядка вида (6.1.3), (6.1.4)

H ( j T )	a0	,	H ( j T )		a0	. (6.2.3)
	1 b e j T			1 b e j T b e j 2T
	1			1	2

Очевидно, риодом 2 T .

e j 2T Ts

ПФ является периодической функцией частоты с пе- В самом деле

e j Tse j2 s e j Ts , H ( j T ) H j 2 T . T

Для действительных параметров ЦФ a0 , a1,...,ak , , b1,..., bm АЧХ симметрична относительно частоты НайквистаN 2 fN 2 / 2T. Представим ПФ в виде суммы косинусных и синусных членов, положим b0 1

		k	k
		as cos Ts j as sin Ts
	H ( j T )	s 0	s 0	.
		m	m
		br cos Tr j br sin Tr
		r 0	r 0
			182

Рассмотрим	частоты,	симметричные относительно N ,
1 Т ,	2 Т . Заметим, что
	cos 1Ts cos 2Ts, sin 1Ts sin 2Ts.
Введём функции частоты		A( ), B( ) для действительной и мни-

мой части числителя ПФ, ( ), ( ) – для действительной и мни-

мой части знаменателя ПФ. С учётом того, что все параметры являются действительными, получим следующие соотношения

H ( j T )	A( 1) jB( 1)	,	H ( j T )	A( 2 ) jB( 2 )	,
1	( 1) j ( 1)		2	( 2 ) j ( 2 )

H ( j 1T ) H*( j 2T ).

Из последнего равенства вытекает свойство симметрии АЧХ (ФЧХ)

H ( j 1T )				H ( j 2T )		,	( 1) ( 2 ).

Как следует из свойств периодичности, ПФ имеет смысл рассматривать для частотного диапазона, удовлетворяющего неравенству 0 Т 2 . Иногда целесообразно введение нормированной частоты w T /2 , и определение ПФ H (w) в виде функции вве-

дённой нормированной частоты с учётом ограничения 0 w 1. Для действительных параметров ПФ можно ограничиться диапазоном 0 w 0,5. В том случае, если значения АЧХ изменяются в широких пределах, удобно для графических рассмотрений применять логарифмический масштаб LH (w) 20log10 H (w) . Измене-

ние АЧХ H (w) в десять раз соответствует изменениям АЧХ в ло-

гарифмическом масштабе на 20 Дб. Пользуясь таким масштабом, на одном графике можно изобразить значения АЧХ для большого динамического диапазона по амплитуде.

Вычислим АЧХ		H ( j T )		и ФЧХ ( Т ) для цифрового аперио-

дического звена, сделав необходимые преобразования в (6.2.3):

H ( j T )	a0			a0
	1 b e j T		1 b cos T jb sin T
	1		1	1

a0 (1 b1 cos T ) ja0b1 sin T , (1 b1 cos T )2 (b1 cos T )2

H1	( T )		a0 (1 b1 cos T )			, H2	( T )		a0b1 sin T		,
		1		2b cos T b2					2b cos T b2
							1
				1	1				1	1
						183

H ( j T		(H 2	( T ) H 2	( T ))1/2
		1	2

			a0	,				(6.2.4)
		(1 b2	2b cos T )1/2
	1		1
	( Т ) arctg(H2 ( T ) / H1( T ))				b1 sin T			.
				1 b1 cos			T
							и ФЧХ (w)
	На рис. 6.2.2 представлено изображение АЧХ					H (w)

из (6.2.4) для нормированной частоты w в диапазоне 0 w 1. Параметры ЦФ принимали значения a0 0,15; b1 0,55, T 0,01 c.

Действительный полюс данного ЦФ располагается на правой полуоси.

Рис. 6.2.2а. АЧХ для цифрового апериодического звена

Рис. 6.2.2б. ФЧХ для цифрового апериодического звена

184

e j T ,

Видно, что АЧХ симметрична и ФЧХ антисимметрична относительно w 0,5. Оценка амплитудного искажения может быть оце-

нена на основе рис. 6.2.2а; для					f 5 Гц и частоте	Найквиста
fN 1/ 2T 50 Гц		вычислим			нормированную	частоту
w f / fN 0,1 и		H (0,1)		0,25.	Оценка фазового запаздывания

определяется из рис. 6.2.2б – (0,1) 0,55.

Многие практические задачи, связанные с анализом и построением ЦФ, решаются с помощью представлений ПФ на комплексной плоскости. Вводится переменная с обозначением z 1

z e j T , которая представляет собой при фиксированной частоте некоторую точку единичной окружности на комплексной плоскости. Тогда запишем ПФ как функцию отношения полиномов от введённых переменных z 1, z :

k

as z s

H (z 1) s 0

m

1 br z r

r 1

H (z) H0 zm k H0

							k
							(z s )
	,	H (z) H			0	z(m k )	s 1		,
							m
							(z r )
							r 1
						k
						(z s )
	(z),	H	0	(z)		s 1		,	(6.2.5)
						m
						(z r )

r 1

где комплексные числа s ,	s 1,.., k, являются нулями; r ,
r 1,..., m, – полюсами ПФ; H0	может трактоваться как комплекс-

ный коэффициент усиления.

Крайне полезно для задач ЦОС рассмотреть геометрическую интерпретацию ПФ. На рис. 6.2.3 изображена единичная окружность на комплексной плоскости. Угол Т задаёт положение переменной z на единичной окружности – точку O, стрелкой обозначено направление положительного вращения. Точки с кружками соответствуют обозначению нулей ПФ (А0 , А1,...), звёздочки обо-

значают положение полюсов (В0 , В2 ,...). Модули z s числителя ПФ H (z) определяются длинами векторов OAs ( T ) , соединяющих точку O с нулями s . Аналогичным образом вводятся мо-

185