gos / Гетманов3

чения ПФ для синтезируемого ЦФ в виде модельной комплексной функции Hd (c, j T ). Далее в задаче синтеза задаётся эталонная комплексная ПФ H0 ( j ), которая должна быть аппроксимирована с помощью модельной ПФ Hd (c, j T ) синтезируемого ЦФ в заданной области частот, например для 0 f . Задача синтеза

состоит в подборе оптимального вектора параметров ЦФ c , который должен служить решением задачи аппроксимации эталонной комплексной функции H0 ( j ) с помощью модельной комплексной функции Hd (c, j T ).

Во многих практических случаях возможны ситуации, когда требуется решать задачу синтеза ЦФ, учитывая только АЧХ H0 ( j ) , ФЧХ при этом не принимается во внимание. В более об-

щем случае синтезируются одновременно заданного вида АЧХ и ФЧХ. Иногда при синтезе учитываются дополнительные требования на передаточную функцию. Например, требование на вид ФЧХ – обеспечение линейности ( ) а ; требования к величи-

нам порядков k, m для числителя и знаменателя ПФ; требования, предъявляемые к параметрам c C0 , для обеспечения устойчивости; иногда при синтезе может возникать требование к крутизне АЧХ (Дб/Гц) в некотором заданном диапазоне частот01 02 на основе обеспечения неравенства

dHd (c, j T ) / d .

Рассмотрим более подробно синтез ЦФ как задачу аппроксимации. Пусть задан диапазон частот ( 0 , f ), на котором рассматри-

вается построение ЦФ, определяется набор частот 0 , 1,..., N 1,f N 1, не обязательно распложенных равномерно, и в этих

частотных	точках задаются значения эталонной ПФ H0 ( j i ),
i 0, 1,...,	N 1.

Далее определяется модель ПФ Hd (c, j T ), зависящая от век-

тора параметров c. Модель для ПФ может быть задана двумя способами: на основе соотношения (6.2.2), выведенного из разностных уравнений

196

			k
			ase j Ts
H	d	(c, j T )	s 0	,	сT (a ,..., a , b ,..., b ),
			m		0	k 1	m
			1 br e j Tr

r1

ина основе соотношении (6.2.5), выведенного из представления

ПФ на комплексной плоскости

k

(z s )

Hd (с, j Т ) H0 z(m k ) s 1 m

(z r )

r 1

				k
				(e j T s )
	H	0	z(m k )	s 1	,
				m
				(e j T r )

r 1

сT (H0 , 1,..., k , 1,..., m ) .

В первом и втором случаях вектор c модели Hd (c, j T ) при фиксированных значениях порядков m, k имеет размерность m k 1.

Требование устойчивости цифрового фильтра		r 1		,

r 1,..., m, удобно сформировать из второй модели. Это требование эквивалентно назначению ограничения на параметры c C0.

Затем формируются разности комплексных передаточных функций H0 ( j i ), Hd (c, j iT ) и функционал S(c, H0 ), определяющий меру их близости

Hd (c, j iT ) H0 ( j i ) Hd (c, j iT ), i 0, 1,..., N 1,

N 1

S(c, H0 ) Hd* (c, j iT ) Hd (c, j iT ).

i 0

Построение ЦФ сводится к решению задачи аппроксимации, решаемой на основе нелинейного программирования:

с arg{min S(c, H0 )}.

c C0

Отметим, что сформулированная в общем виде подобная задача синтеза ЦФ может быть решена для БИХ-фильтров только в исключительных случаях из-за того, что формируемая модель Hd (c, j T ) зависит от вектора параметров c достаточно сложным

образом. Для КИХ-фильтров модельная Hd (c, j T ) линейно зави-

сит от вектора c, аппроксимационная задача сводится к решению системы линейных уравнений.

197

Следует иметь в виду, что предложенная постановка является полезной для формирования правильного подхода к задачам синтеза ЦФ.

6.3.3. Метод билинейного z-преобразования

Решение задачи построения ЦФ может быть достаточно просто и эффективно осуществлено на основе метода билинейного z-преобразования с использованием аналоговых фильтров-прото- типов. Рассмотрим основные соотношения для реализации указанного метода.

Заметим, что ПФ для аналоговых фильтров, являющаяся комплексной функцией, определена в верхней полуоси комплексной

плоскости в точках p j а , ПФ для ЦФ определена на точках

единичной окружности в точках z e j dT , где a , d – частоты

аналоговых и цифровых фильтров. Пусть реализуется перевод точек единичной окружности комплексной плоскости в точки верхней полуоси с помощью конформного отображения, называемого билинейным

	p	z 1	,	z	p	,	(6.3.1)
		z 1			p

где играет роль масштабирующего множителя. Найдём связь аналоговых а и цифровых d частот для указанного преобразования

j dT

j dT

e

j dT

e

2

e

2

2

j e

j dT

1

j j tg d T .

,

a

a

e j d

1

j dT

j dT

e

j dT

2

e

2

e

2

2

В дальнейшем будем полагать 1. С учётом введённой нормированной частоты w dT /2 запишем два варианта формул

для связи аналоговых и цифровых частот в результате билинейного преобразования переменных p и z:

a tg( dT /2),	a tg( w) .	(6.3.2)
198

На рис. 6.3.3 изображён график нелинейной зависимости (6.3.2), связывающей аналоговые и цифровые нормированные частоты

и w.

Рис. 6.3.3. График нелинейной зависимости для аналоговых и цифровых частот и w

Исходя из предлагаемого перевода частот по формуле (6.3.2), вытекающей из билинейного z-преобразования (6.3.1), может быть предложен метод преобразования ПФ аналоговых фильтровпрототипов в ПФ для ЦФ. В заданной ПФ аналогового фильтрапрототипа, зависящей от оператора Лапласа p, сделаем формальную замену переменной p в ПФ аналогового фильтра Ha (c, p) с

помощью рассматриваемого билинейного преобразования. Получим ПФ цифрового фильтра Hd (c, z) , которая зависит от оператора z:

Hа c, p z 1 Hd (c, z) . z 1

Очевидно, что общий вид АЧХ ЦФ будет совпадать с АЧХ аналогового фильтра прототипа, изменится только масштаб по оси частот в соответствии с выведенными формулами (6.3.2) связи аналоговых и цифровых частот.

Рассмотрим пример АЧХ H ( j ) аналогового фильтра второго порядка в виде колебательного звена H ( p) :

199

	2k	0					2k
0							0	0
H ( p)			,	H ( j )					.	(6.3.3)
	p2 2 p 2					( 2	2 )2	(2 )2
		0			0

На рис. 6.3.4 изображена АЧХ для рассматриваемого аналогового фильтра для численных значений 0 5; 0,9; k0 2,6. Применим к ПФ H ( p) (6.3.3) аналогового фильтра-прототипа билинейное преобразование, получим ПФ для ЦФ Н (z), H (z 1) :

											2k		0
			H (z)								0
						z 1			2			z 1
							z 1			2				z 1		2
																0
							2k			0	(z 1)2
						0												,
			(z 1)2 2 (z 1)(z 1) 2 (z 1)2
																0
H (z 1) 2k										z 2 2z 1 1											. (6.3.4)
0 0 z 2 (1					2 2 ) z 1( 2 2 2 ) (1 2 2 )
						0										0			0
Так как z 1 e j2 w ,					то на основе (6.3.4) может быть вычислена
АЧХ для ЦФ	H (w)			.	На рис.6.3.4 изображён график														H (w)	в зави-

симости от нормированных частот 0 w 0,5. Процедура перевода АЧХ аналогового фильтра-прототипа в АЧХ ЦФ с помощью билинейного преобразования иллюстрируется на рис. 6.3.4. Возьмём некоторые частоты 1,557 и w 0,331, которые связаны с помощью формулы (6.3.2) (см. рис. 6.3.3). Видно, что применённое билинейное преобразование меняет только масштаб кривых АЧХ, поскольку H ( j ) H (w) .

Рис. 6.3.4. Перевод АЧХ аналогового фильтра в АЧХ цифрового фильтра с помощью билинейного преобразования

200

Рассмотрим этапы метода билинейного преобразования для задачи синтеза ЦФ. В этом методе назначаются последовательность характерных частот di для синтезируемого ЦФ (в частном случае это могут быть частоты среза), последовательность характерных

значений АЧХ ЦФ Hi		Hd ( j diT )		,	i 1,..., m, интервал дискре-

тизации T и задаётся ПФ аналогового фильтра-прототипа Hа (c, p),

зависящая от вектора параметров сТ (c ,..., c				). С использовани-
1			m
ем Hа (c, p) формируется функция АЧХ		Ha (с,		j ).

На первом этапе на основе (6.3.2) характерные цифровые частоты di переводятся в характерные аналоговые частоты

ai tg( diT /2), i = 1, 2,…, m.

На втором этапе с помощью АЧХ Ha ( j ) аналогового фильт- ра-прототипа и последовательностей Нi , аi , i = 1, 2,…, m, записывается в общем случае нелинейная система уравнений, зависящих от параметров сi , i = 1, 2,…, m:

H1 H (c1,..., cm , a1,..., am ),

H2 H (c1,..., cm , a1,..., am ),

Hm H (c1,..., cm , a1,..., am ).

Решение этой системы, например, подходящим численным методом, позволяет найти параметры сТ (c1,..., cm ) аналогового фильтра-прототипа

сi с(Н1,..., Нm , a1,..., am ), i 1,..., m,

и на их основе полностью определить ПФ Hа (c, p) аналогового

фильтра.

На третьем этапе с помощью билинейного преобразования (6.3.1) ПФ Hа (c, p) полностью определённого аналогового фильтра переводится в ПФ ЦФ – формируется ПФ для синтезированного ЦФ в виде Hd (c, z), зависящая от оператора z, на основе которой формируется АЧХ ЦФ Hd (c, j T ) . Очевидно, для назначенных Нi , di синтезированный ЦФ должен обеспечить выполнение соотношений Hi Hd (c, j diT ) , i 1,..., m.

201

Реализуем этапы задачи синтеза ЦФ низких частот с назначенными цифровой частотой среза cd и интервалом дискретизации T. Выберем апериодическое звено в качестве аналогового фильтрапрототипа. Передаточная функция Hа (c, p) и квадрат АЧХ для такого фильтра будут иметь вид

								Hа ( p)	1		,
									Tа р
										1
H	а	(Т	а	, j )		2			1				1		. (6.3.5)
								(T ( j ) 1)(T ( j ) 1)					T 2 2	1
								а	a				а

На основе заданного значения цифровой частоты среза cd вычислим требуемую частоту среза для аналогового фильтрапрототипа ca , воспользуемся формулой (6.3.2)

ca tg(wcdT / 2).

Найдём параметр Та для аналогового фильтра-прототипа на основе найденной частоты среза сa :

H

( j

)

2

1

1 1 ,

T

3

.

а

cа

T 2 2

1 2 2

a

а

cа

cа

Благодаря найденному значению

параметра Та

ПФ аналогового

фильтра-прототипа является полностью определённой. Сформируем ПФ для ЦФ путём подстановки билинейного пре-

образования в определённой ПФ аналогового фильтра-прототипа:

Hd (Та , z)		1							z 1
			z 1				Ta (z	1)		(z 1)
					1
	Tа ( z 1)
			1 z 1						.		(6.3.6)
		(1 T )z 1				(1 T )
			а				а

Запишем выражение для квадрата АЧХ синтезируемого цифрового фильтра

, j T )

2

1 e j T

2

(6.3.7)

H

d

(Т

а

.

(1

T )e j T (1 T )

a

a

Разберём численный пример, зададим для синтеза ЦФ исходные значения cd 10,0 и T 0, 2. Применив (6.3.2), найдём частоту

202

среза аналогового фильтра-прототипа ca 1,557, на основе которой вычислим постоянную времени Ta 1,110. Далее ПФ (6.3.5) с

помощью подстановки билинейного преобразования переведём в ПФ ЦФ (6.3.6). На рис. 6.3.5 изображены функции АЧХ для синте-

		Hd ( j T )
зированного ЦФ					–	сплошная кривая и	аналогового
фильтра-прототипа			Hа ( j )		–	пунктирная кривая,	0 f ,

f 14,0. Видно, что аналоговый фильтр-прототип удалось с по-

мощью билинейного преобразования перевести в ЦФ с назначенной частотой среза.

Рис. 6.3.5. Синтез ЦФ низких частот

6.4. Синтез ЦФ Баттерворта

6.4.1. Аналоговый фильтр Баттерворта

Функция квадрата АЧХ для низкочастотного аналогового фильтра Баттерворта (АБФ), по определению, описывается выражением

H ( j )		2			1		,	(6.4.1)
						2 N
		1
					са
203

где N – порядок фильтра; са – частота среза. Из (6.4.1) следует,

что, действительно, H ( j cа ) 2 1 / 2. На рис.6.4.1 представлены графики функции квадрата АЧХ рассматриваемого АБФ для значе-

ний N1 5, N2 15, N3 40 и cа 12.

Рис. 6.4.1. Квадрат АЧХ низкочастотного аналогового фильтра Баттерворта

Из анализа графиков видно, что при увеличении порядка N в ок-

рестности

са увеличивается

крутизна АЧХ и в полосе частот

0 са

АЧХ становится плоской.

Продифференцируем функ-

цию

H ( j )

2

по , вычислим значение крутизны в точке

:

са

2 N 1 1

2

2N

H ( j cа )

2

H ( j )

cа

d

N

d

( 1)

cа

,

.

(6.4.2)

d

2 N

d

cа

1

cа

Для (6.4.2) можно заключить, что крутизна АЧХ для низкочастотного АБФ увеличивается при уменьшении частоты среза.

Рассмотрим нахождение передаточной функции H ( j ) для низкочастотного АФБ, который в дальнейшем будет служить

204

фильтром-прототипом. Для функции квадрата АЧХ (6.4.1) может быть записано очевидное равенство

H ( j ) 2 H ( j ) H ( j ) .

Сделаем необходимые выкладки:

H ( j )

2

1

с2N

с2N

1

2 N

( )2N 2N

(( )2 )N 2N

cа

cа

2 N

са

2N

с

( 1)N 2N 2N

cа

и сформируем уравнение, которое позволит найти соответствующие полюса для АФБ:

( 1)N 2N 2N 0.	(6.4.3)
cа

На основе анализа формулы (6.4.3) следует, что 2N комплексных полюсов для ПФ H ( j ) и H ( j ) располагаются на окружности

радиусом са . Основываясь на симметрии можно заключить, что N

полюсов расположены в левой полуплоскости, остальные N полюсов – в правой. Для того чтобы синтезируемый аналоговый фильтрпрототип был устойчив, выберем ПФ H ( j ) таким образом, чтобы

все её N полюсов расположились в левой полуплоскости. Соответственно, полюса цифрового фильтра Баттерворта (ЦФБ), который будет получен из аналогового с помощью билинейного z-пре- образования, будут располагаться внутри единичной окружности.

Вычисление полюсов связано с определением корней 2N-й степени из единицы. Отдельно разберём случаи нечётного и чётного N.

Если N – нечётное, то вычисление аналоговых полюсов с учётом (6.4.3) производится на основании следующей формулы:

( 1)1/2N ,

a

cа

из которой видно,

что 2N полюсов ar

представляются следую-

щим образом:

2N

2N

cos

2

r j sin

2

r

, r

0, 1,..., 2N 1. (6.4.4)

ar

сa

Полюса (6.4.4), которые лежат в левой полуплоскости, определяются для номеров r, удовлетворяющих неравенству

205