gos / Гетманов3

дули векторов z r знаменателя ПФ, которые определяются длинами векторов OBr ( T ) , соединяющих точку O с полюсамик . Углы s , r определяют угловой наклон векторов OAs ( T )

и OBr ( T ).

Рис.6.2.3. Геометрическая интерпретация ПФ на комплексной плоскости

Модуль ПФ АЧХ представится как отношение произведений длин указанных векторов. ФЧХ для ЦФ, исходя из геометрической картины рис. 6.2.3, определится соответствующей угловой суммой

для s , r , угол 0 задаётся параметром H0:

H ( j T ) H 0

( Т ) T (m k)

k

OAs ( T )

s 1

,

m

OBr ( T )

r 1

k

m

.

(6.2.6)

s

r

0

s 1

r 1

Рассмотрим пример построения АЧХ с использованием (6.2.6) для ЦФ в виде апериодического звена (6.1.3) с параметрами

а0 0,15, b1 0,55, с расположением действительного полюса на левой полуоси, 1 0,55 (рис. 6.2.4а). Нетрудно видеть, что

186

	ОВ ( Т )		(1 b2		2b cos( T ))1/2 ,					H	0	a ,			ОA ( Т )		1.
	0		1		1							0			0
Легко записать формулу для ПФ
				H ( j T )					a0				.
								(1 b2	2b cos T )1/2
					1				1

На рис. 6.2.4б представлена рассматриваемая АЧХ. Отметим существенную особенность данной АЧХ из-за расположения полюса – при возрастании частоты АЧХ возрастает.

Рис. 6.2.4а. Геометрическая интерпретация ПФ для апериодического звена на комплексной плоскости

Рис. 6.2.4б. АЧХ для цифрового апериодического звена с действительным полюсом на левой полуоси

187

Учитывая возможность рассмотрения ПФ на комплексной плоскости с введённой переменной z, найдём связь между ПФ, как функции z, и импульсно-переходной функцией.

Запишем реакцию линейного фильтра с помощью импульснопереходной функции, для простоты рассмотрения примем начальные условия нулевыми

i
x(i) h(i s) y(s),	i 0, 1,..., .
s 0

На основании материалов разд. 2.6 можно сразу записать z-пре- образования для выходной последовательности на основе произведения z-преобразований входной и весовой последовательностей

X (z) H (z)Y (z).

Ясно, каким образом связывается импульсно-переходная функция и передаточная функция: ПФ на комплексной плоскости для принятой переменной z является z-преобразованием для импульснопереходной функции.

6.2.2. Устойчивость ЦФ

Устойчивость ЦФ является исключительно важной характеристикой, которую необходимо принимать во внимание в задачах синтеза ПФ. Разберём определение устойчивости для ЦФ. Один из вариантов определения состоит в том, что ЦФ является устойчи-

вым, если для любого ограниченного входного сигнала, поступающего на фильтр, выходной сигнал также является ограниченным.

Это означает, что для входной последовательности с ограничением Y , для которого выполняется неравенство y(i) Y при любых i, ЦФ является устойчивым, если для выходной последовательности существует значение ограничения X , которое обеспечивает для любых i неравенство x(i) X .

Очевидно, что КИХ-фильтры всегда являются устойчивыми с точки зрения сделанного определения. Действительно, из разностного уравнения КИХ-фильтра при ограниченном входном сигнале и конечном числе ограниченных коэффициентов фильтра

k

x(i) s y(i s)

s 0

188

i 0, 1,..., и

s 0, 1,..., k,

при

y(i)

Y

as

A,

следует, что выходной сигнал также ограничен

k

k

y(i s)

x(i)

as

A

y(i)

A

(k 1)Y

,

X A(k 1)Y

.

s 0

s 0

При синтезе ПФ для БИХ-фильтров следует иметь в виду, что одна и та же структура БИХ-фильтра при одних значениях параметров может быть устойчивой, при других значениях – неустойчивой. Приведём здесь достаточные условия устойчивости БИХфильтров. Разберём простой пример, позволяющий прояснить существо подхода.

Пусть рассматривается БИХ-фильтр первого порядка с параметрами b1, a0 , которые в общем случае являются комплексными. Запишем разностное уравнение и выражение для передаточной

функции:
x(n) b x(n 1) a y(n),		H (z 1)		a0	, H (z)	a0 z	.
1	0	1		b z 1		z b
				1	1

Полюс фильтра H0 (z) является единственным и может быть легко найден: 1 b1. Воспользуемся уже выведенной формулой (6.1.8) для связи выходного и входного сигнала

i

x(i) ( 1)i 1b1i 1x( 1) ( 1)i s b1i s a0 y(s).

s 0

Из анализа этой формулы следует, что при b1 1 и ограниченном

, s 0, 1,..., ,

входном сигнале

y(s)

Y

всегда можно подобрать

X ,

обеспечивающее

неравенство

x(i)

X

для любых

i 0,

1,..., . Таким образом, для того,

чтобы БИХфильтр первого

порядка оказался устойчивым, достаточно выполнение условия: модуль полюса ПФ должен быть меньше единицы 1 1 – лежать

внутри единичной окружности комплексной плоскости. Разобранный пример позволяет сделать обобщение. Обратимся

к выражению для ПФ произвольного БИХ-фильтра (6.2.5), рассмотрим формулу для H0 (z), сомножитель H0 zm k не влияет на устойчивость. Положим, что у ПФ для H0 (z) нет кратных полюсов

189

и k m. Тогда можно записать разложение исходной ПФ в виде суммы ПФ-составляющих

	m					Br
	H0 (z) Bm 1 H0r (z),	H0r (z)					,
						z r
	r 1
		m	Br
	H0 (z) Bm 1
			z
	r 1			r

и выразить z-преобразование для выходного сигнала через сумму произведений z-преобразований входного сигнала и ПФ-со- ставляющих

m

X0 (z) Bm 1Y (z) H0r (z)Y (z).

r 0

Видно, что для обеспечения устойчивости рассматриваемого БИХфильтра достаточно выполнения условия: все модули полюсов для ПФ-составляющих должны быть меньше единицы r 1,

r 1,..., m, должны лежать внутри единичной окружности комплексной плоскости.

Сформулированное достаточное условие не позволяет определить устойчивость в критическом случае для полюсов, лежащих на единичной окружности.

Проделаем анализ на устойчивость БИХ-фильтра второго порядка, рассмотрим пример цифрового резонатора (колебательного звена). Воспользуемся разностным уравнением из (6.1.4)

x(i) b1x(i 1) b2 x(i 2) a0 y(i).

Передаточная функция представляется следующим образом:

H (z 1)				a0			,
			b z 1		b z 2
	1
			1			2
	a z2					a z2
H (z)	0			=		0			.
	z2 b z b z2				(z )(z )
	1		2			0		1

Полюса этого БИХ-фильтра находятся из квадратного уравнения

2 b1 b2 0 :

0,1 b21 12 b12 4b2 .

Чтобы фильтр был резонатором, необходима комплексная сопряжённость полюсов, которая достигается при выполнении условия

190

b12 4b2 0. На рис. 6.2.2 на плоскости (b1, b2 ) область таких параметров лежит выше параболы b2 b12 /4. Чтобы полюса распола-

гались внутри единичной окружности, необходимо выполнение неравенства

1,	b2				b2
	1			b	1		1,	b 1,
0 1	4			2	4			2

что соответствует области, лежащей ниже прямой b2 1. Параметры на плоскости (b1, b2 ), лежащие внутри луночки, обеспечивают устойчивость рассматриваемого цифрового резонатора.

Рис. 6.2.2. Область устойчивости цифрового резонатора

6.3. Задачи синтеза ЦФ

6.3.1. Классификация фильтров по типу АЧХ

Как правило, построение ЦФ начинается с выбора варианта синтезируемой передаточной функции (варианта амплитудно-фазо- частотной характеристики). Для решения этой части задачи синтеза целесообразно рассмотреть достаточно часто встречающуюся классификацию фильтров по типу АЧХ. Приведённые здесь варианты АЧХ являются функциями, которые зависят от нормированных цифровых частот w; разумеется, представленные АЧХ могут быть рассмотрены как функции аналоговых частот .

Низкочастотные фильтры (lowpass-фильтры) реализуют функцию пропускания сигналов с низкими частотами с коэффициентом усиления 1 и непропускания сигналов с высокими частотами с коэффициентом усиления 0. Общий вид функций АЧХ таких фильтров, обозначаемых как H1(w) , в зависимости от нормиро-

ванной частоты для диапазона 0 w 0,5, представлен на рис. 6.3.1а.

191

Рис. 6.3.1а. АЧХ для низкочастотных фильтров

Рис. 6.3.1б. АЧХ для высокочастотных фильтров

Для АЧХ таких фильтров могут быть справедливы следующие соотношения:

H (w )		2	1	,		H (w )				1		0,707,			lim		H (w)		1,
1 c			2			1 с				2					w 0		1
														0,
						lim			H1(w)
						w 0.5

где wс – нормированная частота среза

АЧХ рассматриваемых фильтров отличаются крутизной в окрестности wс (рис. 6.3.1б); так, для рис. 6.3.1а уменьшение АЧХ от единицы до нуля происходит в диапазоне 0,15 w 0, 25, для слу-

192

чая рис. 6.3.1в уменьшение АЧХ происходит в диапазоне

0,18 w 0,22.

Рис. 6.3.1в. АЧХ для низкочастотных фильтров с увеличенной крутизной

Рис. 6.3.1г. АЧХ с колебаниями для низкочастотных фильтров

Во втором случае АЧХ имеет большую крутизну, чем в первом. Идеальная АЧХ для низкочастотного фильтра удовлетворяет соотношениям

H1(w) 1 для 0 w w0 , H1(w) 0 для w0 w 0,5,

где w0 – граничная частота, определяющая полосу пропускания.

Для некоторых типов фильтров функции АЧХ (низкочастотные и др.) допускают колебания (рис. 6.3.1г).

193

Высокочастоные фильтры (highpass-фильтры) пропускают сигналы с высокими частотами и не пропускают сигналы с низкими частотами. Общий вид АЧХ таких фильтров, обозначаемых в виде функции H2 (w) , зависящей от нормированной частоты в диапа-

зоне 0 w 0,5, изображён на рис. 6.3.1б. По аналогии с низкочастотными фильтрами, запишем

H2 (wc )

0,707;

lim

H2 (w)

0;

lim

H2 (w)

1.

w 0

w 0,5

Полосовые пропускающие фильтры (bandpass-фильтры) реализуют функцию пропускания сигналов в заданной полосе частот. Возможный вариант функции АЧХ H3 (w) для полосовых пропус-

кающих фильтров имеет вид, представленный на рис. 6.3.2а. Для указанных фильтров назначаются две частоты среза wc2 , wc2 , ко-

торые определяют нормированные частоты полосы пропускания. АЧХ полосовых фильтров удовлетворяет условиям

lim

H3 (w)

lim

H3 (w)

0,

H3

(wc

)

H3

(wc

)

0,707.

w 0

w 0,5

1

2

Для идеальной АЧХ полосового пропускающего фильтра в области

частот, удовлетворяющих неравенству wс								w wс , должно вы-
				1					2
полняться условие
	H3 (w)		1 для 0 w wc ,		H3 (w)		0	для	wc w 0,5 .
			1						2

Рис. 6.3.2а. АЧХ для полосового пропускающего фильтра

194

Рис. 6.3.2б. АЧХ для полосового заграждающего фильтра

Полосовые заграждающие фильтры (stopbandpass-фильтры) задерживают сигналы в заданной полосе частот. Вариант АЧХ H4 (w) для полосовых задерживающих фильтров изображён на

рис. 6.3.2б. Так же как и для полосовых пропускающих фильтров, для указанных фильтров назначаются две частоты среза wс1, wс2 .

АЧХ полосовых заграждающих фильтров удовлетворяет условиям

lim

H4 (w)

lim

H4 (w)

1,

H4

(wc )

H4

(wc )

0,707.

w 0

w 0,5

1

2

Приведённая классификация типов АЧХ не является полной. АЧХ, изображённые на рис.6.3.1а, 6.3.1б, 6.3.2а, 6.3.2б, являются базовыми. Целый ряд АЧХ для ЦФ может быть сформирован на основе рассмотренных базовых АЧХ.

6.3.2. Постановки задач синтеза ЦФ

Разберём некоторые варианты постановок задач синтеза ЦФ. В самом общем случае задача синтеза ЦФ интерпретируется как задача аппроксимации.

Пусть задаётся структура синтезируемого ЦФ – определены порядки числителя и знаменателя ПФ, что означает возможность формирования вектора с, состоящего из параметров фильтра. Задание структуры фильтра и набора параметров означает, что для любых значениях , T и вектора параметров с можно вычислить зна-

195