- •1.2. Лекция 2. Скалярное, векторное и смешанное
- •Скалярное произведение
- •Геометрические свойства скалярного произведения
- •Алгебраические свойства скалярного произведения
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение
- •Двойное векторное произведение
- •Решение векторных уравнений
- •Законы физики и векторный язык
Законы физики и векторный язык
Законы физики не зависят ни от какой системы координат (в природе ее не существует). Поэтому они могут и должны выражаться на инвариантном (бескоординатном) языке. Многие физические законы так выражаются в простой и обозримой форме, которая не сохраняется при выражении их через координаты. На таком языке (векторном) мы записали алгебраические и геометрические свойства векторных операций. От векторного языка, как мы увидим ниже, перейти к координатному просто. Обратный же переход иногда весьма затруднителен.
Упражнения
2.1. Доказать компланарность векторов , ,.
2.2. Докажите неравенство и объясните, почему оно называется неравенством треугольника.
2.3. Докажите равенство и объясните, почему оно называется равенством параллелограмма.
2.4. Докажите неравенство Коши – Буняковского:
.
2.5. Докажите, что операция скалярного произведения выразима через операции сложения векторов и взятие модуля:
.
2.6. Доказать, что векторы и взаимно перпендикулярны.
2.7. Верно ли, что для любых векторов , d выполняется соотношение .
2.8. Даны три вектора такие, что , . Вычислить .
2.9. Дано: , . Следует ли отсюда, что ?
2.10. Объяснить геометрический смысл всех решений векторного уравнения , а также его частного решения, коллинеарного вектору.
2.11. Доказать, что для трех неколлинеарных векторов равенства выполняются тогда и только тогда, когда .
2.12. Используя базис, примененный для доказательства тождества "бац минус цаб", получите тождество
,
т. е. квадрат объема параллелепипеда, построенного на векторах a, b, c, равен указанному определителю, называемому определителем Грама тройки векторов a, b, c.
2.13. Докажите тождество .
2.14. Докажите тождество
.
Определитель в правой части называется взаимным определителем Грама троек a, b, c и n, p, q.
2.15. Вывести тождество .
2.16. Пусть векторы удовлетворяют условию . Показать, что любой векторr допускает представление
.
2.17. Показать, что если иr – любые четыре вектора, удовлетворяющие единственному условию , то имеет место тождество
.
Вопросы для самопроверки
1. Какова физическая интерпретация скалярного произведения?
2. Сформулируйте определение векторного произведения.
3. Что значит векторное уравнение? Приведите примеры.
4. Каков геометрический смысл смешанного произведения?
5. В чем заключается преимущество использования векторного (бескоординатного) языка в физике, геометрии?