3. Частотные критерии устойчивости.

Устойчивость САР - свойство системы возвращаться в исходное состояние равновесия после прекращения воздействия, выведшего систему из этого состояния. Правила, с помощью которых можно судить о знаках корней, не решая характеристическое уравнение, называют критериями устойчивости. частотные (определяют связь между устойчивостью системы и формой частотных характеристик системы).

Частотные критерии устойчивости: критерий Михайлова.

F(p)= а₀рⁿ + а₁р^n-1 + а₂р^n-2 +...+ а_n , р→jω. Получим:F(jω)= а₀(jω)ⁿ + а₁(jω)^n-1 + а₂(jω)^n-2 +...+ а_n , которую можно записать как:F(jω)=R(ω) +jJ(ω). Действительная частьR(ω) содержит только четные степени переменногоω:R(ω)= а_n - а_n-2 ω² + а_n-4 ω⁴ -…, а мнимая частьJ(ω) - только нечетные:J(ω)= а_n-1 ω - а_n-3 ω³+….

Сис-ма автом-го регулир-ия, описываемая ур-ем n-го порядка устойчива, есди при изм-ии частоты от 0 до бескон-ти годограф Михайлова послед-но обходитnквадрантов комплексной плоскости против часовой стрелк, начиная с точки на «+» вещ. Полуоси и нигде не проходит начало координат.

Если годограф обходит больше, чем nквадрантов или при обходе нарушается посл-ть переходов, то сис-ма неустойчива.

Для ур-ия четной степени посл-яя точка пересечения будет находиться на мнимой полуоси, для ур-ия нечетной степени – на вещ. Полуоси.

а) Годографы Михайлова для устойчивых систем; б), в) Годографы Михайлова для

неустойчивых систем

Критерий Найквиста:

Рис1. АФХ разомкнутого контура: кривая 1-сист. устойчива,кривая 2-сист. на границе уст-ти, кривая 3-сист. неустойчива

Если разомкнутая сис-ма устойчива, то для того, чтобы сис-ма была устойчива в замкнутом состоияниинеоб-мо и дост-но, чтобы АФХ разомк-ой сис-мы при изм-ии частоты от 0 до бескон-ти не охватывала бы т. с коорд-ми (-1,j₀), т.е. т. пересечения АФХ разомкн-ой сис-мы с отриц-ой вещ-ой полуосью располагалась бы правее т. (-1,j₀).

Если разомкн-ая сис-ма неустойчива, т.е. m-корней распл-ся справа от мнимой оси, то для устойч-ти замкн-ой сис-мы необ-мо и достаточно, чтобы АФХ разомкн-ой сис-мы охватывало т. (-1,j₀)mраз, гдеm-число корней справа от мнимой полуоси.

Система находится на границе устойчивости, если АФХ разомкнутого контура проходит через точку (-1; j0).

Критерий Неймарка

Д разбиения по 1-му пар-ру.

Д – пространство полиномов. Если ур-ие в 3-ей степени, то слева – 3 корня, а справа – 0 → Д(3;0). Если ур-ие в 5-ой степени то Д(3;2). Д(n-m-1;m+1) – когда корень «перешагнул» на право. Корни могут переходить слева на право и наоборот.

F(p)=kA(p)+jB(p)=0

Q(p)-kN(p)=0 →k= -Q(p)/N(p)

Подставим p→jω(преоб-ие Фурье). Получимk=-Q(jω)/N(jω) - уравнение кривой по кот. строится криваяk.

Построим кривую Д-разбиения по общему коэф-ту усиления.

Изменяя частоту от -∞ до +∞,можно построить кривую Д-разбиения по общему коэф-ту усиления. Идя вдоль кривой Д-разбиения от -∞ до +∞, штрихуем левую часть кривой. Нужно выяснить в какой из этих областей будет больше корней, расп-х слева от мнимой полуоси. При переходе с заштрих-ой стороны на заштрих0ую теряется корень слева и прибав-ся корень справа к мнимой полуоси и наоборот. I– область с наибольшим числом корней, нужно выяснить устойчива ли она, для этого нужно взять абс-ое знач-ие коэф-та усиления и подставить его в хар-ое ур-ие. Если число корней соот-ет степени хар-го ур-ия, то область устойчиа.

Д разбиения по 2-м пар-рам. В этом случае в хар-ом ур-ии замкнутой с/мы выделяют 2 варьируемых пар-ра (постоя-ую времени Т и коэф-т усиления к).

Запишем характ-е ур-е: F(p)=к*А(р)+Т*В(р)+С(р)=0 , вместоp→jω,F(jω)=кА(jω)+ТВ(jω)+С(jω)=0.

Каждый из этих полиномов разделим на дейст-ую и мнимую части.

Подставим это выражение в исходное и получим:

Решая сис-му отн-но к и Т получим:

Изм-яя частоту от -∞ до +∞, строим кривую Д-разбиения по к и Т. При обходе границы от -∞ до +∞ штриховка накл-ся слева от границы, если S(ω) > 0 и справа от нее еслиS(ω)<0. При прохождении через 0 знак определителя меняется на противоположный, поэтому штриховка двойная.