4. Построение переходных процессов. Методы.

Для построения переходных процессов используются методы: 1) метод непосредственного решения линейного диф. Ур.2) использование преобразований Фурье, Лапласа, Карсена-Хевисайда; 3) метод трапецидальных частотных характеристик, 4) сведение неоднородного уравнения к однородному; 5) численный графический метод Башкирова; 6) использование ЭВМ.

ДУ через полиномы

Где f – возмущение,g - управляющее воздействие.

Свободная составляющая получается путем решения однородного уравнения

Частное решение определяется правой частью уравнения, т.е.

Частному решению будет соответствовать некоторый устан-ся режим в системе существующий после затухания.

а₀рⁿ + а₁р^n-1 + а₂р^n-2 +...+ а_n– линейное д/у

Метод сведение неоднородного уравнения к однородному.

Преоб-ие Карсена-Хевисайда

p*W(p)

Введем новую переменную

Z(t)=X(t)-Xуст=X(t)-b_m/a_n*1=

Этому решению соот-ет исходное д/у без правой части:

Новое ур-ие.

Найдем начальные усл-ия для новой переменной

Начальные усл-ия до и после нанесения возмущения:

Z=X(t) –X(∞)

X(t)=Z(t) +X(∞)

Метод трапецидальных частотных характеристик.

Порядок построения П/П методом трапецидальных хар-к:

1. Находим обобщенную вещественно-частотную характеристику замкнутой системы. 2.строим график ВЧХ в зависимости от частоты. 3.разбиваем ВЧХ на прямоугольные треугольники и трапеции, у которых одна из сторон является частью мнимой оси. 4.фиксируем параметры (высота, W0,Wd, χ). 5.Строим кривые функции времени для каждого Δ и трапеции.;- переход к реальным значениям.H–высота Δ и трапеций.h-значение из приложения.где ω – полоса пропускания частот.

Численно-графический метод Башкирова.

а – начало единичного воздействия

Метод Башкирова разработан для кривой переходного процесса звена Iпорядка. 1) Выбирается масштаб по координатамx_вых иt. 2) По ординате откладывается величинаkx_вх. Через полученную точку проводится вспомогательная прямая параллельная оси абсцисс. 3) На вспомогательной прямой откладываются интервалы времени Δtнамного меньше, чем Т Δt<< Т. И на ней отмечается т.ана расстоянии Т + Δt/2 от начала координат. 4) Из начальной координаты в т.А проводят прямую; с конца отрезка первого отрезка Δtвосстанавливают перпендикуляр до пересечения с этой прямой. Получают первую точку кривой переходного процесса. Со 2-ой точки в проводим прямую, в т 1, с конца 2-го отрезка Δtвосстановим перпендикуляр до пересечения с линией 1в, получим 2-ую т. П/П и т.д.

Преобразование фурье

На основании интегралов Фурье

Оригинал искомой величины будет пред-ся след-м виде:

x(t) =

5. Качественные показатели. Интегральные оценки качества.

Качественные показатели - величины, характеризующие поведение системы в переходном процессе при поступлении на ее вход единичного ступенчатого воздействия. Бывают прямые и косвенные.

Прямые показатели качества: по графику П/П

 – минимальное время, по истечении которого регулируемая величина будет оставаться близкой к установившемуся значению с заданной точностью –

 предварительно задается в процентах от установившегося значения , где нет определенных требований – принимают . t– оптимально приt_пп= 3Т, Т – постоянная времени объекта

Перерегулирование, σ (%). Чем больше его величина, тем продолжительнее п. п.

По каналу задания (пропорционально составляющая)

По каналу возмущения (интегрально составляющая)

 – время достижения первого максимума.

 – время нарастания переходного процесса, время от начала переходного процесса до момента первого пересечения графиком линии установившегося значения.

 – декремент затухания, равный отношению модулей двух смежных перегулирований –

Колебательность, к - число колебаний за время п. п., т.е. число минимумов за время t_пп(наилучшим считается 2-3 колебания).

Степень затухания ψ=(А₁- А₃)/ А₁=1- А₃/ А₁

Степень колебательности μ=-2π/ln(1-ψ) =α/β.

Собственная частота колебания сис-мы ωс=2П/t

Частотные показатели качества:

Частотный показатель колебательности М= Аз_max/Aз(0). Чем больше М, тем сильнее колебательность. Оптимальным считается от 1,2 до 1,5. М Мах = 1,7

Резонансная частота ω_р 3) Частота незатухающих колебаний ω₀≈ ω_р4) Частота пропускания ω_п ≈ 3ω₀

Корневые показатели качества:

Степень устойчивости η - расстояние от мнимой оси до ближайшего к ней корня.

Показатель колебательности m=│α│/│β│=1/μ. α - действительная часть доминирующей пары комплексных корней; β - мнимая часть.

Интегральные оценки:

Они относятся к косвенным оценкам кач-ва. Метод основан на выч-ии опр-х интегралов некоторых отклонений регулир-х вел-н. Линейная интегральная оценка

определяет площадь, заключенной м/у прямой ,характеризующее идеальное регулирование и действ. прямой регулир-го процесса. Данная оценка годится только для монотонных процессов, когда не меняется знак отклонения.

При анализе систем с колебательными свойствами используется квадратичная интегральная оценка, она не зависит от знаков откл-ия и формы п/п

Миним. значения квадратичной интегральной оценки соответствуют колебательным процессам с малым затуханием. Недостатком явл-ся то, что здесь ничем не огрничивается форма кривой П.П.

С целью улучшения этого недостатка применяют улучшенную квадратичную оценку:

Интегральные оценки качества учитывают только величину отклонения и быстроту затухания и никак не учитывают близость колебательной границы устойчивости.