- •Математический анализ
- •Часть 2. Числовые и функциональные ряды 49
- •Часть1. Кратные и криволинейные интегралы, теория поля Лекция 1. Двойной интеграл Задача об объеме цилиндрического тела.
- •Двойной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
- •Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла
- •Лекция 2. Приложения двойного интеграла
- •Приложения двойного интеграла
- •Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
- •Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции
- •Замечание о несобственных двойных интегралах
- •Лекция 3 Тройной интеграл Задача о массе пространственного тела
- •Свойства тройного интеграла
- •Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •Лекция 4. Приложения тройного интеграла
- •Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода
- •Свойства криволинейного интеграла первого рода
- •Вычисление криволинейного интеграла первого рода
- •Криволинейный интеграл 2 рода Задача о работе силы
- •Теорема существования.
- •Свойства криволинейного интеграла 2 рода
- •Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •Лекция 6. Формула Грина
- •Вычисление площади области по формуле Грина
- •Полный дифференциал и его вычисление
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой
- •Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала
- •Формула Грина для многосвязной области
- •Лекция 7. Поверхностные интегралы Задача о массе поверхности
- •Свойства поверхностного интеграла первого рода
- •Вычисление поверхностного интеграла первого рода
- •Поверхностный интеграл второго рода
- •Задача о потоке жидкости через поверхность
- •Запись поверхностного интеграла второго рода
- •Лекция 8. Скалярное и векторное поля
- •Скалярные поля.
- •Векторное поле
- •Формула Остроградского – Гаусса
- •Инвариантное определение дивергенции
- •Свойства дивергенции
- •Соленоидальное поле и его свойства
- •Свойства соленоидального поля
- •Лекция 9 Формула Стокса Ротор векторного поля
- •Свойства ротора
- •Теорема Стокса
- •Инвариантное определение ротора
- •Потенциальное поле и его свойства
- •Свойства потенциального поля.
- •Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •Гармоническое поле
- •Часть 2. Числовые и функциональные ряды Лекция 10. Числовые ряды и их свойства
- •Необходимый признак сходимости ряда.Если ряд сходится, то .
- •Критерий Коши сходимости ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Лекция 11 Знакоположительные ряды
- •Интегральный признак Коши
- •Признаки сравнения рядов
- •Признак Даламбера
- •Радикальный признак Коши
- •Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах
- •Лекция 12. Знакопеременные ряды
- •Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.
- •Теорема Римана.
- •Знакочередующиеся ряды
- •Признак Лейбница.
- •Функциональные ряды Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды
- •Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
- •Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •Лекция 14. Степенные ряды
- •Теорема Абеля.
- •Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда
- •Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда
- •Лекция 15. Ряд Тейлора Ряд Тейлора
- •Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
- •Применение степенных рядов
- •Ряды Фурье. Лекция 16. Задача о наилучшем приближении
- •Задача о наилучшем приближении в н (гильбертовом пространстве)
- •Лекция 17. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций (тригонометрический ряд Фурье)
- •Связь между гладкостью функции и порядком малости коэффициентов Фурье
- •Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке
Лекция 14. Степенные ряды
Степенным рядом называется ряд вида
Степенной ряд заведомо сходится при - центр сходимости ряда.
Теорема Абеля.
1) Пусть степенной ряд сходится в точке . Тогда он абсолютно сходится в интервале
, симметричном относительно .
2) Пусть степенной ряд расходится в точке . Тогда он расходится в области.
Доказательство.
Пусть степенной ряд сходится в точке , тогда числовой рядсходится. Тогда по необходимому признаку сходимости ряда.
Тогда .
Рассмотрим произвольное, но фиксированное .
Оценим ,
где .
По первому признаку сравнения числовых знакоположительных рядов ряд сходится в указанной области (сравнение с бесконечно убывающей геометрической прогрессией. Следовательно, в областистепенной ряд абсолютно сходится.
Пусть степенной ряд расходится в точке . Рассмотрим. Если бы ряд сходился в точкеx, то он по п. 1 доказательства сходился бы в точке . Противоречие.
Замечание. Для каждой точки x константа q(x) своя. Может не найтись константы, меньшей единицы и ограничивающей сверху константы q(x) для всех точек области V.
Поэтому абсолютная сходимость есть, но равномерной сходимости степенного ряда в области V не гарантируется.
Если такая константа найдется, то гарантируется равномерная сходимость ряда.
Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда
Рассмотрим монотонно убывающую последовательность , такую, что в точкестепенной рядрасходится. Если выбрать , то степенной ряд будет сходиться (ряд из нулей), поэтому рассматриваемая последовательность ограничена снизу нулем. По теореме Вейерштрасса монотонно убывающая, ограниченная снизу числовая последовательность имеет предел. То есть.
Такое число называетсярадиусом сходимости степенного ряда. Следовательно, степенной ряд (по теореме Абеля) абсолютно сходится в интервале сходимости степенного ряда.
Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда
Зафиксируем некоторое значение x и запишем ряд из модулей членов степенного ряда . Это – знакоположительный числовой ряд. Применим к нему признак Даламбера или радикальный признак Коши.
Применяя признак Даламбера, имеем
. Отсюда .
Поэтому .
Применяя радикальный признак Коши, имеем
.
Так определяется радиус сходимости степенного ряда.
Затем исследуется сходимость ряда на границе интервала сходимости, в точках Эти точки подставляются в исходный ряд, ряд становится обычным числовым рядом и исследуется стандартными методами для числовых рядов.
Пример. .
Составим ряд из модулей , применим радикальный признак Коши.
Радиус сходимости R=5, интервал сходимости (-2, 8). Исследуем сходимость ряда на границе, подставляя точки x= -2, в исходный ряд..
В точке x = -2 имеем ряд - гармонический ряд, он расходится.
В точке x = 8 имеем ряд - сходящийся (по признаку Лейбница) знакочередующийся ряд.
Область сходимости исходного ряда (-2, 8].
Теорема. Степенной ряд равномерно сходится внутри интервала сходимости.
Доказательство. Пусть . Выберем, например. На интервалеи в точкеx1 степенной ряд сходится абсолютно, так как этот интервал лежит внутри интервала сходимости. Тогда (точно так же, как в доказательстве теоремы Абеля оценим ,
где (не зависит от).
Тогда в области степенной ряд будет сходиться равномерно по признаку Вейерштрасса (члены ряда мажорируются членами бесконечно убывающей геометрической прогрессии).
Следствие. Внутри интервала сходимости справедливы теоремы о непрерывности суммы ряда, о почленном интегрировании и дифференцировании ряда.
Теорема. При почленном дифференцировании и интегрировании степенного ряда его радиус сходимости не меняется.
Доказательство. Рассмотрим ряд из модулей членов степенного ряда (это – знакоположительный числовой ряд в конкретной точке) и определим радиус сходимости по признаку Даламбера.
.
Продифференцируем почленно степенной ряд , перейдем к ряду из модулей и найдем радиус сходимости по признаку Даламбера.
.
Таким образом, при почленном дифференцировании радиус сходимости степенного ряда не меняется. Он не меняется и при почленном интегрировании, иначе он изменился бы при почленном дифференцировании.