Интегральный признак Коши

Пусть при определена непрерывная, не возрастающая функцияf(x), такая, что . Тогда ряд сходится тогда и только тогда, когда сходится несобственный интеграл.

Доказательство. - это площадь под графиком функции при.

Так как (сумма площадей прямоугольников) ограничивает площадь под графиком функции снизу, аограничивает ее сверху, то.

. Достаточность. Если интеграл сходится, то , поэтому последовательностьограничена сверху. Так как эта последовательность не убывает, то по теореме Вейерштрасса. Поэтому рядсходится.

Необходимость. Если ряд сходится, то, а по необходимому признаку сходимости рядапри. Поэтому последовательность(неубывающая, так как) ограничена сверху. Следовательно, по теореме Вейерштрасса, т.е. несобственный интеграл сходится.

Если ряд расходится, то и интеграл расходится и наоборот. Это легко доказывается от противного.

Поэтому говорят, что несобственный интеграл и ряд сходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится. Это понятие часто употребляют при сравнении рядов.

Пример. Применим интегральный признак к гармоническому ряду.

- интеграл расходится, поэтому и гармонический ряд расходится.

Пример. Рассмотрим «ряды Дирихле» . Название взято в кавычки, так неизвестно, рассматривал ли эти ряды Дирихле, но оно устоялось за долгие годы.

. Ясно, что интеграл сходится при p>1 и расходится при P<1. Случай p=1 рассмотрен выше (расходящийся гармонический ряд). Отсюда следует вывод

.

Интересно, что ряд , интегралырасходятся (проверьте по интегральному признаку).

Теперь становится яснее, где пролегает граница между сходящимися и расходящимися рядами. Заодно накоплена библиотека сходящихся и расходящихся рядов, которые можно использовать как эталонные при сравнении рядов. Сравнивать ряды можно с помощью признаков сравнения.

Признаки сравнения рядов

Первый признак сравнения рядов.

Пусть выполнено неравенство . Тогда из сходимости рядаследует сходимость ряда, а из расходимости рядаследует расходимость ряда.

Замечание. В силу свойства сходящихся рядов, конечное число членов ряда не влияет на сходимость и неравенство можно проверять «начиная с некоторого n». Поэтому эту фразу часто можно встретить в теоремах о рядах. Иногда ее просто опускают, но ее всегда надо иметь в виду.

Доказательство. 1) Пусть ряд сходится. Тогда выполнено неравенство. Поэтому последовательность частичных суммограничена сверху числом. Но эта последовательность не убывает. Следовательно, по теореме Вейерштрасса. Последнее неравенство справедливо в силу теоремы о предельном переходе в неравенстве.

2) Пусть ряд расходится. Если рядсходится, то по п.1 доказательства и рядсходится. Противоречие. Следовательно, рядрасходится.

Пример. Ряд расходится, так как, а ряд(гармонический) расходится.

Второй признак сравнения.

Пусть . Тогда рядыисходятся или расходятся «одновременно», т.е. один из них сходится, то и другой сходится, если один расходится, то и другой расходится.

Доказательство. Раскроем определение предела. .

.

Если ряд сходится, то по 1 признаку сравнения рядсходится (, рядсходится (свойство сходящихся рядов).

Если ряд сходится, то рядсходится (свойство сходящихся рядов), тогда по 1 признаку сравнения рядсходится.

Пусть ряд расходится. Если рядсходится, то по предыдущему рядсходится (противоречие).

Пусть ряд расходится. Если рядсходится, то по предыдущему рядсходится (противоречие).

Пример. Ряд с расходится по второму признаку сравнения (ряд сравнения – гармонический ряд).

Ряд сходится.- ограничена. Ряд сравнения- сходящийся ряд Дирихле.