- •Математический анализ
- •Часть 2. Числовые и функциональные ряды 49
- •Часть1. Кратные и криволинейные интегралы, теория поля Лекция 1. Двойной интеграл Задача об объеме цилиндрического тела.
- •Двойной интеграл
- •Вычисление двойного интеграла в декартовой системе координат
- •Геометрический и физический «смысл» двойного интеграла
- •Лекция 2. Приложения двойного интеграла
- •Приложения двойного интеграла
- •Вычисление площади поверхности с помощью двойного интеграла
- •Вычисление статических моментов, координат центра тяжести, моментов инерции
- •Замечание о несобственных двойных интегралах
- •Лекция 3 Тройной интеграл Задача о массе пространственного тела
- •Свойства тройного интеграла
- •Вычисление тройного интеграла в декартовой системе координат
- •Лекция 4. Приложения тройного интеграла
- •Лекция 5 Криволинейные интегралы 1 и 2 рода, их свойства Задача о массе кривой. Криволинейный интеграл 1 рода
- •Свойства криволинейного интеграла первого рода
- •Вычисление криволинейного интеграла первого рода
- •Криволинейный интеграл 2 рода Задача о работе силы
- •Теорема существования.
- •Свойства криволинейного интеграла 2 рода
- •Вычисление криволинейного интеграла второго рода
- •Лекция 6. Формула Грина
- •Вычисление площади области по формуле Грина
- •Полный дифференциал и его вычисление
- •Формула Ньютона – Лейбница
- •Теорема (о полном дифференциале) для пространственной кривой
- •Вычисление криволинейного интеграла от полного дифференциала
- •Формула Грина для многосвязной области
- •Лекция 7. Поверхностные интегралы Задача о массе поверхности
- •Свойства поверхностного интеграла первого рода
- •Вычисление поверхностного интеграла первого рода
- •Поверхностный интеграл второго рода
- •Задача о потоке жидкости через поверхность
- •Запись поверхностного интеграла второго рода
- •Лекция 8. Скалярное и векторное поля
- •Скалярные поля.
- •Векторное поле
- •Формула Остроградского – Гаусса
- •Инвариантное определение дивергенции
- •Свойства дивергенции
- •Соленоидальное поле и его свойства
- •Свойства соленоидального поля
- •Лекция 9 Формула Стокса Ротор векторного поля
- •Свойства ротора
- •Теорема Стокса
- •Инвариантное определение ротора
- •Потенциальное поле и его свойства
- •Свойства потенциального поля.
- •Оператор Гамильтона
- •Дифференциальные операции второго порядка
- •Гармоническое поле
- •Часть 2. Числовые и функциональные ряды Лекция 10. Числовые ряды и их свойства
- •Необходимый признак сходимости ряда.Если ряд сходится, то .
- •Критерий Коши сходимости ряда
- •Свойства сходящихся рядов
- •Лекция 11 Знакоположительные ряды
- •Интегральный признак Коши
- •Признаки сравнения рядов
- •Признак Даламбера
- •Радикальный признак Коши
- •Теорема Дирихле о возможности перестановки местами членов ряда в сходящихся знакоположительных рядах
- •Лекция 12. Знакопеременные ряды
- •Теорема о перестановке членов в абсолютно сходящихся рядах.
- •Теорема Римана.
- •Знакочередующиеся ряды
- •Признак Лейбница.
- •Функциональные ряды Лекция 13. Равномерно сходящиеся ряды
- •Признак Вейерштрасса равномерной сходимости ряда.
- •Свойства равномерно сходящихся функциональных рядов.
- •Лекция 14. Степенные ряды
- •Теорема Абеля.
- •Радиус сходимости и интервал сходимости степенного ряда
- •Определение радиуса и интервала сходимости степенного ряда
- •Лекция 15. Ряд Тейлора Ряд Тейлора
- •Разложение в ряд Маклорена основных элементарных функций
- •Применение степенных рядов
- •Ряды Фурье. Лекция 16. Задача о наилучшем приближении
- •Задача о наилучшем приближении в н (гильбертовом пространстве)
- •Лекция 17. Ряд Фурье по тригонометрической системе функций (тригонометрический ряд Фурье)
- •Связь между гладкостью функции и порядком малости коэффициентов Фурье
- •Разложения в ряд Фурье функций, заданных на отрезке
Потенциальное поле и его свойства
Векторное поле называетсяпотенциальным, если существует такое скалярное поле (потенциал векторного поля ), что=.
Замечание. Если поле - потенциально, то=- полный дифференциал. Тогда- полный дифференциал. Поэтому свойства потенциального поля можно сформулировать и доказать как следствия теоремы о полном дифференциале.
Свойства потенциального поля.
Линейный интеграл потенциального поля не зависит от формы дугиL = , а зависит только от начальной и конечной точек дуги.
В самом деле, =.
Циркуляция потенциального поля равна нулю
Полагая дугу АВ замкнутой (A = B), получаем =
Потенциальное поле является безвихревым, т.е.
Оператор Гамильтона
Оператор Гамильтона .
Применим оператор Гамильтона к скалярному полю .
Оператор Гамильтона представляет собой вектор-оператор. Его можно скалярно или векторно умножить на векторное поле .
Это дифференциальные операции первого порядка над скалярным и векторным полями. От скалярного поля можно взять градиент, от векторного поля можно взять дивергенцию и ротор.
Дифференциальные операции второго порядка
В результате дифференциальных операций первого порядка мы получаем скалярные и векторные поля .
К ним вновь можно применить дифференциальные операции первого порядка.
От скалярного поля можно взять градиент, получив векторное поле.
От векторных полей можно взять ротор и дивергенцию, получив скалярные поля,и векторные поля,.
Итак, дифференциальные операции второго порядка позволяют получить скалярные поля ,и векторные поля,,.
Ранее было показано, что потенциальное поле – безвихревое, т.е. =0.
Покажем, что поле ротора – соленоидальное поле, т.е. =0.
Доказательство.
= .
Три остальных векторных поля связаны друг с другом. Это становится ясным, если рассматривать векторные операции с оператором Гамильтона «набла» аналогично обычным векторным операциям. Однако, эти аналогии не совсем верны, см. подробнее о свойствах оператора «набла» выпуск 7 учебника.
=,=
Известно соотношение . Перенося это правила на действия с оператором «набла», получим
.
Здесь - оператор Лапласа (скаляр – оператор).
.
- произведение скаляр-оператора Лапласа на вектор .
Гармоническое поле
Скалярное поле называется гармоническим, если
- уравнение Лапласа.
Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциальное (), а потенциал- гармоническое скалярное поле, т.е..
Теорема. Для того, чтобы векторное поле было гармоническим, необходимо и достаточно чтобы оно было соленоидальным и потенциальным.
Необходимость. Если векторное поле - гармоническое, то оно потенциальное, т.е., тогда оно соленоидально, так как.
Достаточность. Если векторное поле потенциальное, то. Так как оно еще и соленоидально, то 0 =. Следовательно, поле потенциально и его потенциал удовлетворяет уравнению Лапласа, поэтому векторное поле – гармоническое.
Так как гармоническое поле потенциально и соленоидально, то его свойства – свойства соленоидального поля и свойства потенциального поля.
Часть 2. Числовые и функциональные ряды Лекция 10. Числовые ряды и их свойства
Числовой ряд – это сумма бесконечного количества чисел, выбранных по определенному алгоритму. Обычно задают формулу общего члена ряда .
Примеры
1+- бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем. Ее сумма равна,
1+1+1+…..Сумма этого ряда бесконечна.
1-1+1-1… Сумма этого ряда не существует (ни конечная, ни бесконечная).
При изучении рядов возникает основной вопрос: «Сходится ли ряд». Отвечая на этот вопрос для геометрической прогрессии, мы вычисляем последовательно 1+,=1+1+- суммыn членов ряда – частичные суммы ряда .
Ряд называетсясходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда – он называется суммой ряда .
Ряд называется расходящимся, если предел частичных сумм ряда бесконечен или вообще не существует.